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1、第13章 杆系结构,重庆朝天门大桥,现代设计方法第13章 杆系结构,2,重庆大学机械工程学院,13.1 一维杆单元,13.1.1 一维杆单元及其位移模式 一维杆单元如图13.1所示，单元长度为L，横截面积为A，材料弹性模量为E。单元的两个结点记为i、j，单元只承受轴向力。取一维坐标O x为由i 指向 j，结点位移向量记为 结点力向量记为 线性位移模式为 图13.1 一维杆单元,现代设计方法第13章 杆系结构,3,重庆大学机械工程学院,（13-3）,13.1.2 一维杆单元的形函数 利用单元两结点处的位移条件： 解出 并回代入（13-3），按结点位移 整理 （13-4） 形函数 （13-5）,现
2、代设计方法第13章 杆系结构,4,重庆大学机械工程学院,14.1.3 一维杆单元的应变矩阵、应力矩阵和单元刚度矩阵 从材料力学可知 将式(13-3)代入上式可得： （13-6） 式中 （13-7） 由胡克定理： （13-8） 应力矩阵 （13-9） 单元刚度矩阵为,现代设计方法第13章 杆系结构,5,重庆大学机械工程学院,将（13-7）代入得 （13-11） 单元的结点平衡方程为 （13-12）,现代设计方法第13章 杆系结构,6,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第13章 杆系结构,重庆大学机械工程学院,7,例13-1 用有限元法求图13-2（a）所示受拉阶梯杆的位移和应力。已知杆截面面积,
3、材料弹性模量,各段杆长,作用于杆端的拉力,解： (1) 单元划分 如图（b），为2单元3结点结构。,(2) 单元刚度矩阵 由（13-12）得：,单元：,单元：,现代设计方法第13章 杆系结构,重庆大学机械工程学院,8,(3) 整体方程 列出单元及其整体结点编号表格,将各段的长度，截面积，材料模量和杆端拉力F3的值代入（c）式，可得,（c）,现代设计方法第13章 杆系结构,重庆大学机械工程学院,9,(4) 计入边界条件，解方程组 代入位移边界条件为u1 = 0，得,解得,。 这与材料力学求得的结果相同。,(5) 计算单元应力 由式（13-8）和式（13-9）,对于单元，,对于单元，,14.2 平
4、面杆单元,13.2.1 平面杆单元 平面杆单元如图13.2所示。单元的截面积为A，材料弹性模量为E，长度为l。整体坐标下的结点位移分量为 结点力向量为,图13.2 二维杆单元,现代设计方法第13章 杆系结构,10,重庆大学机械工程学院,13.2.2 坐标变换 由图可知 （13-15） 结点位移向量的转换 （13-16） 即 （13-17） 式中,图13.3 坐标系的旋转变换,现代设计方法第13章 杆系结构,11,重庆大学机械工程学院,而方向余弦可由结点坐标计算: T 是正交矩阵,即：,单元结点力向量的转换,（13-19）,即：,（13-20）,现代设计方法第13章 杆系结构,12,重庆大学机械
5、工程学院,(c),两端右乘,（13-21）,由上(c) (d)两式可得,由 的任意性可得,现代设计方法第13章 杆系结构,13,重庆大学机械工程学院,单元刚度矩阵的转换：,(d),式（13-17）代入（13-13）,式（13-14）代入（13-20）,（13-23）,式（13-23）即为二维杆单元的单元刚度矩阵。,引入一维杆单元的单元刚度矩阵（13-11）并扩展为,（13-22）,可得,现代设计方法第13章 杆系结构,14,重庆大学机械工程学院,13.2.3 应力的计算,应变可以由下式计算：,单元应力可由胡克定理 给出,由式（13-17）可得,注意到 ，可得：,现代设计方法第13章 杆系结构,
6、15,重庆大学机械工程学院,杆件应力为,（13-24）,现代设计方法第13章 杆系结构,16,重庆大学机械工程学院,例2 平面桁架，尺寸如图13-5所示，各杆截面积，材料弹性模量，试确定各杆应力和各结点位移。,解：1） 结点编号，结点坐标，各单元方向余弦,现代设计方法第13章 杆系结构,17,重庆大学机械工程学院,图13-5 例题13-2,计算单元刚度矩阵,得,现代设计方法第13章 杆系结构,18,重庆大学机械工程学院,由式（13-23）,3） 组集整体刚度矩阵得整体平衡方程式,现代设计方法第13章 杆系结构,19,重庆大学机械工程学院,4） 因,消除整体刚度矩阵中对应的行和列以及载荷向量中对
7、应元素,解得,于是位移向量,现代设计方法第13章 杆系结构,20,重庆大学机械工程学院,5） 计算各杆应力，由式（13-24）,现代设计方法第13章 杆系结构,21,重庆大学机械工程学院,13.3 平面梁单元,结点位移向量,结点力向量,现代设计方法第13章 杆系结构,22,重庆大学机械工程学院,图13-6 平面梁单元,13.3.1 单元的位移模式,轴向位移取为坐标的一次式，挠度取为坐标的三次多项式：,（13-25）,写为矩阵形式：,式中：,（a）,为待定常数。,现代设计方法第13章 杆系结构,23,重庆大学机械工程学院,将对应于梁单元的结点轴向位移记为：,对应于梁单元的结点挠度和转角记为：,将
8、梁单元的结点坐标代入式（13-25）并注意到 ：,可得 ：,（b）,(c ),由式（b）可获得待定常数,（d）,现代设计方法第13章 杆系结构,24,重庆大学机械工程学院,（e）,将（d）代入（a），可得用结点位移表示的位移模式,（f）,式中,可改写式（f）为,（13-26）,(a),现代设计方法第13章 杆系结构,25,重庆大学机械工程学院,式中：,形函数表示为,位于第1，4行、列,位于2，3，5，6行、列,现代设计方法第13章 杆系结构,26,重庆大学机械工程学院,（13-27）,13.2.2 单元的应变和应力,梁单元的应变可以分为拉压应变 和弯曲应变 。如不考虑剪切应变对于梁挠度的影响，
9、则,（13-28）,（13-29）,现代设计方法第13章 杆系结构,27,重庆大学机械工程学院,单元的应力为：,（13-30）,13.2.3 单元刚度矩阵,单元内的虚应变为,单元内应力在虚应变上作的虚功为,（g）,单元外力作的虚功有两部分：梁上分布载荷 在虚位移上作的虚功和单元结点力 在结点虚位移上作的虚功，即,(h),现代设计方法第13章 杆系结构,28,重庆大学机械工程学院,由（g）（h）两式得出,即,（i）,令,（i）式改写为,（13-31）,式中：,（j）,现代设计方法第13章 杆系结构,29,重庆大学机械工程学院,单元刚度矩阵为,将（13-29）代入上式，积分得,（13-33）,式中
10、,是梁截面对主轴的惯性矩，A是梁的截面积,现代设计方法第13章 杆系结构,30,重庆大学机械工程学院,13.3.4 等效结点力的计算,由式（j）知，按静力等效原理将分布载荷移置到单元结点上的等效结点力为,（13-34）,对于分布轴向力、分布横向力、分布弯矩等的等效结点力可以分别计算。这里给出几种分布载荷的计算结果，其它载荷情况可以自行推导。也可以由材料力学手册查得相应的梁端反力的计算式并反号作为等效结点载荷。,现代设计方法第13章 杆系结构,31,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第13章 杆系结构,32,重庆大学机械工程学院,13.3.5 整体坐标下的单元刚度矩阵 整体坐标下的梁单元载荷向量
11、为 单元刚度矩阵为 梁单元的位移和载荷向量的坐标变换公式与杆单元的坐标变换公式（13-17）和（13-20）类似。为,（13-36）,（13-37）,（13-35）,结点位移向量为,现代设计方法第13章 杆系结构,33,重庆大学机械工程学院,其中,变换矩阵为,（13-38）,单元刚度矩阵的变换式为,（13-39）,现代设计方法第13章 杆系结构,34,重庆大学机械工程学院,13.3.6 梁单元的梁端内力,求解整体平衡方程 ： 获得整体坐标下的结点位移和约束反力，据此可计算梁单元的内力。梁单元的杆端内力在局部坐标下计算。由（13-36）得,（13-40）,上式代入(13-31)， 计算获得结点力
12、 ， 为梁端载荷和梁分布载荷的等效结点力之和,于是可得梁单元的梁端内力为,（13-41）,现代设计方法第13章 杆系结构,35,重庆大学机械工程学院,。,例13-3 试求解图示框架各结点位移。杆件截面为圆管，外径 ，内径 ，材料弹性模量为 。,解: 1） 求解杆件截面常数,截面积,惯性矩,2） 求出局部坐标下的单元刚度矩阵 框架离散为两个梁单元，单元结 点编号如下表,现代设计方法第13章 杆系结构,36,重庆大学机械工程学院,图13-7 两杆框架,两单元的尺寸、材料和结点编号相同，故其单元刚度矩阵相同。,由（13-33）,现代设计方法第13章 杆系结构,37,重庆大学机械工程学院,3） 整体刚
13、度矩阵 单元的局部坐标系与整体坐标系重合，不必进行转换。,单元与整体坐标系的夹角为90， ,，,现代设计方法第13章 杆系结构,38,重庆大学机械工程学院,由（13-38）得变换矩阵,现代设计方法第13章 杆系结构,39,重庆大学机械工程学院,由此可由直接刚度法组集整体刚度矩阵,现代设计方法第13章 杆系结构,40,重庆大学机械工程学院,4） 等效结点载荷计算 单元局部坐标与整体坐标方向相同，单元受均布载荷，由表13-1直接得整体坐标下的结点载荷向量,因无轴向载荷，故,单元受集中载荷，由表13-1得,同理,现代设计方法第13章 杆系结构,41,重庆大学机械工程学院,利用（13-37），将单元的等效结点载荷转换到整体坐标下,由此可得结点1上的载荷向量为,现代设计方法第13章 杆系结构,42,重庆大学机械工程学院,解方程得,现代设计方法第13章 杆系结构,43,重庆大学机械工程学院,在整体刚度矩阵中划去对应的第4、5、6、7、8、9行和列，得整体平衡方程式为,5） 引入约束条件，求解方程,约束条件为,
