现代测量技术3误差分析理论

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1、1,第3章 测量误差及数据处理,3.1 测量误差的基本概念 3.2 测量误差的分类和测量结果的表征 3.3 测量误差的分析和处理 3.4 测量不确定度,2,3.1 测量误差的基本概念,3.1.1 测量误差的定义 测量的目的: 获得被测量的真值。 真值: 在一定的时间和空间环境条件下，被测量本身所具有的真实数值A。 测量误差 : 所有测量结果都带有误差 。,3,3.1.1 测量误差的定义,1真值A0: 一个物理量在一定条件下所呈现的客观大小或真实数值称作它的真值。 2指定值As : 由于绝对真值是不可知的，所以一般由国家设立各种尽可能维持不变的实物标准(或基准)，以法令的形式指定其所体现的量值作

2、为计量单位的指定值。指定值也叫约定真值，一般就用来代替真值。 3实际值A : 实际测量中，不可能都直接与国家基准相比对，所以国家通过一系列的各级实物计量 标准构成量值传递网，把国家基准所体现的计量单位逐级比较传递到日常工作仪器或量具上去。在每一级的比较中，都以上一级标准所体现的值当作准确无误的值，通常称为实际值，也叫作相对真值。 4 标称值 5 示值:包括数值和单位。,4,3.1.2 测量误差的来源,（1）仪器误差：由于测量仪器及其附件的设计、制造、检定等不完善，以及仪器使用过程中老化、磨损、疲劳等因素而使仪器带有的误差。 （2）影响误差：由于各种环境因素（温度、湿度、振动、电源电压、电磁场等

3、）与测量要求的条件不一致而引起的误差。 （3）理论误差和方法误差：由于测量原理、近似公式、测量方法不合理而造成的误差。 （4）人身误差：由于测量人员感官的分辨能力、反应速度、视觉疲劳、固有习惯、缺乏责任心等原因，而在测量中使用操作不当、现象判断出错或数据读取疏失等而引起的误差。 （5）测量对象变化误差：测量过程中由于测量对象变化而使得测量值不准确，如引起动态误差等。,5,3.1.3 测量误差的表示方法,测量误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。 1.绝对误差 （1）定义：由测量所得到的被测量值与其真值之差，称为绝对误差 x 有大小，又有符号和量纲 实际应用中常用实际值A（高一级以上的测量仪器或

4、计量器具测量所得之值）来代替真值。 绝对误差：,6,3.1.3 测量误差的表示方法（续）,（2）修正值 与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值，称为修正值 测量仪器的修正值可以通过上一级标准的检定给出，修正值可以是数值表格、曲线或函数表达式等形式。 被测量的实际值,7,3.1.3 测量误差的表示方法（续）,2.相对误差 一个量的准确程度，不仅与它的绝对误差的大小有关，而且与这个量本身的大小有关。 例：测量足球场的长度和兰州市到敦煌的距离，若绝对误差都为1米，测量的准确程度是否相同？ （1）相对误差、实际相对误差、示值相对误差 相对误差：绝对误差与被测量的真值之比 相对误差是两个有相同量纲

5、的量的比值，只有大小和符号，没有单位。,8,3.1.3 测量误差的表示方法（续）,实际相对误差： 用实际值A代替真值A0 示值相对误差： 用测量值X 代替实际值A,9,3.1.3 测量误差的表示方法（续）,（2）满度相对误差（引用相对误差） 用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差与该量程值（上限值下限值）之比来表示的相对误差，称为满度相对误差（或称引用相对误差）,仪表各量程内绝对误差的 最大值,10,3.1.3 测量误差的表示方法（续）,电工仪表就是按引用误差 之值进行分级的。是仪表在工作条件下不应超过的最大引用相对误差 我国电工仪表共分七级：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.

6、5及5.0。如果仪表为S级，则说明该仪表的最大引用误差不超过S% 测量点的最大相对误差 在使用这类仪表测量时，应选择适当的量程，使示值尽可能接近于满度值，指针最好能偏转在不小于满度值2/3以上的区域。,11,3.1.3 测量误差的表示方法（续）,例 某待测电流约为100mA，现有0.5级量程为0400mA和1.5级量程为0100mA的两个电流表，问用哪一个电流表测量较好？,用1.5级量程为0100mA电流表测量100mA时的最大相对误差为,解：用0.5级量程为0400mA电流表测100mA时，最大相对误差为,12,3.2 测量误差的分类和测量结果的表征,3.2.1 测量误差的分类 根据测量误差

7、的性质，测量误差可分为随机误差、系统误差、粗大误差三类。 1.随机误差 定义: 在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差或偶然误差，简称随差。 随机误差主要由对测量值影响微小但却互不相关的大量因素共同造成。这些因素主要是噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人员感官的无规律变化等。,13,3.2.1 测量误差的分类（续）,例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到 1.235V，1.237V，1.234V，1.2

8、36V，1.235V，1.237V。 单次测量的随差没有规律， 但多次测量的总体却服从统计规律。 可通过数理统计的方法来处理,即求算术平均值,14,3.2.1 测量误差的分类（续）,2.系统误差 定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。 产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正确，环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原理中使用近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。 系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程度。系差越小，测量就越准确。

9、 系统误差的定量定义是：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。即,15,3.2.1 测量误差的分类（续）,3.粗大误差： 粗大误差是一种显然与实际值不符的误差。产生粗差的原因有： 测量操作疏忽和失误 如测错、读错、记错以及实验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。 测量方法不当或错误 如用普通万用表电压档直接测高内阻电源的开路电压 测量环境条件的突然变化 如电源电压突然增高或降低，雷电干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。 含有粗差的测量值称为坏值或异常值，在数据处理时，应剔除掉。,16,3.2.2 测量结果的表征,测量值,是粗大误差,17,3.3

10、 测量误差的分析和处理,3.3.1 随机误差的统计特性及减少方法 在测量中，随机误差是不可避免的。 随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的，比如外界条件（温度、湿度、气压、电源电压等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。 多次测量，测量值和随机误差服从概率统计规律。 可用数理统计的方法，处理测量数据，从而减少随机误差对测量结果的影响。,18,3.3.1随机误差的统计特性及减少方法(续）,（1）随机变量的数字特征 数学期望:反映其平均特性。其定义如下： X为离散型随机变量： X为连续型随机变量：,1. 随机误差的分布规律,19,3.3.1随机误差的统计特性及减少方法(续）, 方差和

11、标准偏差 方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。 设随机变量X的数学期望为E(X)，则X的方差定义为： D(X)= E(XE(X)2 标准偏差定义为： 标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，并且与随机变量具有相同量纲。,20,3.3.1随机误差的统计特性及减少方法(续）,测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。 中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。,为什么测量数据和随机误差大多接近正态分布？,(2)测量误差的正态分布,21,3.3.1随机误差的统

12、计特性及减少方法(续） 正态分布的概率密度函数和统计特性,随机误差的概率密度函数为： 测量数据X的概率密度函数为： 随机误差的数学期望和方差为： 同样测量数据的数学期望E(X) ，方差D(X),22,3.3.1随机误差的统计特性及减少方法(续）正态分布时概率密度曲线,随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同，只是横坐标相差,随机误差具有：对称性 单峰性 有界性 抵偿性,23,3.3.1随机误差的统计特性及减少方法(续） 标准偏差意义,标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程度的特征数。 标准偏差越小，则曲线形状越尖锐，说明数据越集中；标准偏差越大，则曲线形状越平坦，说明数据越

13、分散。,24,3.3.1随机误差的统计特性及减少方法(续） （3）测量误差的非正态分布,常见的非正态分布有均匀分布、三角分布、反正弦分布等。 均匀分布：仪器中的刻度盘回差、最小分辨力引起的误差等；“四舍五入”的截尾误差；当只能估计误差在某一范围内，而不知其分布时，一般可假定均匀分布。,25,用事件发生的频度代替事件发生的概率，当 n 则,令n个可相同的测试数据xi(i=1.2,n) 次数都计为1 ,当n 时，则,3.3.1随机误差的统计特性及减少方法(续） 2. 有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值,求被测量的数字特征，理论上需无穷多次测量，但在实际测量中只能进行有限次测量，怎么办？,（1）

14、有限次测量的数学期望的估计值算术平均值,被测量X的数学期望，就是当测量次数 时，各次测量值的算术平均值,26,3.3.1随机误差的统计特性及减少方法(续）,规定使用算术平均值为数学期望的估计值，并作为最后的测量结果。即： 算术平均值是数学期望的无偏估计值、一致估计值和最大似然估计值。,有限次测量值的算术平均值比测量值更接近真值？,27,3.3.1随机误差的统计特性及减少方法(续） （2）算术平均值的标准偏差,故： 算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小 倍。原因是随机误差的抵偿性 。,*,28,算术平均值：,3.3.1随机误差的统计特性及减少方法(续） （2）有限次测量数据的标准偏

15、差的估计值,残差： 实验标准偏差（标准偏差的估计值），贝塞尔公式： 算术平均值标准偏差的估计值 ：,29,3.3.1随机误差的统计特性及减少方法(续） 【例】 用温度计重复测量某个不变的温度，得11个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。,解：平均值 用公式 计算各测量值残差列于上表中 实验偏差 标准偏差,30,3.3.2 系统误差的判断及消除方法 1. 系统误差的特征：,在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。 多次测量求平均不能减少系差。,31,3.3.2 系统误差的判断及消除方法（续） 2. 系统误差的发现方法

16、,（1）不变的系统误差： 校准、修正和实验比对。 （2）变化的系统误差 残差观察法，适用于系统误差比随机误差大的情况 将所测数据及其残差按先后次序列表或作图，观察各数据的残差值的大小和符号的变化。,存在线性变化的系统误差,无明显系统误差,32,3.3.2 系统误差的判断及消除方法（续）,马利科夫判据： 若有累进性系统误差，D 值应明显异于零。 当n为偶数时， 当n为奇数时， 阿贝赫梅特判据：检验周期性系差的存在。,33,3.3.2 系统误差的判断及消除方法（续） 3. 系统误差的削弱或消除方法,（1）从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差 要从测量原理和测量方法尽力做到正确、严格。 测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器。 注意周围环境对测量的影响，特别是温度对电子测量的影响较大。 尽量减少或消除测量人员主观原因造成的系统误差。应提高测量人员业务技术水平和工作责任心，改进设