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1、第12章 等参元,12.1 等参数单元的引入,提高单元计算精度的方法： （1）单元细分 但单元分细会增加单元数目和结点数目，从而大大增加所要求解的方程数目，所以有时是不经济的。 （2）构造高精度单元 如采用六结点三角形单元，其位移插值函数是完全二次多项式 ；也可以采用四结点矩形单元，其位移插值函数是双线性的 。,2,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第12章 等参元,四结点矩形单元评价： （1）精度较高，方程组数目不太多（结点数为4）； （2）只适合规则边界。,例如，位移水平分量为：,将任意不平行于坐标轴的边的方程式：,y kxb ( k 0 ),代入（c），则得： u Ax2BxC。即位移不
2、再是线性变化的了，该边上的插值不能由其上两个结点处的函数值所唯一确定。 因此提出的任务是： 构造具有较高计算精度，适合曲线边界的单元。,矩形单元和四边形单元,3,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第12章 等参元,12.2 平面四结点等参数单元,12.2.1 形函数 考察图（122 b）所示的正方形单元，单元边长为2，在单元的形心处建立局部坐标 O 。正方形单元的位移插值函数可采用双线性函数：,图12-2 四结点等参元,4,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第12章 等参元,将结点1，2，3和 4的坐标代入式（121），可求得单元内任意一点的位移为,式中： I 是单位阵,是单元的节点位移向量列
3、阵。,为形函数。,5,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第12章 等参元,局部坐标下正方形单元的位移插值函数式（12-2）可以写成,其中ui ,vi（i = 1，2，3，4）为结点位移。,6,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第12章 等参元,形函数在正方形单元区域内是坐标的二次函数，在边界上因有一个坐标为常量，仅为另一个坐标的线性函数。,现代设计方法第12章 等参元,重庆大学机械工程学院,7,12.2.2 坐标变换,（1）问题的提出 可以证明，图（12-2b）的正方形单元式位移模式(12-1)是满足收敛条件的。如果能恰当地将图（12-2a）的任意四边形单元变换成（12-2b）的正方形单元，则
4、可以保证任意四边形单元在原坐标系下满足收敛条件。变换须满足： 任意四边形与正方形单元之间的点一一对应，即坐标变换的相容性； 变换后的位移插值函数满足解的收敛条件。,（2）坐标变换式,（a） (b),(3) 变换的相容性 边界点 （12-5）是与Ni(,) 一样的线性函数，在 正方形的一条边上， Ni(,)是一个坐标 (或)的线性函数，因此（12-5）在每一条边界上均是一线性变换。线性代数中已证明，线性变换式一一对应的，即任意四边形单元的四条边与（12-2b）的正方形单元的边是一一对应的。,8,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第12章 等参元,非边界点 只须过正方形区域内的点作水平或垂直直线，
5、同样可以证明。 例如 (,) 平面上直线0，由于Ni(, )是双线形函数，通过式（12-5）的变换，直线0 一定变为 (x,y) 平面上的直线。直线0的两端点分别是 (, ) （0,1）和 (, ) （0, -1）。而我们已经证明四边形的四条边的变换是点点对应的，因此上面两点一定对应任意四边形1-2边和3-4边的中点。,（a） (b),（4）直接由坐标变换式,1）在局部坐标的四个节点处， (12-5) 给出整体坐标下任意四边形的四个结点。即，利用形函数的性质直接可得：,( i = 1,2,3,4 ),2）在局部坐标的四条边上，给出整体坐标下的四条直线。如在1-2边上， Ni(, ) 仅为的一次
6、函数，(12-5) 成为以为参数的直线方程。 3）在正方形的任意点(, )处，给出整体坐标下的对应点（x ， y)。,位移插值函数公式（12-4）和坐标变换公式 (12-5) 具有完全相同的形式，它们用同样数目的对应结点值作为参数，并有完全相同的形状函数Ni(, )作为这些结点值前面的系数，我们称具有这种特点的单元为等参数单元。,9,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第12章 等参元,（a） (b),12.2.3 单元刚度矩阵 a ）单元应变与结点位移的关系,10,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第12章 等参元,即,(12-6a),11,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第12章 等参元,
7、(12-6),b ）单元应力与结点位移间的关系,c ）结点力与结点位移间关系,（12-9）,即单元平衡方程式:,（12-8）,单元刚度矩阵:,（12-9 a ）,应变矩阵由式（12-6）给出，是x, y的函数，而x, y又是,的函数，因此不能提到积分号之外。,12,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第12章 等参元,（12-7）,12.2.4 雅可比矩阵,由式（12-5）表示的坐标变换式,根据复合函数求导法则，有,（12-10）,为将上式写成矩阵形式，记变换矩阵（称为雅可比矩阵）为,（12-11）,13,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第12章 等参元,则,（12-12）,从而,（12-13
8、）,其中 J -1为雅可比矩阵的逆阵，| J | 称为雅可比行列式，记为,利用式（12-13）可以将式（12-6）中形状函数 对整体坐标变量x, y的偏导数转变为对局部坐标变量 的偏导数。例如,14,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第12章 等参元,此外整体坐标与局部坐标的面积微分之间有关系式：,（12-14）,从而计算单元刚度矩阵表达式中的积分，可以从整体坐标系任意四边形区域的积分转换到局部坐标系正方形区域的积分：,15,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第12章 等参元,12.2.5 实现等参数变换的条件 为保证自然坐标系中的虚元（图12-2 b）与总体坐标系中的实元（图12-2 a）相
9、应的点的一一对应，应保证雅可比行列式 。为此，应保证各单元均为“凸单元”，即不要使四边形的内角等于或大于180。,16,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第12章 等参元,凹单元,凸单元,12.3 平面八结点等参数单元简介,四结点四边形单元仍有不足，一是因为位移插值函数是双线形函数，次数仍较低；二是任意四边形是直边四边形，对于具有曲线边界的求解区域的模拟仍会有一定误差。,12.3.1 平面八结点等参数单元位移插值函数,（12-15),当固定 时, 位移的二次函数，固定时，位移是 的二次函数。因此，这样的位移插值函数是双二次函数，相应的插值称为双二次插值。,17,重庆大学机械工程学院,现代设计方
10、法第12章 等参元,图12-3 八结点等参元,18,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第12章 等参元,从图（12-3 a）看，单元每一条边上 （或）为固定值，因此这里位移是 （或）的二次函数，完全可以由该边上三个结点处的函数值所唯一确定，相邻单元的公共边上，三个结点为两相邻单元所共有。所以插值函数在此边上的连续性可以得到保证。在此局部坐标下单元变形的协调性条件被满足，再加上等参数坐标变换的相容性，则整体坐标下的变形协调性也将得以满足。,12.3.2 平面八结点等参数单元的形函数,（12-16）,其中 , i = 1,2,8, 为形状函数。 利用形状函数的性质，八结点等参数单元的形状函数可由下
11、述条件所唯一确定： (1) 是形如式（12-15）的双二次函数； (2) 因单元有八个结点， 共有八个 分量(分块)； (3) 在结点i 的值为1，在其余结点 j (ji) 的值为0， 即,i，j = 1, 2, 8,其中 , 是结点i 的局部坐标。,19,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第12章 等参元,现代设计方法第12章 等参元,重庆大学机械工程学院,20,例如，以 为例,可写出如（12-15）的表达式： 带入结点1的坐标，得 从而解得,因此,这里的因式可由作不过结点1的直线方程 获得。如过结点3、4、5的方程为 ， 过结点5、6、7的方程为 ， 过结点2、8的方程为 。,写成统一的形
12、式：,21,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第12章 等参元,（12-18）是八结点等参数单元的形状函数，它使下述等式成立：,（12-19）,（12-20）,及,这里确定的形函数是双二次的，在正方形单元边界上按二次关系变化，在单元内按三次关系变化。,22,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第12章 等参元,12.3.3 平面八结点等参元的坐标变换,局部坐标下的正方形单元的边3-4-5，通过这几个结点的直线为 = 1。将 = 1代入坐标变换式（12-21），可得3-4-5边在整体坐标下的参数方程为,消去参数可知这是一抛物线方程（特殊情况下可退化为直线方程）。单元的其余边也可类似证明。可见八结点等参元在整体坐标下是以抛物线为边线的曲边四边形单元。,23,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第12章 等参元,关于坐标变换的结论：,（1）在母单元的结点处，变换给出整体坐标下的8个结点。 例如，结点1处除 外，其余 故有：,（2）在母单元的任一边上，变换给出一条二次曲线。 如前述边3-4-5。 （3）在母单元任意点处，变换给出整体坐标下的点（x，y) 。,24,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第12章 等参元,坐标变换矩阵（雅可比矩阵）的形式为：,保证等参数坐标变换的条件：,25,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第12章 等参元,
