《线形代数课件§1.1,1.2矩阵的概念与运算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线形代数课件§1.1,1.2矩阵的概念与运算（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性代数,第一章 矩阵,这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个 4行5列的矩形阵列如下：,例1.,1.1 矩阵的概念,一、引例,二、矩阵的概念,定义1.1 设F是由一些数组成的集合，其中包含0和1.如果F中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是F中的数，则称F为一个数域.,常见的数域:有理数域Q、实数域R、复数域C.,所有整数组成的集合不是数域.,例2. 某企业生产4种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）如表：,排列成的一个,m行n列的矩形数表，称为一个矩阵，记作,其中 称为矩阵第i行第j列的元素。,说明：,1.一般情况用大写字母A，B，C等表示矩阵。,2.矩阵中所有
2、元素均为零，称为零矩阵，记为O。,3.若m=n,则称A为n阶矩阵.（n阶方阵）,定义1.3 若A与B有相同行数，相同的列数，并且对应位置上的元素均相等，则称A=B 。,4.行矩阵、列矩阵,三、几种特殊的矩阵,1.对角矩阵,2.数量矩阵,(a=1时称为单位矩阵E),3.三角形矩阵,4.对称矩阵与反对称矩阵,一、矩阵的加法,定义1.4 两个m行n列矩阵A（ ），B（ ）对应位置元素相加得到的 m行n列矩阵，称为矩阵A与知阵B的和，记为AB。即,例有某种物资（单位：吨）从3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A与矩阵B，,则从各产地运往各销地两次的物资调运量（单位：吨）共为,1.2 矩阵的运算
3、,定义 以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵，称为数k与矩阵A的积，记作kA。如果A ，那么,例2.设3个产地与4个销地之间的里程（单位：公里）为矩阵 A，,已知货物每吨公里的运费为1.5元，则各产地与各销地之间每吨货物的运费（单位：元/吨）可以记为矩阵：,二、数与矩阵的乘法,负矩阵 把矩阵中各元素变号得到的矩阵，称为A的负矩阵，记作-A。即,运算律：,设A，B，C，O都是矩阵，l , k是数，则,（1）A+BB+A （2（A+B）+CA+（B+C） （3）A+OA （4）A+（-A）O,（5）k（AB）kA+kB （6）(k+l)A=kA+lA （7）(kl)A=k(lA) （8）1A=A
4、,例已知,且A2XB，求X。,三、矩阵的乘法,例1某地区有4个工厂、，生产甲、乙、丙3种产品，矩阵A表示一年中各工厂生产各种产品的数量，矩阵B表示各种产品的单位价格（元）及单位利润（元），矩阵C表示各工厂的总收入及总利润。, ,单价 单利,总收入 总利润, ,讨论C与A，B间的关系：,（厂的总收入）=,（厂的总利润）,（厂的总收入）,（厂的总利润）,则矩阵A，B，C的元素之间有下列关系：,=矩阵A第3行元素与矩阵B第1列对应元素乘积的和。,=矩阵A第i行元素与矩阵B第j列对应元素乘积的和。,定义1.6 设矩阵 的列数与矩阵 的行数相同，则由元素,构成矩阵A与矩阵B的积，记为CAB或AB。,前行
5、后列,注意：,前一个矩阵的列数=后一个矩阵的行数.,（前后位置不能互换）,*不符合交换律.,=？,AB=,1.俩矩阵相乘的条件：,分析,A=,B=,例求与矩阵,可交换的一切矩阵。,解：显然与矩阵A可交换的矩阵必为4阶矩阵，设为,，那么 AB=,BA=,由ABBA，,于是可得,其中a,b,c,d为任意数。,例,未知量矩阵,常数项矩阵,则方程组可以表示为矩阵形式,系数矩阵,例解矩阵方程,，X为二阶矩阵。,矩阵的乘法有下列运算规则： （1）（AB）CA（BC） （2）（A+B）CAC+BC （3）C（A+B）CA+CB （4）k(AB)（kA）B=A(kB),方阵的幂:,对于方阵A及自然数k,称为方阵A的k 次幂。,满足性质:,四、矩阵的转置,定义1.7 将 矩阵A的行与列互换，得到的 矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为 。即如果,转置矩阵的性质：,证:（略）,(可推广),矩阵 第 j行第i列的元素,矩阵AB中第i行第j列的元素,A中第i行元素与B中第j列对应元素乘积的和：,矩阵 第 j行第i列的元素,中第j行元素与 中第i列对应元素乘积的和.,B中第j列元素与A中第i行对应元素乘积的和.,
