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1、3 不完全信息静态博弈 3.1 简介博弈论在1970年代之后逐渐进入主流经济学体系，主要是由于它在不完全信息条件下的经济分析中表现出特别的优势。不完全信息指经济活动中一部分经济主体的某些特征对于其他主体来说是不清楚的。如在拍卖商品或工程招投标中。信息不完全又称为信息不对称，即其他局中人没有特定局中人清楚特定局中人自身的特征。不完全信息静态博弈就是假定某些局中人具有其他局中人不清楚的某些特征的静态博弈。但对于局中人本身来说，他自身的这些不为人所知的特征对于他自己来说是清楚的，因而称这些特征为局中人自己拥有的“私人信息”（private information）。在博弈论中，习惯地将局中人的“私人
2、信息”集中表现为局中人的支付函数特征，也就是说，局中人的私人特征将完全通过其支付函数特征表征出来，而不完全信息就表现为一些局中人不清楚另一局中人的支付函数，当然，每个局中人是完全清楚自己的支付函数的。3.2 理论: 静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡在假定局中人拥有私人信息的情况下，其他局中人对特定局中人的支付函数类型并不清楚，局中人不知道他在与谁博弈，在1967年前，博弈论专家认为此时博弈的结构特征是不确定的，无法进行分析。Harsanyi（1967、1968）提出了一种处理不完全信息博弈的方法，即引入一个虚拟的局中人“自然N”。N首先行动，决定每个局中人的特征。每个局中人知道自己的特征，但不知
3、道其他局中人特征。这种方法将不完全信息静态博弈变成一个两阶段动态博弈，第一个阶段是自然N的行动选择，第二阶段是除N外的局中人的静态博弈。这种转换被称为“Harsanyi转换”，它将不完全信息博弈转换为完全但不完美信息博弈。局中人拥有的私人信息为他的“类型”，由其支付函数决定，故常将支付函数等同于类型。用表示局中人的一个特定类型，表示局中人所有可能类型的集合，即，称为局中人的类型空间，。不完全信息静态博弈中，局中人的类型存在多种可能，因而与局中人相关的各种概念都随其类型的不同而不同。局中人的行动空间将随类型而变化，即。支付函数也是类型依存的，可将其记为： 。该式给出的是在其他局中人已选定行动，时
4、，局中人选行动获得的支付。显然给定时最大化的与有关，即，其中是给定时最大化的。用“类型依存”来描述包括最优战略在内的相关概念与类型的对应关系。对局中人，他不知道其他局中人的类型。当他选择行动时，如果给定其他局中人类型与其最优战略的一个对应组合，其支付为：。假定局中人认为其他局中人的类型组合恰好为的概率为。记事前的分布密度为，称为“先验概率”，即局中人在博弈之前掌握的知识使其对的取值可能性判断。显然，就是一种条件概率的概念，即当局中人的类型为时，他认为取值的概率为 这是概率论中著名的贝叶斯公式（Bayes equition）。因为不知道，我们这里用vonNeumannMorganstern效用函
5、数刻画这种不确定下的支付函数，即的期望支付为 显然，最大化上式的就是的最优战略，它与有关，故。当存在一组“类型依存”的最优战略，满足 则称是一个（纯战略）纳什均衡，也称为贝叶斯纳什均衡（Bayes Nash equilibrium）。是类型依存的，即。为了减少复杂性，假定博弈开始之前各个局中人掌握的关于的分布密度知识是相同的，即概率分布密度是所有局中人的共同知识。这被称为Harsanyi公理。这一公理表明所有局中人有关自然行动的信念（belief）是相同的。贝叶斯纳什均衡（也简称贝叶斯均衡）是完全信息静态博弈纳什均衡概念在不完全信息静态博弈上的扩展。有时也称不完全信息静态博弈为静态贝叶斯博弈或
6、贝叶斯静态博弈。人静态贝叶斯博弈的战略式表述：局中人类型空间；条件概率；战略空间；支付函数。知道。用表示该博弈。博弈顺序为：自然选，局中人观察到，但局中人仅知道，不能观察到。个局中人同时选行动（战略），。得到支付，。该定义不排除局中人可能拥有关于局中人类型的某种信息，而当所有局中人类型空间只有一个元素时，不完全信息静态博弈就退化为完全信息静态博弈。同时，这里假定和本身是共同知识，即尽管其他局中人不知道的类型，但他们知道的战略空间和支付函数是如何依赖于他的类型的，即当他们知道时，就必然知道和。人不完全信息静态博弈的纯战略贝叶斯纳什均衡是一个类型依存战略组合，满足： 有限博弈的不完全信息静态博弈至
7、少存在一个贝叶斯纳什均衡。纯战略只是一个行动如何依类型而变的规则，不是指一个具体的结果。例 市场进入博弈一个完全垄断企业B正垄断着一个行业的市场，另一个潜在的试图进入该行业的企业A，称A为进入者，B为在位者。A不知道B的成本特征，设B有两种可能的成本，即高成本和低成本。两种成本情况下的博弈矩阵见下表。市场进入博弈 B高成本低成本默认斗争默认斗争A进入40,50-10,030,80-10,100不进入0,3000,3000, 4000, 400假定B知道进入者A的成本为高成本，且与B为高成本时的成本相同。假若信息是完全的，则当B为高成本时，唯一的精炼纳什均衡为（进入，默认），另一纳什均衡（不进入
8、，斗争）是含有不可置信的威胁。当B为低成本时，唯一的纳什均衡为（不进入，斗争），即若A进入行业，具有低成本优势的B将通过降低价格将A逐出市场。由于存在行业进入成本，所以A被逐出市场后将有净的10单位进入成本的损失。当A不知道B的成本情况时，他的选择将依赖于他对B的成本类型的主观概率或先验概率密度。设A对B是高成本的先验概率判断为，则A认为B为低成本的概率为。如果A进入，其期望支付为 如果1不进入，其期望支付为0。当且仅当或时，A选择进入；反之，当时，A不进入。于是，贝叶斯均衡为： （进入，默认），高成本，； （进入，斗争），低成本，； （不进入，*），其中*表示可以是斗争，也可以是默认。例 不
9、对称信息(asymmetric information)下的古诺竞争 市场中有两个企业。市场需求: P(Q) = a Q, Q = q1 + q2.企业 1 成本: C1(q1) = cq1.企业 2 成本: 以概率 q取C2(q2) = cHq2，以概率 1 q取 C2(q2) = cLq2。企业 2的产量依赖于成本: max (a - q1* - q2) - cHq2和max (a - q1* - q2) - cLq2企业 1 选择 q1 max q(a - q1 - q2*(cH) - cq1 + (1q)(a - q1 - q2*(cL) - cq1 一阶条件 (a - q1* - c
10、H) 2q2*(cH) = 0 (a - q1* - cL) 2q2*(cL) =0q(a - q2*(cH) - c +(1-q)(a - q2*(cL) - c - 2q1*=0解出q2*(cH) = + (cH - cL)q2*(cL) = (cH - cL)q1*= 3.3 应用例1 信息不完全的性别战 帕特 歌剧 拳击 歌剧 2+ tc，1 0， 0克丽斯 拳击 0， 0 1， 2+ tp 类型空间: Tc = Tp = 0, xtp和tc 为0, x上的均匀分布.推断（密度函数）: pc (tp) = pp (tc) = 1/x直觉: 分别存在临界值c与p：当 tc c时，克丽斯选
11、择歌剧, 否则选择拳击.当 tp p时，帕特选择拳击, 否则选择歌剧.克丽斯的期望收益看歌剧： (2 + tc) + (1 ) 0 = (2 + tc)看拳击： 0 + (1 ) = 1 选择歌剧最优(2 + tc) 1 即 tc 3 因此临界值 c = 3 帕特的期望收益看拳击：(1 )0 +(2 + tp) = (2 + tp)看歌剧： (1 ) + 0 = 1 由选择拳击最优tp - 3 临界值 p = - 3 解得 p = c和 p2 + 3p x = 0.克丽斯选择歌剧的概率1 - = = 1 帕特选择拳击的概率1 - = = 1 当x 0时， 1 1 这正是完全信息下性别战博弈的混
12、合战略纳什均衡。例2 拍卖（an auction）拍卖方式最为流行的拍卖方式有4种：英式（增价公开）拍卖，荷兰式（减价公开）拍卖，一级价格密封拍卖（first-price sealed auction），二级价格密封拍卖（second-price sealed auction，又称Vickrey拍卖）。从形式上说前两种是公开拍卖，后两种是密封式拍卖；从实质上来说，英式拍卖和二级价格拍卖是（第）二价拍卖，其余两种是（第）一价拍卖。（1）英式拍卖：卖者以一个价格（可能很底）起拍，并逐步提高这个价格。如果一个投标者放弃了，就不能在后面再参与拍卖。当拍卖只有一个竞拍者时，他就是获胜者，并支付该时刻的价
13、格。（2）荷兰式拍卖：卖者以一个价格（高）起拍，并逐步降低这个价格，第一个应拍的竞拍者以该时刻的价格获取拍卖品。（3）一级密封拍卖：每个竞拍者拿出一个密封的竞价交给出售者。出价最高者获胜并支付这个最高的价格。（4）二级密封拍卖：与一级密封拍卖唯一不同的是，出价最高者获胜但支付的第二高的竞价。尽管英国式拍卖和第二价格拍卖看起来很不相同，但从它们如何引导参与人理性决策来说，效果是一样的。因此，我们说这两种拍卖在策略上是等价的，有些经济学家甚至借用数学语言说它们是“同构”的。在这两种拍卖中，参与人受到要“显示私人真实评价”的激励。在第二价格拍卖中，这是最明显的，因为每个买主直接把他们对拍卖品的评价写
14、在密封的信封里。在英国式的拍卖中，买主则需要通过逐渐抬高出价来慢慢接近自己的评价。考虑密封第二价格拍卖中的买主。他必须把他的出价写下来，密封在信封里交给拍卖人。因为赢得交易的人只用付出第二高价格，所以在信封中写下他愿意付出的最大价格将是符合买主利益的决策行动，而这时候的最大价格又等于他对拍卖品的评价。如果他赢得了拍卖，第二高的价格将比他对拍卖品的评价低，所以这时候买主还将获得一些额外利润或者说剩余。如果他写下的出价低于他的估计，他就面临着不能在一个他可以接受的价格水平上获得拍卖品的风险，但如果出价高于他的评价，他也要面临必须以一个高于他的评价的价格水平购买拍卖品的风险。因此，在这样的拍卖制度下，按自己的评价出价依然是一个优势策略。对于一个处于英式拍卖制度下的买主，当出价不断地被抬高的时候，他必须要作出决策，决定是出比他的竞争对手更高的价，或者
