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1、组合变形,第八章,基本变形内容温习简表,刚度条件,内力,1、积分法 2、叠加法,变形,强度条件,应力,外力,弯曲,扭转,拉伸与压缩,轴向拉伸与压缩,圆轴扭转,基本变形内容温习,平面弯曲,8.1 概述,构件同时发生两种或两种以上的基本变形称为组合变形。,烟囱： 自重引起轴向压缩，水平风力引起弯曲。,传动轴：将皮带拉力向杆轴线简化，可知轴除了作用平面为垂直于杆轴线的力偶引起的扭转外，还有横向力引起的弯曲。,m1,P1,P2,m2,在组合变形的计算中，通常都是由力作用的独立性原理出发的。在线弹性范围内，可以假设作用在体系上的诸载荷中的任一个所引起的变形对其它载荷作用的影响可忽略不计。 先将荷载分解成
2、符合基本变形外力条件的外力系，分别计算构件在每一种基本变形时的,范畴：小变形 线弹性,方法：叠加法,实验表明，在小变形情况下，这个原理是足够精确的。因此，可先分别计算每一种基本变形情况下的应力和变形，然后采用叠加原理计算所有载荷对弹性体系所引起的总应力和总变形。,内力、应力、然后进行叠加，以确定组合变形情况下的危险截面，危险点以及危险点的应力状态，据此选择合适的强度理论进行强度计算。,8.2 两相互垂直平面内的弯曲的组合,在屏幕平面内绕 z 轴弯：,Iz: 对中性轴的惯性矩,y: 到中性轴的距离,P,平面弯曲,y,z,中性轴,y,Mz,z,荷载作用面,在垂直于屏幕平面内绕 y 轴弯曲,P,中性
3、轴,荷载作用面,y,z,y,My,z,1.外力分解 (使每个力单独作用时，仅发生基本变形),Py=P cos,Pz=P sin,2.分别计算各基本变形的内力、应力,内力：x截面,(上拉、下压),(后拉、前压),可不定义弯矩的符号，标明弯曲方向,M=P(lx) 总弯矩,Qy= Py =P cos,Qz =Pz=P sin,组合变形时，通常忽略弯曲剪应力。,应力,Mz:,My:,3.叠加,由于两种基本变形横截面上只有正应力，于是 “加” 成了代数和。,截面上任意点应力：,对第一象限的任意A点 (y 0 , z 0),4.强度计算,危险截面 x=0,危险点 D1点最大拉应力， D2点最大压应力,危险
4、点应力状态 单向应力状态,(数值相等),强度条件： max ,(D1是单向拉伸， D2是单向压缩),点D1(y1, z1):,显然,强度条件：,My,5.中性轴(零应力线),不失一般性，令第一象限的点的应力为零即可得到中性轴方程.,y0, z0为中性轴上的点,Mz,z,y,A (y, z),可见中性轴为一条过截面形心的直线，它与z轴的夹角为：,当Iz Iy时， 即中性轴不再垂直于荷载作用面。,z,y,中性轴,荷载(外力)作用面,或写成,My,Mz,对任意横截面，做与中性轴平行的直线，与截面相切于点D1、D2，即为最大拉应力和最大压应力点。将这些点的坐标(y, z)代入应力公式，即可求得最大正应
5、力。,D1,D2,Mz,My,z,y,中性轴,荷载作用面,6.变形,Py引起的自由端的挠度,Pz引起的自由端的挠度,（）,（ ）,f,当Iz Iy时， 即位移不再发生在荷载作用面。因而不属于平面弯曲。,y,z,fy,fz,xy面内y方向的力引起Mz,xz面内z方向的力引起My,对于Iz=Iy的截面(如圆形截面),合弯矩 仍在对称面内，于是总是可以用平面弯曲的公式来进行应力计算，不过此时中性轴已不是y轴或 z轴。,如求a点应力,M: 合弯矩,I: 对中性的惯性矩,s: a点到中性轴的矩离。,My,Mz,M,z,y,s,a,中性轴,常见截面构件受斜弯曲时强度条件：,总结,例101 图示悬臂梁由25
6、b工字钢制成，弹性模量E=200GPa。荷载和几何尺寸如图所示，试求：,(1) 求梁上C点的应力；,(2) 求梁内最大拉应力和最大压应力。,解： (1) 外力分解,(2) 求C点所在截面弯矩,(上拉，下压),(后拉，前压),(3) 求 c,查表：,(4)求Lmax , Cmax,在固定端有最大弯矩，因而Lmax , Cmax发生在该面上。,(上拉，下压),(后拉，前压),显然，最大拉应力发生在固端截面上的A点。,最大压应力发生在固端截面上的B点。,t,z,y,b,h,A,B,8.3 拉伸(压缩)与弯曲组合,P力作用在杆自由端形心处，作用线位于xy面内，与x轴夹角为.,1.外力分解,Py=Psi
7、n y为对称轴，引起平面弯曲,Px=Pcos 引起轴向拉伸,2.内力分析,N=Px,Mz=Py(lx),只有一个方向的弯矩，就用平面弯曲的弯矩符号规定。,3.应力及强度条件,N对应的应力,Mz对应的应力,叠加：,由于忽略了剪切应力，横截面上只有正应力，于是叠加后，横截面上正应力分布规律只可能为以下三种情况：,中性轴(零应力线)发生平移。,危险点的位置很容易确定，在截面的最上缘或最下缘,由于危险点的应力状态为简单应力状态(单向拉伸或单向压缩)，故：,强度条件 max ,例102 如图所示构架已知材料许用应力为, =160MPa。试为AB梁设计一工字形截面。,解： AB梁受力分析,由AB梁的平衡方
8、程易求得,NBC=120kN,XA=104kN，,YA=15kN，, 作内力图,显然危险截面为B截面左侧 。,危险点位于B截面最上缘。,由强度条件：,由于型钢的Wz, A无一定的函数关系，一个不等式不可能确定两个未知量，因此采用试算的方法来求解。,试算： 先不考虑轴力N，仅考虑弯矩M设计截面,Wz = 309 cm3 A=42 cm2,查型钢表： 22a 工字钢,强度不够，选大一号：,22b Wz = 325 cm3 A=46.4 cm2, 校核 22a工字钢能否满足弯矩和轴力同时存在时的强度条件。,22a:Wz = 309 cm3 A=42 cm2, 可认为安全。, 可取22b工字钢。,22
9、b: Wz = 325 cm3 , A=46.4 cm2,8.4 偏心压缩,外力特点：外力平行轴线，但与轴线不重合。,1.外力简化,将P力向形心简化,my=PzP,my=PyP,P,P,O,mz,A ( yP, zP),z,y,x,my,B,P,x,于是得到一个与原力系静力等效的力系：与轴线重合的压力P和两个作用在互相正交的纵向对称面内的力偶my, mz。,P 引起轴向压缩； my 引起绕 y 轴转动的 平 面弯曲； mz 引起绕 z 轴转动的平 面弯曲,偏心压缩是轴向压缩与两个互相正交平面内的弯曲的组合变形。,当杆比较短而粗的时候，可按叠加原理求解。,2.内力分析,对任意横截面，显然有,N
10、= P,My= my=PzP (左拉，右压),Mz= mz=PyP (前拉，后压),N， My ， Mz 不是 x 的函数，即任意横截面上的内力为常量。,3.应力计算,由于N， My ， Mz单独作用时，引起的横截面上的应力均为正应力，因此，由叠加原理， N， My， Mz共同作用时引起的应力，应是单独作用时的应力的叠加。由于均为正应力，因此为代数和。,对横截面上任意点：,对第一象限的点E(y, z),对矩形截面，很容易判断最大压应力发生在D1点，最大拉应力(如果有的话)发生在D2点，显然D1点应力绝对值将大于D2点应力的绝对值。,4.强度条件 max ,例103 图示结构，求底截面上A，B，
11、C，D四点的正应力，以及最大拉应力和最大压应力。,b=0.4m,a=0.2m,A,B,C,D,y,z,x,P=100kN,0.05m,解： 外力简化,yP=0.05m,zP=0.2m,P=100kN,mz =PyP =1000.05=5kNm,my =PzP =1000.2=20kNm, 内力计算,底截面上：,My= my = 20kNm (前拉，后压),Mz= mz = 5kNm (左拉，右压),N = P = 100 kN, 应力计算,截面有关几何参数：,A=ab=0.20.4=0.08m2,（拉）,My= 20kNm (前拉，后压),Mz= 5kNm (左拉，右压),N = 100 kN
12、,A=0.08m2,（拉）,My= 20kNm (前拉，后压),Mz= 5kNm (左拉，右压),N = 100 kN,A=0.08m2,（压）,My= 20kNm (前拉，后压),Mz= 5kNm (左拉，右压),N = 100 kN,A=0.08m2,Cmax= 6.87MPa,Lmax= 4.37MPa,（压）,My= 20kNm (前拉，后压),Mz= 5kNm (左拉，右压),N = 100 kN,A=0.08m2,5.中性轴 (零应力线),不失一般性。我们令第一象限的点的应力为零。,引入惯性半径：,中性轴方程：,显然中性轴为一条直线，作中性轴的平行线与截面相切D1，D2即为最大拉应
13、力和最大压应力所在的点。,(零应力线),D2,D1,y,z,中性轴,O,6.中性轴的特性, 中性轴为一条不过形心的直线，它将截面分成受拉，受压两个区.,一一对应, 偏心力作用点,一条零应力线,y,z,A(yP, zP),(零应力线),中性轴,受压区,受 拉 区,O, 中性轴在y, z轴的截距分别为：,(令z0=0),(令y0=0),ay与yP 符号相反,偏心力P的作用点与中性轴分居形心(坐标原点)的两侧。,ay,az,y,z,A(yP, zP),中性轴,(零应力线),O,az与zP 符号相反,只要足够小(绝对值)，中性轴将会在截面以外。,由,可知：,偏心力的偏心距与中性轴的截距成反比。, 截面
14、核心：,在截面形心附近将存在这样一个区域：当偏心力作用在该区域以内时，中性轴将在截面以外，当偏心力在该区域的边界上时，中性轴将与截面相切，当偏心力作用在该区域以外时，中性轴与截面相割。这个区域称为截面核心。,确定任意形状截面的截面核心边界的方法：,1. 建立坐标系：oyz,O形心,y, z截面互相正交的主惯性轴,求出,O,z,y,2. 以任意一根与截面相切的直线为中性轴，,则其对应的偏心力作用点1的坐标为,其截矩为,O,1,z,y,3. 同样的方法将与截面相切的直线,看成中性轴，求出对应的偏 心力作用点2，3，,O,1,2,3,4,5,y,的坐标，连接1，2，3，点所得到的封闭曲线即为截面核心的边界，该边界包围的黄色面积即为截面核心。,例84 求直径为d的圆形截面的截面核心。,解：建立坐标如图所示。作一条与圆截面相切于A点的直线，将直线看成中性轴，则：,于是1点的坐标为,由于圆关于圆心极对称，于是截面核心，也应为关于圆心极对称的截面，所以截面核,为半径的圆截面。,心为以O为圆心，,8.5 扭转与弯曲,仅讨论圆杆的扭转与弯曲组合变形。,1.外力分析,P： 对称面内的横向力引起平面弯曲。 m ： 作用平面为横截面的力偶，引起扭转。,8.5 扭转与弯曲,仅讨论圆杆的扭转与弯曲组合变形。,2.内力(略去弯曲剪应力),M = P(lx),T = m,P,m,l,x,3.应力
