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1、第 14 章 (1) 拉普拉斯变换,14-1 拉普拉斯变换的定义,14-2 拉普拉斯变换的基本性质,14-3 拉普拉斯反变换,14-4 运算电路,14-5 应用拉普拉斯变换法分析线形电路,14-1 拉普拉斯变换的定义,拉氏变换法是一种数学变化，可将高阶微分方程变换 为代数方程以便求解。,1. 拉氏变换的定义：,s为复频率,f(t)与F(s)一 一对应,拉氏变换:将时域函数f(t)(原函数)变换为复频域函数F(s) (象函数)。,t 0，f(t)=0,f(t)=(t)时此项 0,F(s)称为象函数，用大写字母表示，如I(s)，U(s)。,f(t)称为原函数，用小写字母表示，如 i(t)，u(t)
2、。,2. 存在条件,对于一个函数 f(t)，如果存在正的有限值常数M和c,使下式成立,则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。因为,傅氏积分公式存在的条件是(t)需满足狄里赫列条件，且,是收敛的。这后一个条件的限制性较强，致使工程上常用的一些函数不能进行傅立叶变换，其原因大体是由于t 时过程中(t)的减幅太慢。为了扩大傅氏变换的使用范围，选正实数，用收敛因子et 乘(t)。只要(t)随时间的增长不比指数函数快，则可使,收敛。当t0时，et 将起发散作用。故(t)仅限于t0的情况。这在电路理论中是可行的，因为换路常发生在t0时刻，换路前的历史可用t0时的初始条件概括地表示。于是对 et(t)进行傅
3、氏变换，并引入复变量Sj，便可得到拉氏变换公式。,拉氏变换式地积分下限记为0，如果(t)包含t0时刻的冲激，则拉氏变换也应包括这个冲激。复变量Sj的实部应足够大，使e t (t)绝对可积，(t)的拉氏变换才存在。有些函数t t，e t 2等，不论多大都不存在拉氏变换，这些函数在电路理论中用处不大。原函数(t)是以时间 t 为自变量的实变函数，象函数F(s)是以复变量S为自变量的复变函数。(t)与F(s)之间有着一一对应的关系。,原函数(t)的拉氏变换，实际上就是(t)(t)e t 的傅氏变换。在t0时，(t)0的条件下，拉氏变换可看作傅氏变换把j换成S的推广，而傅氏变换（如果存在）则可看作拉氏
4、变换Sj的特例。因为(t)拉氏变换就是将e t (t)进行傅氏变换，即把信号(t)展开为复频域函数F(s)。复变量Sj常称为复频率，称分析线性电路的运算法为复频域分析，而相应地称经典法为时域分析。,3. 典型函数的拉氏变换,(2)单位阶跃函数,(1)指数函数,(3)冲激函数,= 1,14-2 拉普拉斯变换的基本性质,一.线性性质,二.导数性质,1.时域导数性质,若,则,推广：,*2.频域导数性质,则,若,三.积分性质,若,则,四.平移性质,1. 时域平移(延迟定理),若,则,?,例2：,例3：周期函数的拉氏变换,设 f1(t)为第一周函数,*2.频域平移性质,则：,若,则,*五.初值定理和终值
5、定理,初值定理：,若 f(t)在t =0处无冲激，则,终值定理：,证：利用导数性质,小结：,14-3 拉普拉斯反变换,由象函数求原函数的方法：,(1)利用公式：,(2)对F(s)进行数学处理,象函数的一般形式：,利用部分分式可将F(s)分解为：,令s=p1, 则,同理可得,因此,求极限法,因此,法一,法二,一般形式：,k1，k2也是一对共轭复根,法一,极点为,法二：配方法,同理可得,若为 q 重根，则,小结：,1)n =m时将F(s)化成真分式,1. 由F(s)求f (t)的步骤,解：,2)求真分式分母的根，确定分解单元,3)求各部分分式的系数,4)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换,2.
6、 拉氏变换法分析电路,正变换,反变换,相量形式KCL、KVL,元件复阻抗、复导纳,13-4 运算电路,类似地,元件运算阻抗、 运算导纳,运算形式KCL、KVL,2.电路元件的运算形式,R：,u(t)=Ri(t),1.运算形式的电路定律,i(t)=Gu(t),L:,C :,运算阻抗,运算形式 欧姆定理,3.运算电路,运算电路,如 L 、C 有初值时，初值应考虑为附加电源,时域电路,物理量用象函数表示 元件用运算形式表示,时域电路,运算电路,时打开开关, 14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路,步骤：,1. 由换路前电路计算uc( 0_ ) , iL ( 0_ )。,2. 画运算电路图。,3. 应用电路分析方法求象函数。,4. 反变换求原函数。,t = 0时闭合S,求 iL，uL。,(2)画运算电路,(4)反变换求原函数,求UL(s),例2：求冲激响应。已知,(t 0),(t 0),0.1H,t = 0时打开开关S , 求电流 i 1( t )。,小结：,A. 运算法直接求得全响应,C. 运算法分析动态电路的步骤,B. 用 0_ 初始条件，跳变情况自动包含在响应中,磁链守恒：,1. 由换路前电路计算 uc( 0_ ) , iL ( 0_ )。,2. 画运算电路图。,3. 应用电路分析方法求象函数。,4. 反变换求原函数。,
