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1、第5章 约束优化方法,现代设计方法第5章 约束优化方法,重庆大学机械工程学院,2,实际工程中的优化问题大多属于有约束的问题，其数学模型为,s.t.,求解这类问题的方法称为约束优化方法。，约束优化方法可以分为两大类，即直接法和间接法。,直接法通常适用于仅含不等式约束的问题，其基本思想是设法把每一次迭代产生的新迭代点都限制在可行域内，并一步一步地降低迭代点的目标函数值，直到获得一个可行域内的最优解。在迭代过程中，对每一个迭代点 都要进行可行性和下降性条件的检验。,现代设计方法第5章 约束优化方法,重庆大学机械工程学院,3,可行性条件是指迭代点 必须在可行域内，即满足,下降性条件是指迭代点 的目标函
2、数值较前一点是下降的，即满足,间接法: 按照一定的原则构造一个包含原目标函数和所有约束条件在内的新目标函数，即转化为无约束优化问题，然后用无约束优化方法进行求解。,现代设计方法第5章 约束优化方法,重庆大学机械工程学院,4,5.1 约束坐标轮换法,约束坐标轮换法 属于直接法，现以二维约束优化问题为例说明这种方法的基本思想。,图5-1 二维约束优化问题的坐标轮换法迭代过程,现代设计方法第4章 无约束优化方法,重庆大学机械工程学院,5,5.2 随机方向法,随机方向法 属于直接解法，仅适用于只有不等式约束情况。求解小型的机械优化设计问题的一种十分有效的算法。但为了避免所求得的结果仅仅是局部最优解，常
3、常需要选取几个不同的初始点，从几次计算结果中做出正确分析，得出全局最优解。,5-2 随机方向法,现代设计方法第5章 约束优化方法,重庆大学机械工程学院,6,5.2.1 随机方向的产生 1随机数的产生 调用计算机语言中的随机函数； 按一定的数学模型产生伪随机数（下面介绍线性同余法中最简单的一种）,选择三个正整数 a、b、M，和种子数 X(0)，按下式计算,该式表示 取 被M 整除之后的余数，其中：种子数 为非负整数， 。,M 模数，M 0； a 乘数，M a 0； b 增量，M b 0；,即得取值小于M的伪随机数序列 。,令,即得（0，1）区间内的伪随机数序列 。,现代设计方法第5章 约束优化方
4、法,重庆大学机械工程学院,7,2随机方向的产生,首先，将（0，1）区间内的随机数（伪随机数）按下式转换成为另一个在区间（-1，1）之间的随机数 , 然后由随机数 构成如下的随机方向,3搜索方向的产生,根据基本迭代公式 ，沿每个方向取相同的试算步长,可计算得 个分布在同一球面上的随机点。检验 k 个随机点 是否为可行点，选出目标函数值最小的点 。比较 与 两点的目标函数值，若 , 则取 和 连线方向作为可行搜索方向。,现代设计方法第5章 约束优化方法,重庆大学机械工程学院,8,5.2.2 迭代终止条件,（1） k m , 式中，k 随机方向数。 （2） 。,现代设计方法第5章 约束优化方法,重庆
5、大学机械工程学院,9,5.3 惩罚函数法,惩罚函数法是求解约束优化问题的一种间接法。其基本思想是将式（5-1）所示的约束的优化问题转化为一系列的无约束优化问题求解。,（5-1）,转化成如下无约束优化问题,并且要求，当点X不满足约束条件时，等号后第二项和第三项取值变得很大，反之当点X满足约束条件时，这两项取值变得很小或等于零。,（5-2）,现代设计方法第5章 约束优化方法,重庆大学机械工程学院,10,可以证明，当惩罚项和惩罚函数满足以下条件时，,（5-3）,无约束优化问题式（5-2）在 的过程所产生的极小点 序列将逐渐逼近于原约束优化问题的最优解，即,惩罚函数法，即SUMT（Sequential
6、 Unconstrained Minimization Technique）法，也可称为序列无约束极小化方法，按其惩罚项的构成形式的不同，又可分为内点法、外点法和混合法。,现代设计方法第5章 约束优化方法,重庆大学机械工程学院,11,5.3.1 内点惩罚函数法 内点惩罚函数法只可用来求解仅有不等式约束优化问题。其主要特点是将惩罚函数定义在可行域之内，从可行域内部逐渐逼近原约束优化问题的最优解。,对于不等式约束优化问题，将罚函数定义在可行域内部，其内点罚函数的一般形式为,（5-4）,或,（5-5）,式中，惩罚因子 是一递减的正数序列，即,且,现代设计方法第5章 约束优化方法,重庆大学机械工程学院
7、,12,内点罚函数法的迭代步骤如下：,（1）在可行域内确定一个初始点 ，最好不邻近任何约束边界；,（2）给定初罚因子 、惩罚因子递减系数 C 和收敛精度 ，置 ;,（3）构造惩罚函数,（4）求解无约束优化问题 , 得 ;,（5）进行收敛判断，若满足,或,则令 ,停止迭代计算，输出最优解 , ;,否则转入下一步；,（6）取 ，以 作为新的初始点, 置 转入步骤（3）继续迭代。,现代设计方法第5章 约束优化方法,重庆大学机械工程学院,13,例5-1 用内点惩罚函数法求解,解：按内点法构造罚函数,当 取不同值时，如 时，得到相应的曲线和对应的极值点，如图5-5所示。,图5-5 一元罚函数内点收敛关系
8、,借用解析法求解极值点，根据极值条件,在满足约束条件下，最后求得的最优解是：,现代设计方法第5章 约束优化方法,重庆大学机械工程学院,14,当 时， ，,可以看出，序列最优点 是以 为参数的点列轨迹。,现代设计方法第5章 约束优化方法,重庆大学机械工程学院,15,5.3.2 外点惩罚函数法 既适用于求解不等式约束优化问题，也适用于求解等式约束优化问题； 其主要特点是：将惩罚函数定义在可行域之外，从可行域的外部逐渐逼近原约束优化问题的最优点。 若优化问题受如下不等式约束,外点罚函数的形式则为,式中的惩罚项 意义为：当迭代点X在可行域之外时，由于 ，无论 取何正值，必有,现代设计方法第5章 约束优
9、化方法,重庆大学机械工程学院,16,即，惩罚函数的函数值大于原目标函数值，这表明X在可行域外时，惩罚项起着惩罚作用。X在可行域之外且离开约束边界愈远， 愈大，惩罚作用也愈大。,惩罚项与惩罚函数的取值也随惩罚因子取值的变化而变化，当外点法的惩罚因子 按一个递增的正实数序列,变化时，依次求解各个 所对应的惩罚函数的极小化问题，得到的极小点序列,将逐步逼近于原约束问题的最优解。通常，当初始点取在可行域外时，该极小点序列是由可行域外向可行域边界逼近的。,现代设计方法第5章 约束优化方法,重庆大学机械工程学院,17,对于等式约束优化问题，外点罚函形如下,（5-7）,当迭代点在满足等式约束条件，惩罚项取零
10、（因 ），罚函数值不受到惩罚；若迭代点在非可行域，惩罚项取值大于零，即起到其惩罚作用。,由于罚函数中惩罚因子 是一个递增的正数序列，随着迭代次数的增加， 值越来越大，这将迫使所求迭代点 向原约束优化问题的最优点逼近。,对于既有不等式约束又有等式约束的优化问题（如式5-1），外点罚函数形式为,（5-8）,可见，外点法是通过对非可行点上的函数值加以惩罚，促使迭代点向可行域和最优点逼近的算法，因此，初始点取可行域的外点。,现代设计方法第5章 约束优化方法,重庆大学机械工程学院,18,外点惩罚函数法的迭代步计算骤如下,（1）选取初始点 （在可行域之外）、收敛精度 , 初始罚因子 和惩罚因子递增系数C（
11、C取正数），置 ; （2）构造惩罚函数,（3）求解无约束优化问题 ，得 ;,（4）进行迭代终止条件判断：若满足,或,则终止迭代，输出最优解 , ；否则，转入下一步；,（5）取 , ，置 , 转入步骤（2）继续迭代。,现代设计方法第5章 约束优化方法,重庆大学机械工程学院,19,外点法的初始罚因子 的选取十分重要，惩罚因子的递增系数C的选取，通常取 。许多计算表明，取 , C =10，常常可以得到满意结果。有时可利用经验公式,取最大者。,现代设计方法第5章 约束优化方法,重庆大学机械工程学院,20,例5-2 用外点法求问题,的约束最优解。,解: 首先按式（5-8）构造外点惩罚函数,对于任意给定的
12、惩罚因子 ，函数 为凸函数。用解析法求,的无约束极小值，即令 ，得方程组,联立求解得,现代设计方法第5章 约束优化方法,重庆大学机械工程学院,21,当 时，,当 时，,当 时，,当 时，,由计算可知，当 逐渐增大r 值。逐渐趋于无穷时， 逼近原约束问题的最优解。,（a） （b） （c） 图5-7 外点惩罚函数的极小点向约束最优点逼近,现代设计方法第5章 约束优化方法,重庆大学机械工程学院,22,5.3.3 混合惩罚函数法,是综合内点法和外点法的优点而建立的一种惩罚函数法，对于不等式约束按内点法构造惩罚项，对于等式约束按外点法构造惩罚项，由此得到混合法的惩罚函数形式，简称混合罚函数。,（5-9）
13、,式中， 为递减的正数序列； 为递增的正数序列。,如将上述两个惩罚因子加以合并，取 和 ，则得以下混合罚函数：,（5-10）,式中， 为一递减的正数序列。,初始点 虽然不要求是一个完全的内点，但必须满足所有不等式约束。其惩罚因子递减系数的取值原则与内点法相同。,混合法的计算步骤和程序框图也与内点法相似。,现代设计方法第5章 约束优化方法,重庆大学机械工程学院,23,5.4 工程优化设计实例 平面连杆机构的优化设计,如图5-8所示，试设计一个曲柄连杆机构，要求当曲柄由 回转至 期间，摇杆的输出角 与输入角之间实现如下给定的函数关系：,图5-8 曲柄连杆机构简图,式中， 和 分别为对应于摇杆在右极
14、限位置时曲柄和摇杆的位置角（即为初始位置角），它们是以机架AD为零位逆时针度量的角度；此外，还要求在该区间的运动过程中满足最小传动角条件，即,现代设计方法第5章 约束优化方法,重庆大学机械工程学院,24,一、建立数学模型 1）确定设计变量 独立参数有五个：三根杆长 和主、从杆的输入和输出起始位置角 和 。由于该机构要求的运动规律为角度关系，只与各杆之间的相对长度有关，如果将曲柄的长度L1 取为1（长度单位），则其他三杆长度L2、L3、L4 即表示为L1的倍数。此外，根据机构在机器中的实际许可空间，预先给定机架长度 L4 =5（长度单位）。 由图5-8所示，主、从动杆初始角度为,可见， 和 也不再是独立的参数，而是杆长的函数。经以上分析，只剩下L2、L3两个独立变量，所以该
