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1、1,第二节 一阶微分方程,1、可分离变量的微分方程,2、齐次方程,3、一阶线性微分方程,4、伯努利方程,5、全微分方程,2,一、 可分离变量的微分方程,（1）如果方程为,则方程可变为,（2.1）,（2）如果方程为,则方程可变为,（2.2）,称形如（1）、（2）的方程为可分离变量的微分方程。,称方程（2.1）、（2.2）为已分离变量的微分方程。,可分离变量方程的求解方法：,3,（1）将方程分离变量得,（2）方程两端积分,（3）方程的通解,(称为通积分),4,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,令,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形
2、,因此可,能增、减解.,如此例, y = 0 也是原 方程的解 , 但在变量 分离时丢失了此解.,5,例2. 解下述初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即方程通解,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,6,例3. 求下述微分方程的通解,解: 令,则,故有,即,解得,( C 为任意常数 ),即方程通解,7,求解微分方程,为所求解.,8,例5. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子,的含量 M 成正比 ,求在衰变,过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.,解: 根据题意 , 有,(初始条件),对方程分离变量,得,即,利用初始条件, 得,故所求铀的变化规律
3、为,然后积分:,已知 t = 0 时铀的含量为,9,例6. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,成正比 ,求降落伞下落速度与时间的函数关系.,解: 根据牛顿第二定律列方程,初始条件为:,对方程分离变量,然后积分, 得,得,利用初始条件,得,代入上式后化简, 得特解,说明:,跳伞后阶段接近于等速运动.,并设降落伞离开跳伞塔时 ( t = 0 ) 速度为 0 ,10,二、 齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程 .,令,则,代入原方程得,即,两边积分, 得,积分后再用,代替 u ,便得原方程的通解 .,11,例1. 解微分方程,解: 令,则,代入原方程得,即,分离变量,两边积分,得,即,故原方程
4、的解为,说明: 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解.,( C 为任意常数 ),12,例2. 解微分方程,解: 因为,令,则有,分离变量,两边积分得,即,代回原变量 , 得通解,即,说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解 , 但 在求解过程中丢失了.,在通解中若允许 C = 0 , 则包含了,x = 0 及 y = x 两解 ,但解 y = 0 仍未包含在内 .,( C 为任意常数 ),13,例 3 求解微分方程,微分方程的通解为,解,14,例 4 求解微分方程,解,15,微分方程的解为,两端积分,16,解,代入原方程得,17,分离变量法得,得原方程
5、的通解,方程变为,18,解,代入原方程,原方程的通解为,19,有OMA = OAM = ,例7. 在制造探照灯反射镜面时, 要求将点光源的光线,反射出去, 以保证探照灯有良好的方向性 . 试求反射镜面 的形状 .,解: 设光源在坐标原点 ,过曲线上任意点 M (x,y) 作切线 M T,则由光的反射定律:,入射角=反射角,于是得微分方程 :,取 x 轴平行于光线反射方向.,从而 AO = OM .,20,利用曲线的对称性 , 不妨设 y 0 , 于是方程化为,( 齐次方程 ),则,积分得,故有,代入,得,令,这是一个抛物线 , 因此反射镜面为旋转抛物面 .,21,顶到底的距离为 h ,说明:,
6、则将,这时旋转曲面方程为,若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得,22,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,三、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,23,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),24,2. 线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐方程通解形式,与齐方程通解相比:,25,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,设通解形式,26,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,27,解,例1,28,例2. 解方程,解:
7、先解,即,积分得,即,用常数变易法求解. 令,则,代入非齐次方程得,解得:,故原方程通解为,29,例3. 解方程,30,求微分方程 的通解.,31,例5. 求方程,的通解 .,解: 注意,用,这是以 为因变量 , y 为自变量的一阶线性方程,由一阶线性方程通解公式 , 得,乘方程两边 , 得,即所求通解为,32,例6 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,33,所求曲线为,34,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,四、伯努利方程,解法: 需经过变量代
8、换化为线性微分方程.,35,求出通解后，将 代入即得,代入上式,36,例1. 求方程,的通解 .,解: 令,则方程变形为,其通解为,将 代入 , 得原方程通解:,37,解,例 2,38,例3 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,39,解,分离变量法得,所求通解为,40,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,41,思考与练习,判别下列方程类型,提示:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,42,五、全微分方程及其求法,1.定义:,则,若有全微分形式,例如,全微分方程 或恰当方程,所以是全微分方程.,43,2.解法:,(1)应用曲线积分与路径无关.,通解为
9、,(2) 用直接凑全微分的方法.,为全微分方程,44,例1. 求解,解: 因为,故这是全微分方程 ,取,则有,因此方程的通解为,45,例2. 求解,解: 因为,所以这是一个全微分方程 .,用凑微分法求通解.,将方程写为,即,故原方程的通解为,或,46,解,是全微分方程,原方程的通解为,例3,47,解,是全微分方程,将左端重新组合,原方程的通解为,例4,48,3、积分因子法,定义:,问题: 如何求方程的积分因子?,49,思考:,如何求解方程,这不是一个全微分方程 ,就化成,对一个非全微分方程 , 若有一个适当的函数,使,为全微分方程 ,在简单情况下, 求积分因子可凭观察和经验得到 .,则称函数,
10、为原方程的积分因子.,但若在方程两边同乘,例2,的方程 .,50,常用的微分倒推式有,51,例5 求解,解: 分项组合得,即,选择积分因子,同乘方程两边 , 得,即,因此通解为,即,因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 .,微分倒推公式,52,解,将方程左端重新组合,有,例6 求微分方程,原方程的通解为,53,解,将方程左端重新组合,有,原方程的通解为,可积组合法,例7 求微分方程,54,内容小结,1. 可分离变量方程的求解方法:,说明: 通解不一定是方程的全部解 .,分离变量后积分;,根据定解条件定常数 .,2. 齐次方程的求解方法:,55,3. 一阶线性方程,方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.,方法2 用通解公式,化为线性方程求解.,4. 伯努利方程,56,练习与思考题,1、方程,是否为齐次方程?,解答：,方程两边同时对 求导:,原方程是齐次方程.,57,2、方程,是否为全微分方程？,解答：,原方程是全微分方程.,58,58,3、已知曲线积分,与路径无关, 其中,求由,确定的隐函数,解:,因积分与路径无关 , 故有,即,因此有,59,59,4、求,的通解。,原方程整理得：,方程两边同乘以,令,代入原方程整理得：,原方程的通解：,解,
