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1、第八章 气体动理论,本章重点,统计规律的基本特征 理想气体的压强公式和温度的微观本质 麦克斯韦速率分布 最概然速率、方均根速率和平均速率 能量均分定理 气体分子的平均自由程,学会大数粒子系统的统计描述方法,8.1 分子运动的基本概念,宏观物体由大量粒子(原子、分子等)组成,N06.021023 mol-1,1 mol任何物质所含的分子(原子、离子)为阿伏伽德罗常数(Avogadro Amedeo, 17761856)个：,分子的直径(线度)数量级：10-10 m,分子之间有距离，标准状态下，气体分子之间的距离是它本身线度的10倍左右。,物体的分子在永不停息地作无序热运动,分子间存在相互作用力,
2、f,r,ro,斥力,斥力,Ep,r,ro,8.2 气体分子的热运动,气体分子热运动可以看作是在惯性支配下的自由运动,忽略重力的影响，气体分子在相邻两次碰撞之间的运动可以看作是在惯性支配下的自由运动,气体分子间的相互碰撞,在标准状态下，气体分子的平均速率为每秒几百米；1 cm3的气体中约有2.71019个分子；一秒内一个分子与其他分子碰撞次数的数量级约为109次；分子碰撞的实质是在分子力作用下分子的散射过程。,气体分子热运动服从统计规律,分子的个体运动具有偶然性，分子的整体运动具有规律性； 规律性体现在在平衡状态下，分子沿任一个方向的运动不比其他方向有优势(等概率性)，这种等概率性保证了分子的速
3、度在各个方向投影的各种统计平均值也应相等；气体中各处分子数密度相等。,例如：,宏观物理量(M)统计平均值的一般计算方法,系统处在一定的宏观状态时，它还可以处在许多不同的微观状态。当测定描述系统宏观状态的某一物理量M的数值时，由于系统的微观状态在变化，所以各次实验所测得M的值不尽相同。设在对M的测量中，系统处于微观状态A从而出现测量值为MA的次数为NA，系统处于微观状态B从而出现测量值为MB的次数为NB，实验总次数NA+NB+N，则M的统计平均值为：,8.3 统计规律的特征,伽耳顿板实验,统计规律的两个重要特征：,统计规律是大量偶然事件的总体所遵从的规律,统计规律和涨落现象是分不开的。涨落指的是
4、任一瞬时观测到的宏观量的数值相对于统计平均值出现偏离的现象。,统计规律是大量分子集体所遵从的规律，它在本质上不同于力学规律；热运动本质上也不同于机械运动。,8.4 理想气体的压强公式,理想气体的微观模型,1、气体分子大小与分子间距相比较可忽略。,3、碰撞为完全弹性碰撞，碰撞前后分子动 能不变。,质 点,自由质点,弹性质点,2、除碰撞外，分子间及分子与容器壁之间 均无相互作用。,理想气体的微观模型： 自由地作无规则运动的弹性质点集合。,理想气体物态方程(复习),态参量(state parameter)：描述宏观状态的物理量,对气体，有三个重要的参量： 体积(V )、压强(p )、温度(T )，注
5、意各量的单位。,平衡态(equilibrium state)：以均匀为主要特征，包括热平衡（温度均衡），力学平衡（压强均衡），化学平衡（化学成分均衡）。平衡态指宏观状态参量的平衡，而大量分子仍然在做无规则运动。处于平衡态的系统与外界没有功和热量的交换。,理想气体的状态方程 (State Equation for Ideal Gas) ：,对于质量为M、摩尔质量为的理想气体，有：,对于气体处于平衡态时，p 、V、T 中的其中任意两个均为独立的态参量。以独立的态参量为坐标可作出气体的状态图。,其中气体常量R可由阿伏伽德罗定律求出：,从分子运动看压强的形成,气体压强是大量分子不断碰撞容器壁的结果,压
6、强等于单位时间内容器壁上单位面积所受 的平均冲量,个别分子服从经典力学定律 大量分子整体服从统计规律,从微观上看，气体的压强等于大量分子在单位时间内施加在单位面积器壁上的平均冲量，就像密集的雨点打在雨伞上对伞产生一种压力那样。,单个分子撞击器壁,多个分子合冲力曲线,大量分子产生持续的平均冲力曲线,理想气体的压强公式,平衡态理想气体的统计假设,1、分子数密度 n 处处相等（均匀分布）， 各处的 n 值为同一个 n=N/V 值。,2、分子沿各个方向运动的概率相同,分子速度在各个方向分量的各种平均值相等,任一时刻向各方向运动的分子数相同,压强公式的推导,体积为V 的容器中有N 个质量为m 的气体分子
7、，处于平衡态。现将它们分为若干组：第i 组为速度在 vivi+dv 区间内的分子，这组分子的速度基本上都是vi，数密度为ni。显然有关系：,平衡态时，器壁上压强处处相等。现对器壁上一块小面积dA 所受的压力、压强进行分析。,一次碰撞后，分子动量的改变：,要求出所有分子对dA的总冲量，只要对上式求和。 注意到vx0 和vx0的分子各占总分子的一半：,因此该分子在一次碰撞后施加给器壁的冲量为 ，沿x方向。,对第 i 组的分子，在 dt 时间内如果处于以dA为底vidt为轴线高为vixdt 的柱体内，则这样的分子就能与dA相碰撞，能发生碰撞的总数为nivixdtdA 个，总冲量为：,单位时间内作用在
8、dA上的冲量即力为F=dI/dt，并且dA上的压强 p=F/dA=dI/(dAdt):,其中 ，代入上式，可得：,理想气体动理论基本方程，也叫压强公式。 气体压强本质上是气体分子碰撞器壁的平均冲力， 其大小和分子数密度及分子平均平动动能成正比。,注意式中各量均为统计平均值，只有对大量分子才成立。,压强公式：,为分子的平均平动动能。,压强公式表明：宏观量是大量粒子热运动的集体表现，决定于微观量的统计平均值。压强公式揭示了三个统计平均值之间的关系，显然，无法用单纯的力学概念得到这个关系。,分子的平均平动动能,设总质量为M 的气体包含有N个质量为的m分子，分子的摩尔质量为，阿伏伽德罗常数为 NA ，
9、则可以改写理想气体状态方程：,为玻耳兹曼(Boltzman)常量。,注意到前述理想气体状态方程中也有宏观量压强，因此作以下的改写。,理想气体的温度公式,理想气体温度,温度的微观本质,理想气体温度 T 是分子平均平动动能的量度，是分子热运动剧烈程度的标志。,温度 是大量分子热运动的集体表现，是统计概念，对个别分子无温度可言。,绝对零度 达不到。,气体分子的方均根速率：,在常温下许多气体的速率可达几百米每秒。,例 两瓶不同种类的气体，其分子平均平动动能相等，但分子密度数不同。问： 它们的温度是否相同？压强是否相同？,解,例 试求氮气分子在（1）温度 t=1000C 时，（2）t=0C 时，（3）t
10、= -150C 时的平均平动动能和方均根速率。,（2）同理在温度 t=0C 时,（1）在温度 t=1000C 时,解,（3）在温度t= -150C时,8.5 麦克斯韦速率分布定律,麦克斯韦是十九世纪最伟大的数学家及物理学家，是现代电学的奠基人，热力学、统计学的创建者之一。 1859年麦克斯韦首先从理论上导出了在平衡态下理想气体分子速率分布的统计规律麦克斯韦速率分布 (Maxwell speed distribution)规律 。,分布的概念,以对高考成绩的统计为例说明：先按5分(Dh)为一个分数段分组，第 i 组在成绩在hi hi+5区间内，这一组的人数Ni占总人数N的百分比为Fi，则有如下关
11、系：,归一化。,显然这里的Ni 或 Fi 与分数段的大小h以及所在位置 h 有关。更为精确的做法是将h0。,这次高考的平均成绩为：,fi=Fi /Dh,注意到在hh+dh区间内的人数为 ，同样可以求得这次高考成绩的平均分数为：,连续变化,当h0时，前述的直方图就变成了连续分布的曲线图。,而乘积 的积分就可得到曲线下面积，并且这个面积为1： 。,由此可知，能求出函数 最为重要。,分子速率的实验测定,斯特恩(O. Stern)于1920年最早在实验中测定了分子速率。之后，许多实验成功地证实了麦克斯韦速率分布规律。现简要说明蔡特曼( Zartman ) 和我国葛正权在19301934年测定分子速率的
12、实验装置。,银分子从分子源开口逸出，通过两个准直的狭缝后，进入旋转的圆筒。继续前进，撞击并粘附在弯曲的玻璃记录板上。形成一定的分布。,设玻璃记录板上 l 处的分子速率为 v，则有如下关系：,可求出 l 处的分子速率 v：,用测微光度计可测定并自动记录玻璃板上各部分变黑程度，即不同速率区间的相对分子数。由此可绘出分子速率分布曲线。,1955年,利用已经相当成熟的分子束实验技术,美国哥伦比亚大学的密勒(R.C.Miller)和库什(P.Kusch)以更高的分辨率，更强的分子射束和螺旋槽速度选择器，测量了钾和铊的蒸汽分子的速率分布,所得实验数据与理论曲线符合得极好。,j 为入口和出口狭缝之间夹角，L
13、为柱体的长度，w 为柱体旋转的角速度，则：,麦克斯韦速率分布定律,对大量分子的整体，在一定条件下，实验和理论都证明它们的速率分布遵从一定的统计规律。 理想气体分子按速率间隔分布的规律称为麦克斯韦速率分布规律。为了寻找这一规律，把速率分成很多小的区间Dv，以DN 表示N 个分子分布在区间vv+Dv中的分子数，可以做出如下的分布曲线：,表示N 个分子分布在v 附近Dv 速率区间中的分子数占总分子数的百分比，与v 、Dv有关。,表示N 个分子分布在v 附近单位速率区间中的分子数占总分子数的百分比，与v 有关。,定义速率分布函数：,即在速率 v 附近，单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比，就是图中
14、曲线所描述的函数。,麦克斯韦速率分布函数 (Maxwells speed distribution function),上式中的m 是分子的质量， 是玻耳兹曼常数。,理想气体在温度为T的平衡态下的分子速率分布函数为：,分布函数f(v)为速率v的连续函数。注意到以下一些表达式的物理意义:,2、 表示速率在vv+dv区间内的分子数。,1、 表示在总分子数N中，速率在vv+dv区间内的分子数占分子总数的百分比。,3、 表示在总分子数N中，速率在v1v2区间 的分子数占总分子数的百分比。并且，当积分 限为0时，这个积分的为100%归一化。,在麦克斯韦速率分布曲线下的任意一块面积等于相应速率区间内分子数
15、占总分子数的百分比。,归一化条件:,分子速率的三种统计平均值,1、最概然速率 (most probable speed)，与速率分布曲线上的最大值相对应：,2、平均速率(mean speed),3、方均根速率(root-mean-square speed ),同种分子在不同温度下的分子速率分布曲线,例 图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率分布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？,(1) T1 T2,(2) 红：氧 兰：氢,解,例 处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于金属中自由电子( “电子气”模型 )。设导体中自由电子数为 N ,电子速率最大值为费米速率vF，且已知电子速率在 v v + d v 区间概率为：,（1）画出电子气速率分布曲线,（2）由vF 定出常数 A,（3）求,（1）,解,（2）由归一化条件,（3）,8.7 能量按自由度均分定理,讨论的对象是理想气体,对于能量问题要考虑分子内部结构 因为分子热运动的能量包括了作为整体运动的平动能量、还有分子的转动能量、甚至还有分子内部的振动能量。,对于碰撞问题将分子看成质点，碰撞形成压强。,自由度的概念,确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数。,质点的自由度: （ x，y，z ）,最多3
