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1、第四章 线性系统的能控性与能观性分析,通过 与 建立起了间接联系，也有可 能能受 支配。,与 有直接联系，可能能支配 的运动；,状态量的引入以及它在系统中的重要地位，有两个问题引起关心： （1）系统能否在合适的控制量作用下从任意的初始状态运动到希望 的终止状态。系统的能控性，控制量对系统状态的支配能力。 （2）根据输出量的测量值能否确定出系统的状态值。系统的能观性， 输出量对系统状态的测辨能力。,1. 系统能控性和能观性的直观示例,示例1：考虑线性系统,与 没有联系，不可能支配 的运动；,就是 ，所以能够通过 来观测 ；,示例2：考虑线性系统,与 没有任何联系（直接的或间接的）， 不能通过 来
2、观测 。,通过能观测的 与 建立了间接联系 ， 有可能能观测,示例3：,和 完全对称， 必有解：,当初始状态 时， 使系统的状态运动到任意的 的目标状态，但不可能运动到 的目标状态；可见，特定 条件下的状态量是可以受控制量支配的。,示例4：,时， 和 也是完全对称的，在初始状态 的特 定条件下，总有 。这时，虽然每个状态变量都与输出量有 联系，但这种联系通过所存在的二条通道相互抵消，从而不能通过 输出量来观测状态量。,上面的直观示例对能控性、能观性的说明不严密，需要作出较 严格的定义，推导出可用的判据。,对于上面系统的指定初始时刻 的非零初始状态 ，如 果能找到一个无约束的容许控制 ，使系统状
3、态在有限的时间区 间 内在 的作用下运动到终止状态 ，则称该状态 在 时刻是能控的，记作 。,2 连续系统能控性及其判据,2系统能控：,一、能控性定义,1状态能控：,线性时变连续系统,对于上面系统，如果状态空间中所有初始状态 在 时刻都 是能控的，则称系统在 时刻是状态完全能控的，简称系统在 时刻能控。,（1）将 ，称为 在 能达；,（2）可以证明，线性连续系统的能控性与能达性是等价的；,（3）如上，线性时变连续系统强调了“ 时刻”的能控性，若与 初始时刻 无关，则称一致能控。定常系统的能控性与初始时刻 无关，所以不必强调时间，称状态能控或系统能控 。,二、能控性基本判据,1能控子空间：,我们
4、着重关心的是能控状态 在状态空间的分布情况。,把状态空间中全体能控状态的集合称为能控子空间 ，它是系统 状态空间 的一个线性子空间。,还存在能控子空间 的正交补空间 ，它也是系统状态空间 的 线性子空间，有,直和,是状态在能控子空间 上的投影向量，为状态的能控分量；,状态空间内的任一向量x都可以表示为在上述两个子空间的投影 向量之和，即：,是状态在正交补空间 上的投影向量，为状态的不能控分量；,这二个向量正交，它们的内积为零，即：,2能控性基本判据：,矩阵 称为能控性格拉姆（Gram）矩阵，有能控性基本判据的 另一种表达形式。,能控性基本判据： 系统在 时刻状态完全能控的充要条件是 维 时间函
5、数矩阵 的n个行向量线性无关，其中 。,可以证明，时间函数矩阵 的n个行向量线性无关与下面矩阵 非奇异完全等价：,能控性格拉姆矩阵判据：系统在 时刻状态完全能控的充要条件是 能控性格拉姆矩阵 非奇异，其中 。,根据能控性格拉姆矩阵判据，可以求得使一个能控状态 在时间区 间 内运动到 的控制量：,各元素全为0， 的行向量组线性无关,三、定常系统能控性判据,上面判据都适用，不再强调“某一时刻”。,1代数判据：,定常系统,凯莱哈密 顿定理,各元素全为0， 的行向量组线性无关或秩为n,称为线性定常连续系统的能控性矩阵。,代数判据或秩判据：线性定常连续系统状态完全能控的充要条件 是系统的能控性矩阵的秩为
6、n，即,由代数判据可以证明，引入非奇异线性变换，不改变系统的能控性。,存在并满秩，所以有：,例43 试判别下面线性定常连续系统的能控性：,解： 求得系统的能控性矩阵为,由计算得到的前三列就可得出 不必再计算出后三列的 具体数值。,通过计算行列式能较方便地判别一个方阵是否满秩。由于,所以，可以计算 维方阵 的行列式来判别能控性矩阵是 否满秩 。,线性定常连续系统状态完全能控的充要条件是系统矩阵A的所有特 征值 满足：,2PBH秩判据：,证明略,例44 应用PBH秩判据判别下面系统的能控性,解： 先求得系统的特征值为：,对于 有,其秩为2；,对于 有,其秩也为2；,满足PBH秩判据条件，所以系统的
7、状态完全能控。,一个等价的判据是：,这是因为s域上除特征值外，都有,分别以不同的特征值 代入上式，只有当 时，才能使,3特征值规范型判据,特征值规范形式，控制量与状态量之间的关系是显式的。,对角线规范型判据：系统矩阵A为对角阵，且对角线上元素互异时， 系统状态完全能控的充要条件是输入矩阵B不存在元素全为0的行。,应用PBH秩判据，有：,由于非奇异变换不改变系统的能控性，状态完全能控的充要条件是 其对角线规范型 的输入矩阵 不存在元素全为0的行。,系统能控,1）,系统不能控,系统能控,系统不能控,2）,3）,4）,5）,A虽为对角阵，但对角线上元素不互 异，不能用上述判据。,实际上，该系统的能控
8、性矩阵为：,不是满秩阵，系统不能控。,约当规范型判据1：A为约当阵且不同约当块具有不同对角元素时， 系统状态完全能控的充要条件是输入矩阵B的与每个约当块末行对应 的行元素不全为0。,以只具有一个约当块的情况来说明：,应用PBH秩判据，将系统唯一的n重特征值 代入判别矩阵，有：,只有当时 ，才能使,系统能控,系统不能控,系统能控,1）,2）,3）,约当规范型判据2：A为约当阵，但不同约当块具有相同对角元素 时，系统状态完全能控的充要条件是输入矩阵B的与每个约当块末 行对应的那些行彼此线性无关。,以具有2个约当块的情况来说明：,只有当行向量 和 线性无关时，才能使,应用PBH秩判据，将系统唯一的特
9、征值 代入判别矩阵，有：,系统不能控,系统能控,一个对角元素可视为阶次为1的约当块，所以有,系统不能控,1）,2）,3）,系统能控,4）,当A既有相异的对角元素，又有约当块时，可联合应用上述三个判 据进行判别。,系统能控,1）,如果存在控制作用 ，在有限的时间区间 内，将任一给定的 初始输出 推向所规定的任意终点输出 ，则称系统是输出完全 能控的，简称系统输出能控。,系统能控,2）,四、定常系统的输出能控性,描述系统的控制量对输出量的支配能力。,当 时 ，有：,输出能控性代数判据：线性定常系统输出完全能控的充要条件 是 维输出能控性矩阵 的秩为 ，即,当系统状态完全能控即 满秩时，有 ，输出能
10、控性 取决于输出矩阵C是否满秩；,当系统状态不完全能控时，输出能控性取决于 的行向量线性 相关情况。,所以，输出能控性与状态能控性之间没有必然联系。,例410 分析下面系统的状态能控性和输出能控性。,解：,系统状态不完全能控,系统输出也不完全能控,通常，输出不能控对应了系统输入到输出传递关系为0的情况。,其中,不受u的支配，系统输出不完全能控 。,3 连续系统能观性及其判据,系统的能观性用来表示系统输出量对状态量的测辨能力，当研究 从能测量的输出量间接获取不能直接测量的状态量的问题时，首先 要研究系统是否具备能观性。,一、能观性定义,与系统的输入量无关，令,1状态能观：,对于上面系统和指定的初
11、始时刻 ，能够根据有限的时间区间 内测量到的输出量 唯一地确定系统任意的非零初始状态 ， 则称该状态 在 时刻是能观的。,如果在一个时间区间内，无论状态量如何变化，而输出量始终不变， 那么状态是不能观的。于是，可等价地给出状态不能观的定义。,对于上面系统，如果状态空间中所有的非零状态在时刻 都不 是不能观的，则称系统在时刻 是状态完全能观的，简称系统 在 时刻能观。,对于上面系统和指定的初始时刻 ，如果存在非零初始状态 ，使系统的输出响应在有限的时间区间 内恒为零 ，则称该状态 在 时刻是不能观的，记作 。,2状态不能观：,3系统能观：,同样，线性时变连续系统强调了“ 时刻”的能观性，若与初始
12、时刻 无关，则称一致能观。定常系统的能观性与初始时刻无关，所以不必强调时间，称状态能观或系统能观 。,引入确定性的外部输入不影响系统状态的能观性。,是状态在不能观子空间 上的投影向量，为状态的不能观分量；,二、能观性基本判据,1不能观子空间：,系统能观性考察的是状态空间中是否所有的非零状态都能观。,把状态空间中全体不能观状态的集合称为不能观子空间，记作 ， 它是系统状态空间X 的一个线性子空间。,在状态空间X中还可以得到不能观子空间 的正交补空间，记作 ，它也是系统状态空间X 的线性子空间，同样有,状态空间内的任一向量x都可以表示为在上述两个子空间的投影 向量之和，即：,是状态在正交补空间 上
13、的投影向量，为状态的能观分量；,直和,示例4中，只有满足 的状态是不能观的，如图 是不能观 子空间， 是不能观子空间的正交补空间。,直线 上的状态都是不能观的，它们在 上的投影向量为零，在 上的投影向量非零。,不位于 直线上的状态点x 在 上的投影向量非零，为 ，在 上的投影向量为 。,可见，由系统的输出测量值所确定 的初始状态值是过状态点x与 直线 平行的一条直线。即同样的输出测量 值对应了无数个初始状态，但是如果 要确定距离状态空间原点最近（范数 最小）的初始状态，则只有唯一的一 个，为 ，位于正交补空间 上。,可以认为不能观子空间以外的状态都 是能观的，在最小范数的意义下，将正 交补空间
14、 称为能观子空间，其上的 是能观状态。,2能观性基本判据：,上面系统的输出响应可表示为：,由不能观状态 的定义可得：,各元素全为0， 的列向量组线性无关,能观性基本判据：系统在 时刻状态完全能观的充要条件是 维时间函数矩阵 的 n个列向量线性无关，其中 。,可以证明，时间函数矩阵 的n个列向量线性无关与下面矩阵非奇异完全等价：,矩阵 称为能观性格拉姆（Gram）矩阵，有能观性基本判据的另一种表达形式。,能观性格拉姆矩阵判据：系统在 时刻状态完全能观的充要条件是能观性格拉姆矩阵 非奇异，其中 。,根据能控性格拉姆矩阵判据，可以出一个能观的初始状态 为：,三、能控性与能观性的对偶关系,能控性基本判据：,的n个行向量线性无关,能观性基本判据：,的n个列向量线性无关,的n个列向量线性无关,的n个行向量线性无关,则系统 的能控性等价于的 能观性，系统 的能观性也等价于 的能控性。称满足上述关系的两个系统互为对偶系统。,两个系统,1对偶系统：,且有： 或,互为转置逆,而它们的系统矩阵满足关系：,这是因为：
