线性代数教学课件作者张德全课件3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法

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1、3.2 初等矩阵与求逆 矩阵的初等变换法,初等矩阵的概念,初等变换法求矩阵的逆矩阵,逆矩阵在解矩阵方程中的应用,一、初等矩阵的概念,1初等矩阵 定义1 由单位矩阵 经过一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。,2初等矩阵的类型 三种初等变换对应有三种初等矩阵。,(1)交换两行(或列)。,表示单位矩阵交换i、j行(列),(2)用任意常数,去乘某行(或列)。,第i行(列)乘非零常数k后得到的初等矩阵;,后得到的初等矩阵;,表示单位,矩阵,(3)以数,乘某行(或列)加到另一行(或列)上。,矩阵或表示单位矩阵第,列乘常数k加到第,列后得到的,表示单位矩阵第i行乘常数k加到第j行后得到的初等,初等矩阵。,

2、这样,初等矩阵共有三类: , , 。,3初等矩阵的作用:左乘变行,右乘变列,用,阶初等矩阵,左乘,,得,其结果相当于对矩阵,施第一种初等行变换:,的第,行与第,行对调(,)。类似地,,阶初等,右乘,,其结果相当于对,施第一种初,的第,列与第,列对调(,)。,矩阵,可以验证,,左乘矩阵,,其结果相当于以数,乘,的第,行,;,右乘矩阵,,其结果相当,乘,的第,列(,)。,矩阵,等列变换:把,于以数,同样,还也验证,以,左乘矩阵,其结果相当于对,作初等行变换,;以,右乘矩阵,,其结果相当于对,作初,。,等列变换,综上所述,可得下述定理:,定理1 设,是一个,阶矩阵,对,作一,的左边乘以相应的,阶初等

3、矩阵;对,作一次初等列变换,相当,的右边乘以相应的,阶初等矩阵。,初等行变换,相当于在,次,于在,【注】 这里乘以相应,阶初等矩阵的意思是:,作一次什么样的初等变换,就相当于,乘以对,作同样初等变换得到的初等矩阵。,对,4初等矩阵的可逆性,因为 , ,,所以 , , 。,即: 初等矩阵都是可逆矩阵,且初等矩阵的逆矩阵 仍是同类的初等矩阵。,二、初等变换法求矩阵的逆矩阵,1矩阵可逆的两个充分必要条件,在上一章已经得到:n阶矩阵A可逆的充分必要条件是:A的,。现再给出两个充分必要条件。,行列式,引理 初等变换不改变矩阵的可逆性。,证明 不妨设,阶矩阵,经过一次初等行变换化成矩阵,,则存在初等矩阵,

4、使,若,可逆,则,可逆;又若,可逆,则,可逆。,由定理1,可得:,定理2,阶矩阵,则,可逆的充分必要条件是,只通过初等行(列)变换化为单位矩阵。,为,定理3 设,为,阶矩阵,则,可逆的充分必要条件是,使,。,存在有限个初等矩阵,证明:(必要性)因为,可逆,则,可只通过行(列),。,初等变换化为单位矩阵,所以,,。,若记,,则,是初等矩阵的乘积。,(充分性)若存在初等矩阵,,使,因为,可逆,,从而,可逆,所以,可逆。,例1 设,把,表示成初等矩阵的乘积。,解 见3.1例3,可逆的一个重要意义是,可以分解为初等,(或,)相当于对,施行若干,【注】矩阵,矩阵的乘积。这时,推论1,阶矩阵,与,等价的充

5、分必要条件是存,阶可逆矩阵,阶可逆矩阵,,使,在,及,次初等行(列)变换。,2求矩阵逆矩阵的初等变换法,因为,可逆,据定理2,有初等矩阵,使,,即,。于是,上两式表明:,经一系列初等行变换化为,,则,可经这同一系列初等行变换化为,。,用分块矩阵形,式,两式可以合并为,或,即对矩阵,作初等行变换,当把,化为,时,,就化成了,。,),(,【注】上面介绍的方法中,只能用行变换,不能用列变换。,例2 设,求,。,解,所以,同样地,也可以利用矩阵的初等列变换方法求矩阵的,阶矩阵,逆矩阵。这时,对,进行初等列变换,,当上半子块化为,时,,可逆,且下半子块就是,。即,若上半子块能够化为,时,说明,可逆,否则

6、,,不,可逆。,【注】 在这种方法中,只能用列变换,不能用行变换。,例3 求矩阵,的逆矩阵。,解,故,【注】 设,和,都是,阶方阵,则求它们逆矩阵的,方法有如下几种:,(1)定义法。若,,则 A 是可逆矩阵,且,。,(2)利用推论1。若,或,,则,和,都可逆,并且,(3)公式法。若,,则矩阵A可逆,且,。,(4)初等变换法。,,或,(5)用分块矩阵求逆矩阵。,三、逆矩阵在解矩阵方程中的应用,设有,阶可逆矩阵,及,矩阵,,满足矩阵,的,如何快捷得到?,直接有,方程,因为,可逆,据定理2,有初等矩阵,,使,,即,。于是,上两式表明:,经一系列初等行变换化为,,则,可经这同一系列初等行变换化为,。,用分块矩阵形式,,两式可以合并为,或,即对矩阵,作初等行变换,当把,化为,时,,就化成了,。,特别地,当,时,若,,则,可逆,且,。这便是前面给出的结论。,同理,若,,则有,。即,【注】上半子块能够化为,时,说明,可逆,,不可逆。,否则,

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