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1、5.1 向量的内积与正交向量组,一、向量的内积、长度、夹角 二、正交化方法 三、正交矩阵与正交变换,线性代数-高等教育出版社,2/51,一、向量的内积、长度、夹角,1.向量的内积,线性代数-高等教育出版社,3/51,一、向量的内积长度夹角,1.向量的内积,向量的数积定义为：,线性代数-高等教育出版社,4/51,一、向量的内积长度夹角,1.向量的内积,向量的数积定义为：,长度 夹角,内积的定义,线性代数-高等教育出版社,5/51,一、向量的内积长度夹角,1.向量的内积 定义1 设两个n维向量 ， 或 ， ，规定一 个确定的实数 与之对应，记为 ，即,内积的运算规律,=,称其为向量 与 的内积.,
2、线性代数-高等教育出版社,6/51,一、向量的内积长度夹角,1.向量的内积,线性代数-高等教育出版社,7/51,一、向量的内积长度夹角,1.向量的内积,当 时，,2.向量的长度,线性代数-高等教育出版社,8/51,一、向量的内积长度夹角,1.向量的内积 2.向量的长度,长度的定义,线性代数-高等教育出版社,9/51,一、向量的内积长度夹角,1.向量的内积 2.向量的长度 定义2 设 为n维向量，则非负实数 称为向量 的长度（或范数），记为,三维空间的长度,线性代数-高等教育出版社,10/51,一、向量的内积长度夹角,1.向量的内积 2.向量的长度 定义2 设 为n维向量，则非负实数 称为向量
3、的长度（或范数），记为,长度的性质,线性代数-高等教育出版社,11/51,一、向量的内积长度夹角,1.向量的内积 2.向量的长度,三角不等式,(1)非负性： (2)齐次性： (3)三角不等式：,线性代数-高等教育出版社,12/51,一、向量的内积长度夹角,1.向量的内积 2.向量的长度,向量的单位化,(1)非负性： (2)齐次性： (3)三角不等式：,线性代数-高等教育出版社,13/51,一、向量的内积长度夹角,1.向量的内积 2.向量的长度 3.向量的夹角,夹角的定义,柯西施瓦茨不等式,线性代数-高等教育出版社,14/51,一、向量的内积长度夹角,1.向量的内积 2.向量的长度 3.向量的夹
4、角 定义3 设 和 是n维空间的两个非零向量， 和 的 夹角 为,夹角举例,线性代数-高等教育出版社,15/51,一、向量的内积长度夹角,1.向量的内积 2.向量的长度 3.向量的夹角 定义3 设 和 是n维空间的两个非零向量， 和 的 夹角 为,夹角的值,例,线性代数-高等教育出版社,16/51,一、向量的内积长度夹角,1.向量的内积 2.向量的长度 3.向量的夹角 定义3 设 和 是n维空间的两个非零向量， 和 的 夹角 为,正交向量,例,线性代数-高等教育出版社,17/51,一、向量的内积长度夹角,1.向量的内积 2.向量的长度 3.向量的夹角 定义4 设 和 是n维空间的两个向量，当
5、时， 称向量 与 正交，记为,正交夹角与零向量,线性代数-高等教育出版社,18/51,一、向量的内积长度夹角,1.向量的内积 2.向量的长度 3.向量的夹角 定义4 设 和 是n维空间的两个向量，当 时， 称向量 与 正交，记为,距离的定义,若 若,与任何同维向量都正交,线性代数-高等教育出版社,19/51,一、向量的内积长度夹角,1.向量的内积 2.向量的长度 3.向量的夹角,4.正交向量组,或,线性代数-高等教育出版社,20/51,一、向量的内积长度夹角,1.向量的内积 2.向量的长度 3.向量的夹角 4.正交向量组、标准正交向量组 定义5 两两正交的非零向量组，称为正交向量组.又若正交向
6、量组中向量都是单位向量，则称为标准正交向量组.,向量组正交的充要条件,【注】正交向量组中的向量均为非零向量,线性代数-高等教育出版社,21/51,一、向量的内积长度夹角,4.正交向量组、标准正交向量组 定义5 两两正交的非零向量组，称为正交向量组.又若 正交向量组中向量都是单位向量，则称为标准正 交向量组. 向量组 是标准正交向量组的充分必要条件：,举例,线性代数-高等教育出版社,22/51,一、向量的内积长度夹角,4.正交向量组、标准正交向量组,举例2,例1 在 中，,线性代数-高等教育出版社,23/51,一、向量的内积长度夹角,4.正交向量组、标准正交向量组,举例2,例2,3个行向量为标准
7、正交向量组,线性代数-高等教育出版社,24/51,一、向量的内积长度夹角,4.正交向量组、标准正交向量组,举例3,例2,3个列向量为标准正交向量组,线性代数-高等教育出版社,25/51,一、向量的内积长度夹角,4.正交向量组、标准正交向量组,举例3,例3,3个行向量为标准正交向量组,线性代数-高等教育出版社,26/51,一、向量的内积长度夹角,4.正交向量组、标准正交向量组,正交向量组线性无关,例3,3个列向量为标准正交向量组,线性代数-高等教育出版社,27/51,一、向量的内积长度夹角,4.正交向量组、标准正交向量组 定理 若n维向量组 是一个正交向量组，则 线性无关.,定理的证明,线性代数
8、-高等教育出版社,28/51,一、向量的内积长度夹角,4.正交向量组、标准正交向量组 定理 若n维向量组 是一个正交向量组，则 线性无关. 证 (反证法) 设有不全为零的 ，使 用 与等式两边的向量作内积，利用 时有 可得： 因为正交组中每一个向量非零，所以 从而 所以 线性无关.,例1,线性代数-高等教育出版社,29/51,一、向量的内积长度夹角,例1 已知两个向量 正交， 试求一个非零向量 ，使得 两两正交.,例1解答,线性代数-高等教育出版社,30/51,一、向量的内积长度夹角,例1 已知两个向量 正交， 试求一个非零向量 ，使得 两两正交.,二、正交化方法,解,设,则满足方程组,即,0
9、. 而,有,基础解系为,，故,线性代数-高等教育出版社,31/51,二、正交化方法, 正交向量组中的向量一定线性相关. 线性相关的向量组未必是正交向量组. 施密特(Schmidt)正交化方法： -一种把线性无关向量组正交化的方法,1.正交化,线性无关向量组,正交向量组,线性代数-高等教育出版社,32/51,二、正交化方法（施密特方法）,（1）正交化,2.单位化,取,容易验证：,线性代数-高等教育出版社,33/51,二、正交化方法（施密特方法）,（1）正交化 （2）单位化,正交化方法举例,令,得,为标准正交向量组且与 等价.,线性代数-高等教育出版社,34/51,二、正交化方法（施密特方法）,例
10、2 设 验证向量组线性无关， 并试用Schmidt正交化方法把向量组正交化.,验证线性无关,线性代数-高等教育出版社,35/51,二、正交化方法（施密特方法）,例2 设 解 （验证向量组线性无关）,正交化,因为行列式,所以， 线性无关.,线性代数-高等教育出版社,36/51,二、正交化方法（施密特方法）,例2 设 解 令,正交化化简,线性代数-高等教育出版社,37/51,二、正交化方法（施密特方法）,例2 设 解 令,单位化,线性代数-高等教育出版社,38/51,二、正交化方法（施密特方法）,例2 设 解 令,结果比较,线性代数-高等教育出版社,39/51,二、正交化方法（施密特方法）,例2
11、设,例3,等价,线性无关向量组,标准正交向量组,线性代数-高等教育出版社,40/51,二、正交化方法（施密特方法）,例3 已知 ，求一组非零向量 ， 使 两两正交.,例3解答,线性代数-高等教育出版社,41/51,二、正交化方法（施密特方法）,例3 已知 ， 求一组非零向量 ，使 两两正交.,例3解答,解,应是方程,的基础解系为,向量组 线性无关.,的解.而,线性代数-高等教育出版社,42/51,二、正交化方法（施密特方法）,例3 已知 ， 求一组非零向量 ，使 两两正交.,例3解答,解,应是方程,的基础解系为,向量组 线性无关.,的解.而,线性代数-高等教育出版社,43/51,二、正交化方法
12、（施密特方法）,例3 已知 ， 求一组非零向量 ，使 两两正交.,例3解答,解,因为 与 正交， 与 正交，所以，把 与 正交化即可.,线性代数-高等教育出版社,44/51,二、正交化方法（施密特方法）,例3 已知 ， 求一组非零向量 ，使 两两正交.,例3解答,解,因为 与 正交， 与 正交，所以，把 与 正交化即可.,令,线性代数-高等教育出版社,45/51,二、正交化方法（施密特方法）,例3 已知 ， 求一组非零向量 ，使 两两正交.,三、正交矩阵与正交变换,解,因为 与 正交， 与 正交，所以，把 与 正交化即可.,则,即为所求.,线性代数-高等教育出版社,46/51,三、正交矩阵与正
13、交变换,定义6 若n阶矩阵A满足ATAE(或AATE)，即ATA-1，则称A为正交矩阵.,正交矩阵的特征,线性代数-高等教育出版社,47/51,三、正交矩阵与正交变换,定义6 若n阶矩阵A满足ATAE(或AATE)，即ATA-1，则称A为正交矩阵.,设 则,也就是,正交矩阵举例,线性代数-高等教育出版社,48/51,三、正交矩阵与正交变换,定义6 若n阶矩阵A满足ATAE(或AATE)，即ATA-1，则称A为正交矩阵.,定义7 正交变换,：均为3阶正交矩阵,【注】n阶矩阵为正交矩阵的充要条件是 其行、列向量组均是标准正交向量组.,线性代数-高等教育出版社,49/51,三、正交矩阵与正交变换,定义7 若A为正交矩阵，线性变换y=Ax称为正交变换.,正交变换的特征,正交变换,正交矩阵A,线性代数-高等教育出版社,50/51,三、正交矩阵与正交变换,定义7 若A为正交矩阵，线性变换y=Ax称为正交变换. 正交变换不改变向量的长度和夹角.,作业,设,的夹角为,的夹角为,则,=,长度不变,夹角不变,线性代数-高等教育出版社,51/51,本节课后可以完成的作业,P124（习题五） 一、填空题 1，2，3，4 二、选择题 1，2，3 三、计算与证明题 1，2,
