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1、4.2向量组的线性相关性,一、线性组合 二、线性相关与线性无关 三、向量组等价的概念,线性代数-高等教育出版社,2,一、线性组合,定义1 设有n维向量 对于m个n维向量组成的向量组 如果存在实数 使得 成立， 则称向量 是向量组 的线性组合， 或称向量 可以由向量组 线性表出或线性表示.,k阶子式,线性代数-高等教育出版社,3,一、线性组合,例1 设 容易验证 即，称 是向量组e1e2e3 的线性组合， 或称 可以由向量组 e1e2e3 线性表出或线性表示.,线性代数-高等教育出版社,4,一、线性组合,例2 任何一个n维向量 都是n维单位向量组： 的线性组合 证明: 因为,线性代数-高等教育出
2、版社,5,一、线性组合,例3 零向量是任意向量组的线性组合. 证明 因为,定义法,线性代数-高等教育出版社,6,一、线性组合,例4 设 向量是向量组 之中的一个向量， 则 是 的一个线性组合. 证明 :不失一般性，设存在 且 ，则,定义法,线性代数-高等教育出版社,7,一、线性组合,例5 设 是 的线性组合， 则 也是 的线性组合. 证明: 因为 是 1 , 2 , , i的线性组合，所以存在k1,k2, , ki，使得 =k11 +k22+ + kii成立.故 也成立， 因此, 也是 的线性组合. 该例说明，若向量是某向量组的部分向量的线性组合，那么该向量也是这一向量组的线性组合.,定义法,
3、线性代数-高等教育出版社,8,一、线性组合,例6 判断向量=（4,3,4,1）是否为向量组1=(1,2,1,-1) ， 2=(2,-1,2,3) 的线性组合？ 解 假定是向量组1 ， 2的线性组合，即存在 x1,x2R ，使得= x1 1 +x2 2 ，即 (4,3,4,1)= x1 (1,2,1,-1) +x2 (2,-1,2,3) 根据向量相等的定义， 可得到线性方程组,定义法,线性代数-高等教育出版社,9,一、线性组合,为解此方程组，可对其进行同解变形，这实质上是对矩阵 作行初等变换： 从最后一个矩阵中得到方程组的解 也就是说， 可以由1 , 2线性表出，并且有=21+2,例6,线性代数
4、-高等教育出版社,10,一、线性组合,【注】判断一个向量 是否为向量组A：1，2，, mRn线性组合的一般方法: （1）待定系数法： 第一步：设 第二步：比较分量得n个线性方程， 第三步：解这n个元线性方程组，如果方程组有解，则向量是向量组A的线性组合；若方程组无解，则向量不是向量组A的线性组合.当方程组有唯一解时，则向量可由向量组A唯一线性表示. （2）矩阵方法： 将1，2，, m, 按列排成矩阵(A,b)， (A,b)就是线性方程组 1x1+2x2+ mxm =的增广矩阵. ，就可得到结论.,小结,线性代数-高等教育出版社,11,一、线性组合,例7 判断向量=(4,3,0,11)是否为向量
5、组1=(1,2,-1,5)，2=(2,-1,1,1) 的线性组合？ 解 因为 从最后一个矩阵的第3行中得到了矛盾方程0=1，因此,对应的线性方程组无解， 不能由1 ， 2线性表出.,定义法,线性代数-高等教育出版社,12,二、线性相关与线性无关,1线性相关的定义 定义2 给定向量组A: 1 ,2 ,m ，如果存在不全为零的实数k1,k2, ,kmR，使得k11 +k22+km m=0 成立，则称向量组A 1 ,2 ,m线性相关；否则称向量组A线性无关.,定义法,线性代数-高等教育出版社,13,二、线性相关与线性无关,例8 设 问： 1 ,2,3线性相关吗？ 解：因为存在不全为零的数k1=2,k
6、2=-1,k3=1 ，使得 成立，所以1 ,2,3线性相关.,定义法,线性代数-高等教育出版社,14,二、线性相关与线性无关,例9 设 问： 1 ,2,3线性相关吗？ 解：若有k1,k2,k3R ，使k11 +k22+k33=0 成立.由向量相等的定义可得(k1,k2,k3)=(0,0,0) ，即k1=0,k2=0,k3=0. 因此,1 ,2,3是线性无关的.,定义法,线性代数-高等教育出版社,15,二、线性相关与线性无关,定义2是从向量组的整体属性方面来定义线性相关.向量组的线性相关性还可以从向量组中个体与其它向量之间的相互关系方面来定义. 下面给出向量组线性相关的等价定义.,定义法,线性代
7、数-高等教育出版社,16,二、线性相关与线性无关,定义3 若向量组 中有一个向量可由其余m-1个向量线性表出，则称该向量组线性相关.,事实上，若A: 1 ,2 ,m线性相关，则存在m个不全为零的实数k1,k2, ,km，使得k11 +k22+km m=0 成立. 不妨设k10 ，等式两边同除以k1并移项，得 即1可由其余向量线性表示.,线性相关,线性代数-高等教育出版社,17,二、线性相关与线性无关,另一方面，若1 ,2 ,m中有一个向量可以由其余向量线性表示，不妨设 移项整理后，则有 故1 ,2 ,m线性相关.,线性相关,注：不为零的数对应的向量可以由其余向量线性表示,线性代数-高等教育出版
8、社,18,二、线性相关与线性无关,2线性相关的性质 性质1 若向量 Rn，则与 线性相关 与 线性无关 性质 2 如果一个向量组中含有零向量，则这个向量组必线性相关.,性质,线性代数-高等教育出版社,19,二、线性相关与线性无关,2线性相关的性质 性质 3 两个向量， 线性相关的充分必要条件为=k 或 =k ，kR,即它们的分量对应成比例. 证明（必要性）因为， 线性相关，由定义知，存在不全为零的实数k1 ， k2，使得k1 + k2 =0成立. 不妨设k1 0，则等式两边同除以k1 ，得 即， 结论成立. （充分性）若 =k ，则 -k=0成立.其中的系数为1（不等于0）.故得，必线性相关.
9、 证毕.,性质,线性代数-高等教育出版社,20,二、线性相关与线性无关,例 10 向量 与向量 因为 =2 ， 所以 ,必线性相关.,运用性质法,线性代数-高等教育出版社,21,二、线性相关与线性无关,例 11 若向量=(1,-1)与向量 =(2,x)线性相关，试确定x的值. 解：因为两个向量线性相关，所以它们的分量对应成比例，即 故得 x=-2,运用性质法,线性代数-高等教育出版社,22,二、线性相关与线性无关,例 12 向量 与向量 何时必线性无关？ 解： 在x0时,必线性无关.,运用性质法,线性代数-高等教育出版社,23,二、线性相关与线性无关,性质4 向量组A: 1 ,2 ,m（m2）
10、 的部分向量组成向量组A1: p1 ,p2 ,pt (tm),如果A1是线性相关的，则向量组A必线性相关.（部分相关则整体必相关）,证明：不妨设向量组1 ,2 ,t线性相关，即存在不全为零的实数k1,k2, ,kt R，使得k11 +k2 2+ +ktt=0 成立.故有不全为零的数k1,k2,kt 和kt+1,kt+2,km =0，使得k11+k22 +ktt+kt+1t+1+kt+2t+2+kmm =0成立.从而向量组1 ,2 ,m线性相关.,性质,线性代数-高等教育出版社,24,二、线性相关与线性无关,性质 5 如果一个向量组线性无关，那么它的任何部分向量组成的向量组也线性无关.（整体无关
11、则部分必无关.） 性质 6 若1 ,2 ,m线性无关，而1 ,2 ,m, 线性相关，则可以由向量组1 ,2 ,m线性表出，并且表示法是唯一的.,性质,线性代数-高等教育出版社,25,二、线性相关与线性无关,性质 7 若向量组A： 1 ,2 ,m线性无关，则1 ,2 ,m在对应位置添加分量后得到的向量组仍线性无关. 性质 8 Rn中n个向量1 ,2 ,n线性相关 的充要条件是1 ,2 ,n按行或按列排成的行列式为零； 1 ,2 ,n线性无关的充要条件是1 ,2 ,n按行或按列排成的行列式不为零.,线性代数-高等教育出版社,26,二、线性相关与线性无关,【注】（1）当向量的维数和向量的个数相等时，
12、即向量可以排成行列式时，用行列式判断向量组的线性相关性比较方便. （2）性质8 给出了行列式等于零的原因：该行列式的行向量是线性相关的，列向量也是线性相关的.,线性代数-高等教育出版社,27,二、线性相关与线性无关,例 14 阶梯形矩阵 中二阶子式 所以向量（1，3）与(0，1）线性无关，从而添加分量后得到的向量(1,2,3,4)与(0,0,1,2)线性无关.,线性代数-高等教育出版社,28,二、线性相关与线性无关,3判断Rn中向量组1 ,2 ,m线性关系的一般方法待定系数法： 第一步：设x11 ,x22 ,xmm=0 第二步：由向量相等得到含有n个未知数的齐次线性方程组； 第三步：解这个n元
13、齐次线性方程组，如果方程组有非零解，则1 ,2 ,m线性相关；如果方程组只有唯一零解，则1 ,2 ,m线性无关.,待定系数法,线性代数-高等教育出版社,29,二、线性相关与线性无关,例15 若向量组1,2,3线性无关，证明：向量组 1-2,2-3 ,1- 3也线性无关. 证明 记1=1-2,2=2-3 ,3=1- 3 设x1,x2,x3R，使得 于是有 因为1,2,3线性无关，得 解得此齐次线性方程组的唯一解.故1 ,2 ,3线性无关，即 线性无关.,线性代数-高等教育出版社,30,三、 向量组等价的概念,定义4 如果向量组A: 1 ,2 ,t中每一个向量i都可以由向量组B:1,2 , s线性表出，那么称向量组A可由向量组B线性表出；如果两个向量组相互可以线性表出，则称它们等价.,线性代数-高等教育出版社,31,三、 向量组等价的概念,向量组之间的等价关系具有以下性质： （1）反身性 每一个向量组都与它自身等价. （2）对称性 如果向量组A与向量组B等价，那么向量组B与向量组A等价. （3）传递性 如果向量组A与向量组B等价，且向量组B与向量组C等价，那么向量组A与向量组C等价. 矩阵运算是线性运算的表示形式，故可以用矩阵运算来描述向量组的等价.,线性代数-高等教育出版社,32,作业,习题四 P92:一、5 二、1，2，4 三、2，3，4，5,先复习再写作业,
