《线性代数教学课件作者张德全课件3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数教学课件作者张德全课件3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2 初等矩阵与求逆 矩阵的初等变换法,初等矩阵的概念,初等变换法求矩阵的逆矩阵,逆矩阵在解矩阵方程中的应用,一、初等矩阵的概念,1初等矩阵 定义1 由单位矩阵 经过一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。,2初等矩阵的类型 三种初等变换对应有三种初等矩阵。,（1）交换两行（或列）。,表示单位矩阵交换i、j行（列）,（2）用任意常数,去乘某行（或列）。,第i行（列）乘非零常数k后得到的初等矩阵；,后得到的初等矩阵；,表示单位,矩阵,（3）以数,乘某行（或列）加到另一行（或列）上。,矩阵或表示单位矩阵第,列乘常数k加到第,列后得到的,表示单位矩阵第i行乘常数k加到第j行后得到的初等,初等矩阵。,
2、这样，初等矩阵共有三类： , , 。,3初等矩阵的作用：左乘变行，右乘变列,用,阶初等矩阵,左乘,，得,其结果相当于对矩阵,施第一种初等行变换：,的第,行与第,行对调（,）。类似地，,阶初等,右乘,，其结果相当于对,施第一种初,的第,列与第,列对调（,）。,矩阵,可以验证，,左乘矩阵,，其结果相当于以数,乘,的第,行,；,右乘矩阵,，其结果相当,乘,的第,列（,）。,矩阵,等列变换：把,于以数,同样，还也验证，以,左乘矩阵,其结果相当于对,作初等行变换,；以,右乘矩阵,，其结果相当于对,作初,。,等列变换,综上所述，可得下述定理：,定理1 设,是一个,阶矩阵，对,作一,的左边乘以相应的,阶初等
3、矩阵；对,作一次初等列变换，相当,的右边乘以相应的,阶初等矩阵。,初等行变换，相当于在,次,于在,【注】 这里乘以相应,阶初等矩阵的意思是：,作一次什么样的初等变换，就相当于,乘以对,作同样初等变换得到的初等矩阵。,对,4初等矩阵的可逆性,因为 ， ，,所以 ， ， 。,即： 初等矩阵都是可逆矩阵，且初等矩阵的逆矩阵 仍是同类的初等矩阵。,二、初等变换法求矩阵的逆矩阵,1矩阵可逆的两个充分必要条件,在上一章已经得到：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是：A的,。现再给出两个充分必要条件。,行列式,引理 初等变换不改变矩阵的可逆性。,证明 不妨设,阶矩阵,经过一次初等行变换化成矩阵,，则存在初等矩阵,
4、使,若,可逆，则,可逆；又若,可逆，则,可逆。,由定理1，可得：,定理2,阶矩阵，则,可逆的充分必要条件是,只通过初等行（列）变换化为单位矩阵。,为,定理3 设,为,阶矩阵，则,可逆的充分必要条件是,使,。,存在有限个初等矩阵,证明：（必要性）因为,可逆，则,可只通过行（列）,。,初等变换化为单位矩阵,所以，,。,若记,，则,是初等矩阵的乘积。,（充分性）若存在初等矩阵,，使,因为,可逆，,从而,可逆，所以,可逆。,例1 设,把,表示成初等矩阵的乘积。,解 见3.1例3,可逆的一个重要意义是,可以分解为初等,（或,）相当于对,施行若干,【注】矩阵,矩阵的乘积。这时,推论1,阶矩阵,与,等价的充
5、分必要条件是存,阶可逆矩阵,阶可逆矩阵,，使,在,及,次初等行（列）变换。,2求矩阵逆矩阵的初等变换法,因为,可逆，据定理2，有初等矩阵,使,，即,。于是,上两式表明：,经一系列初等行变换化为,，则,可经这同一系列初等行变换化为,。,用分块矩阵形,式，两式可以合并为,或,即对矩阵,作初等行变换，当把,化为,时，,就化成了,。,),(,【注】上面介绍的方法中，只能用行变换，不能用列变换。,例2 设,求,。,解,所以,同样地，也可以利用矩阵的初等列变换方法求矩阵的,阶矩阵,逆矩阵。这时，对,进行初等列变换，,当上半子块化为,时，,可逆，且下半子块就是,。即,若上半子块能够化为,时，说明,可逆，否则
6、，,不,可逆。,【注】 在这种方法中，只能用列变换，不能用行变换。,例3 求矩阵,的逆矩阵。,解,故,【注】 设,和,都是,阶方阵，则求它们逆矩阵的,方法有如下几种：,（1）定义法。若,，则 A 是可逆矩阵，且,。,（2）利用推论1。若,或,，则,和,都可逆，并且,（3）公式法。若,，则矩阵A可逆，且,。,（4）初等变换法。,，或,（5）用分块矩阵求逆矩阵。,三、逆矩阵在解矩阵方程中的应用,设有,阶可逆矩阵,及,矩阵,，满足矩阵,的,如何快捷得到？,直接有,方程,因为,可逆，据定理2，有初等矩阵,，使,，即,。于是,上两式表明：,经一系列初等行变换化为,，则,可经这同一系列初等行变换化为,。,用分块矩阵形式，,两式可以合并为,或,即对矩阵,作初等行变换，当把,化为,时，,就化成了,。,特别地，当,时，若,，则,可逆，且,。这便是前面给出的结论。,同理，若,，则有,。即,【注】上半子块能够化为,时，说明,可逆，,不可逆。,否则,
