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1、第11章 平面问题有限元法,11.1 平面问题的基本概念,11.1.1 弹性力学中的物理量 1）载荷: 载荷是外界作用在弹性体上的力，又称为外力。它包括体力、面力和集中力三种形式。 体力: 面力： 集中力：,2,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,微元体的应力分量, = x y z xy yz zx T,2) 应力, = x y z xy yz zx T,3） 应变,微元体的应变分量,3,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,应变定义,剪应力互等：,4,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,正应变的几何意义,切应变
2、的几何意义,4）位移 = u v wT 各位移函数可记为： u = u（x, y, z），v = v（x, y, z），w = w（x, y, z）。 需要指出：这里的载荷、应力、应变和位移都是位置坐标的函数，称为场变量,5,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,11.1.2 弹性力学基本方程 （1）平衡方程,（11-1）,6,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,（2）几何方程,7,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,(3) 物理方程,8,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,（11-4
3、）,9,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,式中：,和,10,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,（1）,（2）和（3）三类基本方程中包括15个方程，含有6个应力分量、6个应变分量和3个位移分量共15个未知量，因此原则上可以解出这15个物理量。实际求解时并不是同时求出全部未知量，而是先求出一部分未知量（称为基本未知量），再通过基本方程求出其他未知量。根据基本未知量的选法不同，也就产生了三种不同的解题方法位移法、应力法和混合法。其中位移法以三个位移分量作为基本未知量，目前有限元法主要采用这种方法。,11,现代设计方法 第11章 平面问题有限
4、元法,重庆大学机械工程学院,11.1.3 平面问题的基本概念 1 ） 平面应变问题 定义 : 横截面不变的无限长柱体； 受不变的垂直于纵轴载荷。 研究方法： 取单位长度薄片为脱离体。 薄片上位移： u = u (x, y), v = v (x, y), （a） w = 0,12,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,图11-3 平面应变问题,u = u (x, y), v = v (x, y), w = 0,（11-6）,推得：,13,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,和,yz = 0, zx = 0,14,现代设计方法 第11章 平面问
5、题有限元法,重庆大学机械工程学院,平面应变问题特征：,（b）,则平面问题的物理方程可写为：,式中D称为平面应变问题的弹性矩阵,将平面应变问题的应力分量记为：,（11-7）,平面问题独立的应力分量只有x、y 和xy 三个，而应力z可由式（b）求出。,15,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,16,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,平面应变问题实例,2 ） 平面应力问题,当,时，为自由表面 ，,且板厚度很小，可推知应力沿板 厚变化很小，因此：,（c）,17,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,图11-4 平面应力
6、问题,定义：等厚薄板；受平行板面且沿板厚不变的载荷。,18,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,平面应力问题特征：,物理方程：,用 和 分别代换平面应力弹性矩阵（11-9）式中的 E 和 ，就得到平面应变弹性矩阵（11-8）。对于平面应变问题的弹性矩阵，只须在矩阵（11-8）中，以 代 E， 代 即可。,（11-9）,物理方程（11-4）的第1，2 ，4三式仍成为：,19,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,（11-7）,但弹性矩阵为：,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,20,几何方程：,z 非变量 w 不随
7、 z 变化,非独立变量,21,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,平面应力问题实例,11.2 平面三角形单元,11.2.1 平面问题的离散化,图11-5 带椭圆孔的平板,22,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,图11-4 带方孔的矩形板,划分单元时应注意以下几点： （1）单元各边不要相差太大。 （2）单元的大小要根据计算精度和计算成本来确定 。 （3）单元疏密要按应力（场）的梯度变化分布。 （4）注意单元的界面布置。,23,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,11.2.2 单元的结点位移向量和结点力向量,图1
8、1-7 平面三结点三角形单元,24,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,结点位移向量：,（i，j，m）,(11-10),单元结点位移向量：,结点力向量：,（i, j, m）,单元结点力向量：,25,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,(11-11),单元分析任务： (11-12) k 是6 6阶的矩阵，称为单元刚度矩阵。 11.2.3 单元位移模式 a）单元位移模式和形函数 巴斯卡三角形 1 .常数项 x y 一次项 x2 xy y2 .二次项 x3 x2y xy2 y3 三次项 x4 x3y x2y2 xy3 y4 四次项 . 二维pa
9、scal三角形,26,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,分析：（1） 单元分块近似； （2）单元间只有结点相联系，可由结点位移确定单元内任意点位移； （3）不偏惠任一坐标，选择多项式运算简便。 利用巴斯卡三角形，选择一次多项式位移模式,（11-13）,式（11-13）中，六个参数a1，a2，, a6 恰好由三个结点的六个位移分量完全确定。 即，在i、j、m三点应当有：,（a）,27,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,求解（a）左列三式得：,展开上面的 ，即为（a）左列三系数， A为三角形面积。同理可求的右列三个系数 。 将解得的系数回
10、代（11-13），并按位移模式 （11-10）整理，可得：,28,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,式中：,系数 恰好是行列式,的各行元素的代数余子式。,(i, j, m),同理得出：,29,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,式中的Ni、Nj、Nm 由下式轮换得出,将求得的位移合写为：,式中，I 为二阶单位矩阵。这里的Ni 、Nj、Nm是坐标的连续函数，它反映单元内位移分布状态，称为位移的形态函数，简称为形函数。N称为形态函数矩阵。,30,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,（11-15）,（11-16）,
11、（i，j，m）,(11-17),式（1115）也可写成,b）形函数的性质 （1） （2）,（11-19）,（11-20）,以上性质可利用行列式的性质证明。 证明如下：行列式任一行（列）元素与其对应代数余子式乘积之和等于行列式的值；行列式任一行（列）元素与其它代数余子式乘积之和等于零。即,31,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,c）保证有限元解的收敛，位移模式必须满足的条件 （1）位移模式必须在单元内连续，并且两相邻单元间的公共边界上的位移必须协调。后者意味着单元的变形不能在单元之间裂开或重叠。,说明如下：（11-13）是连续函数，在其定义区间是连续的。故满足在单元
12、内连续条件。 在边界上，例如i，j 边界 ，因在公共边界上：,无论从哪个单元计算，均有,32,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,（2）位移模式必须包含单元的刚体位移。 如图悬臂梁，悬臂端单元除反映自身变形的位移，端部单元须包含左端单元的变形产生的位移，,可以证明，所选取的线性位移模式（11-13）的刚体位移是。,33,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,34,（3）位移模式必须包含单元的常应变状态。,这点从物理意义上看是显然的。因为当物体被分割成越来越小的单元时，单元中各点
13、的应变相差很小而趋于相等。如果设想将单元尺寸取得趋于无限小时，单元的应变应逼近于常量，也就是说，单元处于常应变状态。所选取的位移模式同样应该反映单元的这种实际状态。,常量应变可由位移模式微分获得,11.2.4 面积坐标,1）定义： 如图（118）所示，将三角形单元i， j， m内任意一点P (x, y)和三顶点分别作连线，将三角形的面积A分割成三个小三角形面积，相应地记为Ai、Aj、Am, 显然有 A = Ai + Aj + Am,2）形函数和面积坐标关系：,35,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,(11-21a),图11-8 面积坐标,同理：,定义三个量 Li、
14、Lj、Lm, 并使,则Li、Lj、Lm称为点P (x, y)的面积坐标，就是说当这三个比值确定了，则点P的位置也就确定了。且,(11-22),Li + Lj + Lm = 1,3）面积坐标性质： （1） 平行于ij边的所有点都有相同的 Li 坐标； （2）三个结点处的面积坐标值为： 结点 i： 结点 j: 结点 m:,36,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,(11-21b),（3）,4）面积坐标和直角坐标的互换 a 从直角坐标到面积坐标：,b 从面积坐标到直角坐标,37,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,5）面积坐标的微分、积分 a
15、微分按符合函数求导法则进行； b 积分按下列公式进行： 三角形单元面积上的积分 三角形某一边上的积分,（i，j，m） (11-29),（11-28）,38,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,例11-1 如图11-9平面三结点三角形单元，试确定P点形函数的值 。,解：解答（1）,39,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,图11-9 例题11-1,利用式（11-16）得：,同理：,；,验证：,40,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,解答（2） 利用面积坐标到直角坐标变换公式,可得,解得,即,41,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工程学院,11.2.5 单元刚度矩阵,a ） 单元应变与单元结点位移的关系,（11-30a）,将单元位移模式（11-15）代入上式，微分可得,42,现代设计方法 第11章 平面问题有限元法,重庆大学机械工
