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1、,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量,法线向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,已知,设平面上的任一点为,必有,一、平面的点法式方程,第五节 平面及其方程,下页,上页,首页,平面的点法式方程,平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形,其中法向量,已知点,下页,上页,首页,解,求过A（1,1,-1）、B(-2,-2,2)和C(1,-1,2)三点,的平面方程。,例1,所求平面方程为：,即：,下页,上页,首页,求平行于xoz面且经过点(2,-5,3)的平面方程；,例2,下页,上页,首页,由平面的点法式方程,平面的一般方程,法
2、向量,二、平面的一般方程,下页,上页,首页,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 情形.,下页,上页,首页,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,下页,上页,首页,设平面为,将三点坐标代入得,解,下页,上页,首页,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,下页,上页,首页,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,下页,上页,首页,化简得,令,所求平面方程为,下页,上页,首页,定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,三、两平面的夹角,下页,
3、上页,首页,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,下页,上页,首页,例6 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,下页,上页,首页,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合.,下页,上页,首页,解,下页,上页,首页,下页,上页,首页,点到平面距离公式,下页,上页,首页,平面的方程,（熟记平面的几种特殊位置的方程）,两平面的夹角.,点到平面的距离公式.,点法式方程.,一般方程.,截距式方程.,（注意两平面的位置特征）,四、小结,下页,上页,首页,思考题,下页,上页,首页,思考题解答,下页,上页,首页,练 习 题,下页,上页,首页,下页,上页,首页,练习题答案,下页,上页,首页,
