《2017-2018学年数学人教A版选修2-1优化练习：第三章 3．2 第2课时 空间向量与垂直关系 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年数学人教A版选修2-1优化练习：第三章 3．2 第2课时 空间向量与垂直关系 （9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课时作业 A 组 基础巩固 1设 A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件n0 的点 M AM 构成的图形是( ) A圆 B直线 C平面 D线段 解析：M 构成的图形是经过点 A，且以 n 为法向量的平面 答案：C 2已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面 ABC 的一个单位法向量为( ) AB AC A. B. ( 1 3， 2 3， 2 3) ( 1 3， 2 3， 2 3) C. D. ( 1 3， 2 3， 2 3) ( 1 3， 2 3， 2 3) 解析：设平面 ABC 的法向量为 n(x，y，z)， 则有Error!取 x1，则 y2，z2. 所以 n(1，2,2)
2、由于|n|3， 所以平面 ABC 的一个单位法向量可以是 . ( 1 3， 2 3， 2 3) 答案：B 3在正方体 ABCDA1B1C1D1中，若 E 为 A1C1的中点，则直线 CE 垂直于( ) AAC BBD CA1D DA1A 解析：建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为 1. 则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)， E， ( 1 2， 1 2，1) ，(1,1,0)，(1，1，0)， CE ( 1 2， 1 2，1) AC BD (1,0，1)，(0,0，1) A1D A1A (1)(1)010，C
3、EBD. CE BD ( 1 2) ( 1 2) 答案：B 4已知点 A，B，C 的坐标分别为(0,1,0)，(1,0,1)，(2,1,1)， 点 P 的坐标为(x,0，z)，若，则点 P 的坐标为( ) PA AB PA AC A. B. ( 1 3，0， 2 3) ( 1 3，0， 2 3) C. D. ( 1 3，0， 2 3) ( 1 3，0， 2 3) 解析：(x,1，z)，(1，1,1)，(2,0,1)， PA AB AC 0，0. PA AB PA AC Error!x ，z . 1 3 2 3 答案：A 5如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别在 A1D，A
4、C 上，且 A1E A1D，AF AC，则( ) 2 3 1 3 AEF 至多与 A1D，AC 之一垂直 BEFA1D，EFAC CEF 与 BD1相交 DEF 与 BD1异面 解析：建立分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z 轴的空间直角坐标系(图 略)，不妨设正方体的棱长为 1，则(1,0,1)， DA1 (0,1,0)(1, 0,0)(1,1,0)， AC E( ，0， )，F( ，0)， 1 3 1 3 2 3 1 3 ( ， )，0，0， EF 1 3 1 3 1 3 EF DA1 EF AC EFA1D，EFAC. 答案：B 6若直线 l 的方向向量 e(2,1，m)，平
5、面 的法向量 n(1，2), 且 l， 1 2 则 m_. 解析：平面 的法向量即为平面的法线的方向向量，又 l，en，即 en(0)，亦即(2,1，m)， (1， 1 2，2) Error!m4. 答案：4 7在直角坐标系 Oxyz 中，已知点 P(2cos x1,2cos 2x2,0)和点 Q(cos x，1,3)，其中 x0，若直线 OP 与直线 OQ 垂直，则 x 的值为 _ 解析：由 OPOQ，所以0. OP OQ 即(2cos x1)cos x(2cos 2x2)(1)0. cos x0 或 cos x . 1 2 x0，x 或 x . 2 3 答案： 或 2 3 8ABC 的三个
6、顶点分别是 A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则 AC 边上的高 BD 长为_ 解析：(5，6,2)(1，1,2)(4，5,0)， AB (1,3，1)(1，1,2)(0,4，3)， AC cos， ， AB AC AB AC |AB |AC | 20 41 5 4 41 sin， ， AB AC 1cos2AB ，AC 1 4 41 2 5 41 AC 边上的高为|AB|sin， 5. AB AC 41 5 41 答案：5 9.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，且 PAAD，E，F 分别为线段 AB，PD 的中 点 求证：(1
7、)AF平面 PEC； (2)AF平面 PCD. 证明：以 A 为原点，向量，的方向分别为 x 轴， AB AD AP y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示 设 ABa， PAAD1， 则 P(0,0,1)，C(a,1,0)， E，D(0,1,0)，F. ( a 2，0，0) (0， 1 2， 1 2) (1)， AF (0， 1 2， 1 2) EP ( a 2，0，1) EC ( a 2，1，0) ， AF 1 2EP 1 2EC 又 AF平面 PEC，AF平面 PEC. (2)(0,1，1)，(a,0,0)， PD CD (0,1，1)0， AF PD (0， 1 2， 1
8、2) (a,0,0)0， AF CD (0， 1 2， 1 2) ， AF PD AF CD 即 AFPD，AFCD，又 PDCDD， AF平面 PCD. 10.如图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是 菱形，且C1CBC1CDBCD. (1)求证：C1CBD； (2)当的值为多少时，能使 A1C平面 C1BD？并给出证 CD CC1 明 解析：(1)证明：设a，b，c. CD CB CC1 依题意，|a|b|. ， ，中两两所成的夹角为 ，于是 CD CB CC1 ab， BD CD CB c(ab)cacb CC1 BD |c|a|cos |c|b|cos 0，
9、.C1CBD. CC1 BD (2)若使 A1C平面 C1BD，只需 A1CBD， A1CDC1， 由()() CA1 C1D CA AA1 CD CC1 (abc)(ac) |a|2abbc|c|2 |a|2|c|2|b|a|cos |b|c|cos 0， 当|a|c|时，A1CDC1， 同理可证当|a|c|时，A1CBD， 1 时，A1C平面 C1BD. CD CC1 B 组 能力提升 1.如图，已知矩形 ABCD，AB1，BCa，PA平面 ABCD，若在 BC 上只有 一个点 Q 满足 PQQD，则 a 的值等于( ) A2 B3 C4 D6 解析：如图，建立空间直角坐标系 Axyz，则
10、 D(0，a,0) 设 Q(1，x,0)(0xa) P(0,0，z) 则(1，x，z)， PQ (1，ax,0) QD 由 PQQD，得1x(ax)0， 即 x2ax10. 由题意知方程 x2ax10 只有一解 a240，a2，这时 x10，a 答案：A 2已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果(2，1，4)， AB (4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是 AD AP AP 平面 ABCD 的法向量；.其中正确的是( ) AP BD A B C D 解析：2240，APAB，正确；440， AB AP AP AD APAD，正确；由知是平面 ABCD
11、 的法向量，正确 AP 不正确 答案：C 3在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 是底面 ABCD 的中心，M，N 分别是 DD1，D1C1的中点，则关于直线 OM 下列说法正确的是_ 是 AC 和 MN 的公垂线； 垂直于 AC，但不垂直于 MN； 垂直于 MN，但不垂直于 AC； 与 AC，MN 都不垂直 解析：以 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 设正方体的棱长为 1，则 A(1,0,0)，C(0,1,0)，O， ( 1 2， 1 2，0) M，N， (0，0， 1 2) (0， 1 2，1) 则(1,1,0)， AC MN (0， 1 2， 1 2) ， OM ( 1 2
12、， 1 2， 1 2) 0，0，即选项正确 AC OM MN OM 答案： 4在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1，AD2，点 P 为 C1D1 32 的中点，点 M 为 BC 的中点，则APM 的面积为_ 解析：建立如图所示的空间直角坐标系 则 A(2，0,0)，M(，2,0)， 22 P(0,1，)， 3 cos， AP AM AP AM |AP |AM | 2 2 sin， AP AM 2 2 SAPM | |sin， 23. 1 2 AP AM AP AM 1 236 2 2 答案：3 5.已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CC1上的动点 (1)求证：A
13、1EBD； (2)若平面 A1BD平面 EBD，试确定 E 点的位置 证明：以 D 为坐标原点以 DA，DC，DD1所在直线为 x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 a. (1)A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)， A1(a,0，a)，C1(0，a，a) 设 E(0，a，z)， 则(a，a，za)， A1E (a，a,0)， BD a2a2(za)00. A1E BD ，即 A1EBD. A1E BD (2)E 为 CC1的中点证明如下： 若 E 是 CC1的中点，则 E， (0，a， a 2) 设 BD 的中点为 O，连接 AC，OE，A1O. 则 O， ( a 2， a 2，0) OE ( a 2， a 2， a 2) (a，a,0)， BD 则0， OE BD OE BD 00， OA1 BD a2 2 a2 2 ， OA1 BD A1OE 为二面角 A1BDE 的平面角 0，则A1OE90， OA1 OE 平面 A1BD平面 EBD. 当 E 为 CC1的中点时，能使平面 A1BD平面 EBD. 6.已知四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形， ABDC，DAB90，PD底面 ABCD，且 PDDACD2
