第十一章无穷级数第十一章第8节周期为2l的傅立叶级数

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1、1,一. 以2l 为周期的函数的傅立叶展开,二、内容小结及作业,2,第八节 以2l为周期的函数的傅立叶级数,周期为 2l 函数,周期为 2 函数,变量代换,作傅氏展开,将,的傅氏展开式,3,定理 设周期为2l 的周期函数,则它的傅立叶展开式为,( 在 f (x) 的连续点处 ),其中,一. 以2l 为周期的函数的傅立叶展开,满足收敛定理条件,4,证明: 令,则由,令,则,所以 是以2为周期的周期函数 ,且它满足收敛定,理条件,将它展成傅立叶级数:,( 在 F(z) 的连续点处 ),变成,5,( 在 F(z) 的 连续点处 ),其中,令,( 在 f (x) 的 连续点处 ),6,( 在 f (x

2、) 的 连续点处 ),其中,如果 f (x) 为奇函数 , 则有,其中,( 在 f (x) 的连续点处 ),7,如果 f (x) 为偶函数 , 则有,( 在 f (x) 的连续点处 ),其中,注: 无论哪种情况 ,在 f (x) 的间断点 x 处 , 傅立叶,级数收敛于,8,例1. 交流电压,经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的傅立叶级数.,解: 这个半波整流函数的,9,时,10,n 1 时,11,由于半波整流函数 f ( t ) 在,2 k 次谐波的振幅为,k 越大振幅越小 ,因此在实际应用中取展开式中前几项就够了 .,说明:,上连续,由收敛,定理可得,12,例2. 把,展开成,(1)

3、正弦级数; (2) 余弦级数 .,解: (1) 将 作奇周期延拓, 则有,13,(2),将 作偶周期延拓 ,则有,14,由此还可导出,15,当函数定义在任意有限区间上时,其傅立叶展开方法为:,方法1.,令,即,在,上展成傅立叶级数,周期延拓,将,在,代入展开式,上的傅立叶级数 .,16,方法2.,令,在,上展成正弦或余弦级数,奇或偶式周期延拓,将 代入展开式,在,即,上的正弦或余弦级数 .,17,例3. 将函数,展成傅立叶级数.,解: 令,设,将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数 ,则它满足收敛定理,条件 .,由于F(z) 是奇函数，故,18,二、内容小结,1. 周期为,的函数的傅立叶级数展开公式,( x 间断点),其中,当,为奇 函数时,(偶),(余弦),2. 在任意有限区间上函数的傅立叶展开法,变换,延拓,为正弦 函数 .,19,20,思考与练习,1. 将函数展开为傅立叶级数时为什么最好画出其图形 ?,答: 易看出奇偶性及间断点 ,2. 计算傅立叶系数时为什么有些系数要单独算 ?,答: 用系数公式计算时 ,如出现某些正整数作分母,这些正整数对应的系数就必须单独计算 .,从而便于计算系数和写,出收敛域 .,