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1、3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法,一、初等矩阵的概念 二、用初等变换求逆矩阵 三、逆矩阵在解矩阵方程中的应用,线性代数-高等教育出版社,2,一、初等矩阵的概念,定义1 由单位矩阵经过一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵.,初等变换,线性代数-高等教育出版社,3,一、初等矩阵的概念,2初等矩阵的类型 （1）交换两行（或列）.Eij表示单位矩阵交换i、j行（列）后得到的初等矩阵；,三种初等变换对应有三种初等矩阵.,线性代数-高等教育出版社,4,一、初等矩阵的概念,2初等矩阵的类型 （1）交换两行（或列）.Eij表示单位矩阵交换i、j行（列）后得到的初等矩阵； （2）用任意常数k(k0)去乘某行
2、（或列）.Ei(k)表示单位矩阵第i行（列）乘非零常数k后得到的初等矩阵；,三种初等变换对应有三种初等矩阵.,线性代数-高等教育出版社,5,一、初等矩阵的概念,2初等矩阵的类型 （1）交换两行（或列）.Eij表示单位矩阵交换i、j行（列）后得到的初等矩阵； （2）用任意常数k(k0)去乘某行（或列）.Ei(k)表示单位矩阵第i行（列）乘非零常数k后得到的初等矩阵； （3）以数k乘某行（或列）加到另一行（或列）上. Eij(k)表示单位矩阵第i行乘常数k加到第j行后得到的初等矩阵，或表示单位矩阵第列乘常数k加到第列后得到的初等矩阵.,三种初等变换对应有三种初等矩阵.,线性代数-高等教育出版社,6
3、,一、初等矩阵的概念,3初等矩阵的作用：左乘变行，右乘变列,左乘变行，右乘变列,定理1 设是一个阶矩阵，对作一次行初等变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对作一次列初等变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.,线性代数-高等教育出版社,7,一、初等矩阵的概念,4初等矩阵的可逆性 初等矩阵都是可逆矩阵，且初等矩阵的逆矩阵仍是同类的初等矩阵.,可逆性,线性代数-高等教育出版社,8,二、用初等变换求逆矩阵,引理 初等变换不改变矩阵的可逆性.,1矩阵可逆的两个充分必要条件 定理2 A为n阶矩阵，则A可逆的充分必要条件是A可通过行（列）初等变换化为单位矩阵.,定理3 设A为n阶矩阵，则A可逆的充
4、分必要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,Pt ，使A= P1,P2,Pt,求逆矩阵,线性代数-高等教育出版社,9,二、用初等变换求逆矩阵,【注】矩阵A可逆的一个重要意义是A可以分解为初等矩阵的乘积.这时AB（或BA）相当于对B施行若干次初等行（列）变换.,矩阵的分解,线性代数-高等教育出版社,10,二、用初等变换求逆矩阵,推论1 mn阶矩阵A与B等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B,线性代数-高等教育出版社,11,二、用初等变换求逆矩阵,A可逆,或,A-1=？,线性代数-高等教育出版社,12,二、用初等变换求逆矩阵,此法中，只能用行变换，不能用列变换,线性代数
5、-高等教育出版社,13,二、用初等变换求逆矩阵,例2 设A,用行初等变换求A-1.,解,行初等变换,线性代数-高等教育出版社,14,二、用初等变换求逆矩阵,线性代数-高等教育出版社,15,二、用初等变换求逆矩阵,同样地，也可以利用矩阵的列初等变换方法求矩阵的逆矩阵.,列初等变换,线性代数-高等教育出版社,16,二、用初等变换求逆矩阵,例3 用列初等变换求矩阵A的逆矩阵.,列初等变换,解:,故，,线性代数-高等教育出版社,17,小结,求拟矩阵的方法,线性代数-高等教育出版社,18,三、逆矩阵在解矩阵方程中的应用,问题：设有n阶可逆矩阵A及ns阶矩阵B，满足矩阵方程AX=B的X如何快捷得到？,因为A可逆 ,或,行初等变换,线性代数-高等教育出版社,19,三、逆矩阵在解矩阵方程中的应用,同理，若XA=B，则有X=BA-1.即:,列初等变换,线性代数-高等教育出版社,20,作业,P43 15,16,17,18,先复习 再做作业,
