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1、5.4 对称阵的对角化,一、实对称阵的对角化 二、用正交变换化对角矩阵的方法,线性代数-高等教育出版社,2,一、实对称阵的对角化,定义 所有元素都是实数的矩阵，称为实矩阵.,实矩阵,复矩阵,3个定理,线性代数-高等教育出版社,3,一、实对称阵的对角化,定理1 实对称矩阵的特征值为实数.,定理1 的证明,线性代数-高等教育出版社,4,一、实对称阵的对角化,定理1 实对称矩阵的特征值为实数. 证 设复数 为对称矩阵A的特征值，复向量 为对应的特征向量，即 表示 的共轭复数， 表示 的共轭复向量， 表示A的共轭矩阵. 则 可知， 而 上面两式的差值为 因为 ，则 所以，只有 ，即 ，说明 是实数.,
2、定理2,线性代数-高等教育出版社,5,一、实对称阵的对角化,定理2 设 是实对称矩阵A的两个特征值， 是对应的特征向量，若 ，则 正交.,定理2 证明,线性代数-高等教育出版社,6,一、实对称阵的对角化,定理2 设 是实对称矩阵A的两个特征值， 是对应的特征向量，若 ，则 正交. 证 则 即 于是， 而 ，只有 ，即 正交.,定理3,线性代数-高等教育出版社,7,一、实对称阵的对角化,定理3 实对称矩阵A总可以通过一个正交变换化成对角矩阵，即存在正交矩阵P，使 证（略）.,二、,线性代数-高等教育出版社,8,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵.,线
3、性代数-高等教育出版社,9,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵.,解 得A的特征值：,线性代数-高等教育出版社,10,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵.,解 得A的特征值：,线性代数-高等教育出版社,11,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵.,解,线性代数-高等教育出版社,12,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵.,解 当 时，由 得 的基础解系为,单位化,线性代数-高等教育出版社,13,二、用正交变换化对角矩
4、阵的方法,例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵.,解 当 时，由 得 的基础解系为,单位化,线性代数-高等教育出版社,14,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵.,解 当 时，由 得 的基础解系为,单位化,线性代数-高等教育出版社,15,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵.,解 当 时，由 得 的基础解系为：,线性代数-高等教育出版社,16,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵.,解 (正交化) 令,线性代数-高等教育出版社,17,二、用正交变换化对
5、角矩阵的方法,例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵.,解 (单位化) 令,线性代数-高等教育出版社,18,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵.,解 (单位化) 令,线性代数-高等教育出版社,19,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵.,解 (单位化) 令,线性代数-高等教育出版社,20,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵.,解 (单位化) 令,线性代数-高等教育出版社,21,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对
6、角矩阵.,解 (单位化) 令,线性代数-高等教育出版社,22,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵.,解 (单位化) 令,线性代数-高等教育出版社,23,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵.,解 (单位化) 令,线性代数-高等教育出版社,24,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵.,解 得正交矩阵,线性代数-高等教育出版社,25,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵.,解 得正交矩阵,线性代数-高等教育出版社,26,二
7、、用正交变换化对角矩阵的方法,例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵.,解 得正交矩阵,使,例2,线性代数-高等教育出版社,27,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例2 设 求,例2,线性代数-高等教育出版社,28,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例2 设 求 解 A是对称矩阵，故可对角化.又 得A的特征值为,例2,，,.,线性代数-高等教育出版社,29,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例2 设 求 解 A是对称矩阵，故可对角化.又 得A的特征值为,例2,，,.,当 时，由 得 的基础解系为 再单位化，得 当 时，由 得 的基础解系为 再单位化，得,线性代数-高等教育出版社,30,二、
8、用正交变换化对角矩阵的方法,例2 设 求 解 A是对称矩阵，故可对角化.又 得A的特征值为,例2,，,.,线性代数-高等教育出版社,31,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例2 设 求 解 A是对称矩阵，故可对角化.又 得A的特征值为,例2,，,.,线性代数-高等教育出版社,32,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例2 设 求 解 A是对称矩阵，故可对角化.又 得A的特征值为,例2,，,.,是正交矩阵.,线性代数-高等教育出版社,33,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例2 设 求 解 A是对称矩阵，故可对角化.又 得A的特征值为,例2,，,.,是正交矩阵.,线性代数-高等教育出版社,34,二、用正
9、交变换化对角矩阵的方法,例2 设 求 解 A是对称矩阵，故可对角化.又 得A的特征值为,例2,，,.,是正交矩阵.,线性代数-高等教育出版社,35,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例2 设 求 解 A是对称矩阵，故可对角化.又 得A的特征值为,例2,，,.,是正交矩阵.,线性代数-高等教育出版社,36,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例2 设 求 解 A是对称矩阵，故可对角化.又 得A的特征值为,例2,，,.,线性代数-高等教育出版社,37,二、用正交变换化对角矩阵的方法,例2 设 求 解 A是对称矩阵，故可对角化.又 得A的特征值为,作业,，,.,因此,.,线性代数-高等教育出版社,38,本节课后可以完成的作业,P124（习题五） 一、填空题 9 三、计算与证明题 5，7,
