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1、题目：高考志愿选择策略一年一度的高考结束后，许多考生面临估分后填写志愿的决策过程。这个决策关系重大，请你建立一个书模型，帮考生考虑到各种决策因素使之能轻松应对这一重大决策。假设每个考生可填报四个志愿，现在北京甲，上海乙，成都丙，重庆丁四所大学，考生通过网上信息初步因素重要性主观数据如下表：相关权数北京甲上海乙成都丙重庆丁校誉名校自豪感录取风险年奖学金就业前景生活环境离家近生活费用气候环境学习环境专业兴趣师资水平可持续发展硕士点博士点三 问题假设假设每个考生可填报四个志愿；假设考生仅考虑北京甲，上海乙，成都丙，重庆丁四所大学；假设影响考生填报志愿的决策因素仅考虑各个学校的名校自豪感、录取风险、年
2、奖学金、就业前景、离家近、生活费用、气候环境、博士点、师资水平、硕士点、专业兴趣；假设考生通过网上信息初步因素重要性主观数据有效；四 符号说明填报高考志愿校誉、生活环境、学习环境、可持续发展名校自豪感、录取风险、年奖学金、就业前景离家近、生活费用、气候环境,学习环境专业水平、师资水平硕士点、博士点北京甲、上海乙、成都丙、重庆丁五 模型建立构造成对比较阵面临的决策问题是：要比较个因素，对目标的影响，我们要确定它们在中所占的比重，即这个因素对目标A的相对重要性。我们用两两比较的方法将各因素重要性的定性部分数量化。设有因素每次取两个因素，用正数表示与 的重要性之比。由全部比较结果得到矩阵，称作成对比
3、较阵。显然有 然后求出成对比较矩阵的最大特征值及其对应的特征向量定义标准化向量。用标准化向量来反应 这个因素对目标A的相对重要性，为同一层次中相应元素对于上一层次中某个因素相对重要性的排序权值。权向量对于已知的成对比较阵来说，有。由矩阵运算法则可知：当较大时，精确地计算成对比较的最大特征值和特征向量比较麻烦，而又由于中的元素是重要性的比值，而重要性是人们根据目标推测出来的，精确度并不高，所以没有必要十分精确地计算出和特征向量。因此，可以采用下述方法来近似计算和相应的特征向量。对成对比较阵，令 称为的权向量，它反映个因素对目标的相对重要性。经验证，与误差很小，所以一般都用代替。对于公式，对于一致
4、性矩阵，即满足 可以简化为则。代表第项因素的重要性指标。六 模型求解下面将调查此学生，根据他们所提供的情况，建立一致性矩阵，帮助他们填报志愿。 设重要性指标为，其中为最重要的，为最不重要的。考察学生（目标A）考虑这四个因素对目标的相对重要性。 目标 可以得出 。考虑这三个因素对目标的相对重要性。目标可以得出：考虑对于因素。比较的相对差异。因素因素因素因素因素因素因素因素因素因素因素，考虑对于因素，比较的相对差异。因素因素因素因素最后再计算学生所选报的四个学校的得分：很显然，得分排在最前面的志愿为北京甲，也就是说这个志愿最适合他报考。七 模型的改进与推广 通过上面的分析与计算，我们已经将填报志愿
5、这一问题由不定性的模糊判断转化为定量的分析，并最终通过建立数学模型，为这位学生选择了一所最有希望考上的学校。但这只是在理想状态下的结果，有许多的问题还需要我们在填报志愿时进行考虑和分析。例如，在填报志愿时所报的学校一定要拉开档次，这样即使第一志愿学校没被录取上，在档次相差较大的第二志愿会有更大的希望被录取。我们前面所做的模型，只是将学生所选择的四个学校定量的排了个名次，所以，学生在填报志愿时不能将得分最多的学校填在最前面，最终具体如何报考还要看学生当时的实际情况和侧重点。在前面的数学模型中，我并没有直接访问高三学生每两个因素之间重要性之比(即)，而是分别问了他们心中的每个因素的重要指标，然后再
6、用做出矩阵。这样做是因为直接询问高三学生每两个因素之间的重要性比较困难（人们很难马上将两个关联不大的因素用定量化的数字之比表示他们之间的重要性，而用数字分别表示每个因素的重要性比较容易）。如果我们直接询问高三学生每两个因素的重要性之比（即),而将其所构成的成对比较矩阵就可能出现一致性问题。下面简要说一下关于一致性问题的解决方法： 对于成对比较阵来说，其中的关系应满足 ,这样的成对比较阵为一致矩阵。 而由于人们的思维活动的原因，人们用构成成对阵往往不是一致矩阵，即,所以在分析对目标的影响时，必须对进行一致性检验。因为阶成对比较阵是一致矩阵，当且仅当的最大特征值为时，所以若A不具有一致性时，则，于是我们引入一致性指标。将作为衡量成对比较阵不一致程度的标准，当稍大于时，称具有满意的一致性。此外，用这样的方法定义一致性是不严格的，还要给出量度。令这里的为平均随机一致指标，称为随机一致比率，可以用代替作为一致性检验的临时界值，当时，就认为有满意的一致性，反之，就要调整成对比较阵，直到满意为止。八 总结本层次分析法，将填报志愿这一问题由不定性的模糊判断转化为定量的分析，并最终通过建立数学模型，为同学们选择最理想的学校，对将来的填报志愿有一定的参考价值。九 参考文献数学模型姜起源 谢金星 叶俊 编 高等教育出版社- 8 -
