《2017-2018学年数学人教A版选修2-1优化练习：第三章 章末检测（三） 空间向量与立体几何 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年数学人教A版选修2-1优化练习：第三章 章末检测（三） 空间向量与立体几何 （13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、章末检测(三) 空间向量与立体几何 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1向量 a(1,0,1)，b(1,2,3)，若 kab 与 b 垂直，则实数 k( ) A7 B7 C6 D6 解析：kabk(1,0,1)(1,2,3)(k1，2，k3)，若 kab 与 b 垂直， 则(kab)b0， 即(k1)43(k3)0，解得 k7. 答案：A 2已知向量 a(2,3,2)，b(1，5，1)，则 mab 与 2a3b 相互垂直的 充分必要条件是( ) A B. 17 13 17
2、13 C. D 16 13 16 13 解析：mabm(2,3,2)(1，5，1) (2m1,3m5,2m1)， 2a3b2(2,3,2)3(1，5，1)(7,21,7) (mab)(2a3b)(mab)(2a3b) 07(2m1)21(3m5)7(2m1)0m. 17 13 答案：B 3.如图，在空间平移ABC 到ABC，连接对应顶点， 设a，b，c，M 是 BC的中点，N 是 AA AB AC BC的中点，用向量 a，b，c 表示向量等于( ) MN Aa b c B. a b c 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Ca b D. a 1 2 1 2 解析： a. MN 1 2 BB
3、 1 2 AA 1 2 答案：D 4已知点 A(1,2,1)，B(1,3,4)，D(1,1,1)，若2，则|的值是( ) AP PB PD A. B. 1 3 2 3 C. D. 77 3 6 3 解析：设 P(x，y，z)则(x1，y2，z1)， AP (1x,3y,4z)， PB 由2知 x ，y ，z3， AP PB 1 3 8 3 即 P. ( 1 3， 8 3，3) 由两点间距离公式可得|. PD 77 3 答案：C 5.设ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于 E，P 为空间任意一点，如 图所示，若x，则 x( ) PA PB PC PD PE A2 B3 C4 D5 解析：E
4、为 AC，BD 的中点， 由中点公式得 ()， PE 1 2 PA PC () PE 1 2 PB PD 4.从而 x4. PA PB PC PD PE 答案：C 6已知 a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值是( ) A. B. 5 5 55 5 C. D. 3 5 5 11 5 解析：ba(1t,2t1,0)， |ba|2(1t)2(2t1)202 5t22t25 2 . (t 1 5) 9 5 |ba| . 2min 9 5 |ba|min. 3 5 5 答案：C 7已知 a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若 a，b，c 三向量共面， 则实数 等于(
5、 ) A. B. 62 7 63 7 C. D. 64 7 65 7 解析：a，b，c 三向量共面，则存在不全为零的实数 x，y，使 cxayb， 即(7,5，)x(2，1,3)y(1,4，2) (2xy，x4y,3x2y)， 所以Error!解得Error! 3x2y. 65 7 答案：D 8在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是棱 AA1和 BB1的中点， 则 sin，( ) CM D1N A. B. 4 5 9 4 9 C. D. 5 9 2 5 9 解析：建立如图所示坐标系，设正方体棱长为 2. 可知(2，2,1)， CM (2,2，1) D1N cos， . CM D1
6、N 1 9 sin，. CM D1N 4 5 9 答案：A 9在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC2，DD13，则 AC 与 BD1所成 角的余弦值是( ) A0 B. 3 70 70 C D. 3 70 70 70 70 解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则 D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0，2,0)， 所以(2，2,3)，(2,2,0)， BD1 AC 所以 cos， 0， BD1 AC BD1 AC |BD1 |AC | 故选 A. 答案：A 10若直线 l 的方向向量为 (2,1，m)，平面 的法向量为，且 l，则 (1， 1 2，2)
7、m( ) A2 B3 C4 D5 解析：l， 直线 l 的方向向量平行于平面 的法向量 . 2 1 1 1 2 m 2 m4. 答案：C 11已知直角ABC 中，C90，B30，AB4，D 为 AB 的中点，沿 中线将ACD 折起使得 AB，则二面角 ACDB 的大小为( ) 13 A60 B90 C120 D150 解析：取 CD 中点 E，在平面 BCD 内过 B 点作 BFCD，交 CD 延长线于 F. 据题意知 AECD. AEBF，EF2，AB. 313 且， 为二面角的平面角， EA FB 由 2( )2得 AB AE EF FB 1333423cos， ， AE FB cos，
8、. EA FB 1 2 ， 120. EA FB 即所求的二面角为 120. 答案：C 12.如图所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PD平面 ABCD，且 PDAD1，AB2，点 E 是 AB 上一点，当二面角 PECD 的平面角为 时，则 AE 等于( ) 4 A1 B. 1 2 C2 D2 23 解析：以 DA，DC，DP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直 角坐标系，设 AEm. D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1，0,0)，B(1,2,0)，E(1，m,0)， C(0,2,0) 可取平面 ABCD 的一个法向量 n1(0,0,1)， 设平面 PEC 的法
9、向量为 n2(a，b，c)， (0,2，1)， PC (1，m2,0)， CE 则Error! Error! Error! 令 b1 得 n2(2m,1,2) cosn1，n2. n1n2 |n1|n2| 2 2m214 2 2 m2.即 AE2. 33 答案：D 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中的横线 上) 13已知正方体 ABCDABCD中，则下列三个式子中： ； AB CB AC ； AA CC . AB BB BC CC AC 其中正确的有_ 解析：，正确；显然正确； AB CB AB BC AC AB BB BC ()()0，错误 CC A
10、B BC BB CC AC AC 答案： 14若向量 m(1,2,0)，n(3,0，2)都与一个二面角的棱垂直，则 m，n 分 别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为_ 解析：cosm，n mn |m|n| . 1 32 00 2 5 13 3 65 65 二面角的余弦值为或. 3 65 65 3 65 65 答案：或 3 65 65 3 65 65 15正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 BC1与平面 A1BD 所成的角的正弦值是 _ 解析：如图，以 DA，DC，DD1分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空 间直角坐标系，取正方体的棱长为 1，则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，
11、C1(0,1,1)，易证是平面 A1BD 的一个法向量 AC1 (1,1,1)，(1,0,1) AC1 BC1 cos，. AC1 BC1 11 3 2 6 3 所以 BC1与平面 A1BD 所成角的正弦值为. 6 3 答案： 6 3 16. 如图正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，O 是平面 A1B1C1D1的中心，则 BO 与平面 ABC1D1所成角的正弦值为_ 解析：建立坐标系如图，则 B(1，1,0)，O， ( 1 2， 1 2，1) (1,0,1)是平面 ABC1D1的一个法向量 DA1 又， OB ( 1 2， 1 2，1) BO 与平面 ABC1D1所成角的正弦值为 |
12、cos，| OB DA1 . |OB DA1 | |OB |DA1 | 1 2 6 2 2 3 6 答案： 3 6 三、解答题(本大题共有 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17(12 分)已知四边形 ABCD 是空间四边形，E，H 分别是边 AB，AD 的中点， F，G 分别是边 CB，CD 上的点，且，. CF 2 5CB CG 2 5CD 求证：四边形 EFGH 是梯形 解析：E，H 分别是 AB，AD 的中点， ，. AE 1 2AB AH 1 2AD EH AH AE 1 2AD 1 2AB () 1 2 AD AB () 1 2BD 1 2 CD
13、CB 1 2( 5 2CG 5 2CF ) . 5 4(CG CF ) 5 4FG 且|. EH FG EH FG 四边形 EFGH 是梯形 18(12 分)如图，底面 ABCD 是正方形，SA底面 ABCD，且 ASAB，E 是 SC 的中点 求证：平面 BDE平面 ABCD. 证明：设 ABBCCDDAAS1，以 A 为坐标原点建 立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则各点坐标为 B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E. ( 1 2， 1 2， 1 2) 设平面 BDE 的法向量为 n1(x，y，z)， 又(1,1,0)，则 BD BE ( 1 2， 1 2， 1 2) Error!Error! 令 x1，可得平面 BDE 的一个法向量为 n1(1,1,0) AS底面 ABCD， 平面 ABCD 的一个法向量为 n2(0,0,1) AS n1n20，平面 BDE平面 ABCD. 19(12 分)如图，O 是正方体 ABCDA1B1C1D1的底面中心， P 是 DD1的中点，Q 点在 CC1上，问：当点 Q 在 CC1的什么 位置时，平面 D1BQ平面 AOP? 解析：以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1所在直
