数学建模方法详解

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1、数学建模方法详解-三种最常用算法一、层次分析法层次分析法1 (analytic hierarchy process，AHP)是美国著名的运筹学家TLSaaty教授于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法2，3，4该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用(一) 层次分析法的基本原理层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理5下面分别予以介绍1 递阶层次结构原理一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等每一个因素称为元素按照属性的不同把

2、这些元素分组形成互不相交的层次，上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系具有这种性质的层次称为递阶层次2 测度原理 决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的然而对于社会、经济系统的决策模型来说，常常难以定量测度因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化3 排序原理层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题(二) 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的11 成对比较矩阵和权向量为了能够尽可

3、能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高结果的准确度TLSaaty等人的作法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度假设要比较某一层个因素对上层一个因素的影响，每次取两个因素和，用表示和对的影响之比，全部比较结果可用成对比较阵 表示，称为正互反矩阵一般地，如果一个正互反阵满足： （1）则称为一致性矩阵，简称一致阵容易证明阶一致阵有下列性质：的秩为1，的唯一非零特征根为；的任一列向量都是对应于特征根的特征向量如果得到的成对比较阵是一致阵，自然应取对应于特征根的、归一化的特征向量（即分量之和为1）表示诸因素对上层因素的权重，这个向量称为权向量如果成对比较阵不是一

4、致阵，但在不一致的容许范围内，用对应于最大特征根(记作)的特征向量（归一化后）作为权向量，即满足： （2）直观地看，因为矩阵的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素，所以当离一致性的要求不远时,的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大（2）式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法2 比较尺度当比较两个可能具有不同性质的因素和对于一个上层因素的影响时，采用Saaty等人提出的尺度，即的取值范围是及其互反数 3 一致性检验 成对比较阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容许范围内若已经给出阶一致阵的特征根是，则阶正互反阵的最大特征根，而

5、当时是一致阵所以比大得越多，的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大因而可以用数值的大小衡量的不一致程度Saaty将 (3)定义为一致性指标时为一致阵；越大的不一致程度越严重注意到的个特征根之和恰好等于，所以相当于除外其余个特征根的平均值为了确定的不一致程度的容许范围，需要找到衡量的一致性指标的标准，又引入所谓随机一致性指标，计算的过程是：对于固定的，随机地构造正互反阵，然后计算的一致性指标123456789101100058090112124132141145149151表1 随机一致性指标的数值表中时，是因为阶的正互反阵总是一致阵 对于的成对比较阵，将它的一致性指标与同阶

6、（指相同）的随机一致性指标之比称为一致性比率，当 (4)时认为的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量对于利用(3)，(4)式和表1进行检验称为一致性检验当检验不通过时，要重新进行成对比较，或对已有的进行修正4 组合权向量由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量一般地，若共有层，则第层对第一层（设只有个因素）的组合权向量满足： （5）其中是以第层对第层的权向量为列向量组成的矩阵于是最下层对最上层的组合权向量为: （6）5 组合一致性检验在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，

7、以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据组合一致性检验可逐层进行如第层的一致性指标为(是第层因素的数目)，随机一致性指标为，定义则第层的组合一致性比率为: (7)第层通过组合一致性检验的条件为定义最下层(第层)对第一层的组合一致性比率为： (8)对于重大项目，仅当适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验层次分析法的基本步骤归纳如下: (1) 建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用，而同一层的各因素之间尽量相互独立最上层为目标层，通

8、常只有个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有个或几个层次，通常称为准则或指标层，当准则过多时（比如多于个）应进一步分解出子准则层 (2) 构造成对比较阵 从层次结构模型的第层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和比较尺度构造成对比较阵，直到最下层(3) 计算权向量并做一致性检验 对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，重新构造成对比较阵(4) 计算组合权向量并做组合一致性检验 利用公式计算最下层对目标的组合权向量，并酌情作组合一致性检验若检验通过，则

9、可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较阵(三) 层次分析法的优点1 系统性 层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具2 实用性 层次分析把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广同时，这种方法将决策者与决策分析者相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性3 简洁性 具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也非常简便，且所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握(四

10、) 层次分析法的局限性层次分析法的局限性可以用囿旧、粗略、主观等词来概括第一，它只能从原有的方案中选优，不能生成新方案；第二，它的比较、判断直到结果都是粗糙的，不适于精度要求很高的问题；第三，从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素的作用很大，这就使得决策结果可能难以为众人接受当然，采取专家群体判断的方法是克服这个缺点的一种途径(五) 层次分析法的若干问题层次分析法问世以来不仅得到广泛的应用而且在理论体系、计算方法等方面都有很大发展，下面从应用的角度讨论几个问题1 正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质成对比较阵是正互反阵层次分析法中用对应它的最大特征根的特征向量作为权向量，用最大特

11、征根定义一致性指标进行一致性检验这里人们碰到的问题是：正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大小是否反映它接近一致阵的程度，特别，当一致性指标为零时，它是否就为一致阵下面两个定理可以回答这些问题定理1 对于正矩阵（的所有元素为正数）1）的最大特征根是正单根；2）对应正特征向量（的所有分量为正数）；3），其中，是对应的归一化特征向量定理2 阶正互反阵的最大特征根；当时是一致阵定理2和前面所述的一致阵的性质表明,阶正互反阵是一致阵的充要条件为 的最大特征根2 正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法众所周知，用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高时另一方

12、面，因为成对比较阵是通过定性比较得到的比较粗糙的量化结果，对它精确计算是不必要的，下面介绍几种简单的方法(1) 幂法 步骤如下：a任取维归一化初始向量b计算c归一化,即令d对于预先给定的精度,当 时,即为所求的特征向量；否则返回be. 计算最大特征根这是求最大特征根对应特征向量的迭代法,可任选或取下面方法得到的结果(2) 和法 步骤如下：a. 将的每一列向量归一化得b对按行求和得c将归一化即为近似特征向量d. 计算，作为最大特征根的近似值这个方法实际上是将的列向量归一化后取平均值，作为的特征向量(3) 根法 步骤与和法基本相同，只是将步骤b改为对按行求积并开次方，即根法是将和法中求列向量的算术

13、平均值改为求几何平均值3 为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量当成对比较阵是一致阵时,与权向量的关系满,那么当不是一致阵时，权向量的选择应使得与相差尽量小这样,如果从拟合的角度看确定可以化为如下的最小二乘问题： (9)由(9)式得到的最小二乘权向量一般与特征根法得到的不同因为(9)式将导致求解关于的非线性方程组，计算复杂，且不能保证得到全局最优解,没有实用价值如果改为对数最小二乘问题： (10)则化为求解关于的线性方程组可以验证，如此解得的恰是前面根法计算的结果特征根法解决这个问题的途径可通过对定理2的证明看出4 成对比较阵残缺时的处理专家或有关学者由于某种原因无法或不愿对某两个因素给出相互比较的结果，于是成对比较阵出现残缺应如何修正,以便继续进行权向量的计算呢？一般地，由残缺阵构造修正阵的方法是令 (11)表示残缺已经证明，可以接受的残缺阵的充分必要条件是为不可约矩阵(六) 层次分析法的广泛应用层次分析法在正式提出来之后，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等方面 这个方法在20世纪80年代初引入我国，很快为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所接受，得到了成功的应用层次分析法在求解某些优化问题中的应用5