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1、现代控制理论基础 32学时讲课 12学时实验 必修 研究生入学考试课程(20%),主 讲: 杨斌 电 话： 847060052615 E-mail： 办公室: 创新园B615,现代控制理论基础,2,课程的基本概况,基本要求 考核成绩：期末考试确定，满分100分 上课要求：希望认真听课 作 业：自愿交作业，不记成绩,教材及参考书 现代控制理论 主编 王金城 化学工业出版社 现代控制理论基础 主编 梁慧冰 机械工业出版社,教学内容（前五章）PDF 1、控制系统的状态空间描述 2、线性系统的状态空间运动分析 3、线性控制系统的能控性和能观测性 4、控制系统的稳定性Lyapunov第二方法 5、线性
2、定常系统的综合 6、现代控制理论专题,现代控制理论基础,3,1.1 引言 1.2 状态空间描述 1.3 状态空间描述的状态变量图 1.4 状态空间描述的建立 1.5 化输入-输出描述为状态空间描述 1.6 离散系统状态空间描述的建立 1.7 线性变换 1.8 由状态空间描述求传递函数阵,1 控制系统的状态空间描述,现代控制理论基础,4,1.1 引言,经典控制理论的发展和完善时代： 从1932年奈魁斯特（H.Nyquist）发表反馈放大器 的频率 域稳定性论文起，到二十世纪五十年代末。,现代控制理论的形成和发展时代： 从二十世纪五十年代末开始，其标志性成果： 1956年庞特里雅金（L.S.Pon
3、tryagin）的极大值原理 1957年贝尔曼（R.Bellman）的动态规划理论 1961年卡尔曼（R.E.Kalman）的线性递推滤波理论 其中，状态空间的概念和方法的引入，则起了重要的推 动作用。,现代控制理论基础,5,研究对象：线性与非线性系统、定常与时变系统、单变量与多变量系统、连续与离散系统 数学上：状态空间法（输入-状态-输出 ） 方法上：研究系统输入/输出特性和内部性能 内容上：线性系统理论（基础）、系统辨识、 最优控制、自适应控制等,1.1 引言,现代控制理论基础,6,状态变量 是指能够完全描述系统运动状态的且数量最少的一组变量。 完全描述是指，如果给定了t=t0时刻这组变量
4、的值，和tt0时的输入信号，那么系统在tt0的任何瞬时的行为就完全确定了。数量最少是指反映系统状态的一组独立的变量。,1.2 状态空间描述,121 状态和状态空间 状态和状态空间长久以来就在描述质点和刚体运动的经典动力学中得到了广泛的应用。在经典控制理论中所讨论过的相平面，就是一个特殊的二维状态空间。,状态 所谓状态，是指系统过去、现在和将来的状况。 一个质点作直线运动，它的状态就是各时刻的位置与速度 一个RLC电路，它的状态就是各时刻电感电流与电容电压,现代控制理论基础,7,状态向量 以状态变量为分量组成的向量称为状态向量。设x1(t),x2(t),xn(t)是系统的一组状态变量，则状态向量
5、就是以这组状态变量为分量的向量，记为,1.2 状态空间描述,状态空间 以x1(t),x2(t), xn(t)为坐标轴所构成的n维欧式空间称为状态空间。状态空间中每一点都代表一个特定状态。系统tt0各时刻的状态构成状态空间中一条轨迹。,现代控制理论基础,8,122 被控过程的状态空间描述,1.2 状态空间描述,被控过程的输出特性是简单的函数关系，可表为 j=1,2,m,被控过程的动力学特性，可用n个一阶常微分方程组来描述 i=1,2,n,u1(t),u2(t),ur(t)为控制变量, 即输入变量 x1(t),x2(t),xn(t)为状态变量 y1(t),y2(t),ym(t)为输出变量,可直接测
6、量,故也称为量测变量,现代控制理论基础,9,1.2 状态空间描述,引入向量函数,令,现代控制理论基础,10,1.2 状态空间描述,用矩阵方程表示,如果所描述过程是线性的,现代控制理论基础,11,1.2 状态空间描述,A(t)为系统矩阵，nn维；B(t) 为控制矩阵，nr维； C(t) 为输出矩阵，mn维，D(t) 为传递矩阵, mr维。,现代控制理论基础,12,1.2 状态空间描述,123 非线性状态空间描述的线性化,考察系统在x0= x (t0)附近的运动，且对于x0和u0有,将f 和g在x0，u0处进行泰勒级数展开，则有,式中,现代控制理论基础,13,1.2 状态空间描述,用增量表示,令,
7、忽略a ，b，则有,现代控制理论基础,14,1.2 状态空间描述,例 试求下列非线性系统在x0= 0和u0= 1处的线性化方程。,解 由状态方程和输出方程得,于是,现代控制理论基础,15,1.3 状态空间描述的状态变量图,状态变量图的图形符号,加法器 比例器 积分器 带初始条件积分器,状态空间描述的一般形式,向量信号,现代控制理论基础,16,三阶系统微分方程,1.3 状态空间描述的状态变量图,一阶系统微分方程,现代控制理论基础,17,1.4 状态空间描述的建立,从系统的机理出发进行推导 由系统的结构图建立 对系统的微分方程或传递函数进行转换,建立方法,例 试列写RLC网络的状态空间描述，以电流
8、i2为输出。,解 此网络的贮能元件有电感L1，L2和电容C，考虑到i1，i2 和uc这三个变量是独立的，故可选它们为状态变量。根 据网络回路和节点方程，可得,1.4.1 从系统的机理出发建立状态空间描述,现代控制理论基础,18,1.4 状态空间描述的建立,令x1= i1，x2= i2，x3= uc，整理得,现代控制理论基础,19,1.4 状态空间描述的建立,例 列写以M1和M2的位移y1和y2为输出的状态空间描述。,解 弹簧和质量块是贮能单元，可选择位移y1、y2和速度 v1、v2为状态变量。,现代控制理论基础,20,1.4 状态空间描述的建立,令x1= y1，x2= y2， ， 及u= f,
9、式中 xT=x1 x2 x3 x4，yT=y1 y2,现代控制理论基础,21,1.4 状态空间描述的建立,1.4.2 从系统结构图出发建立状态空间描述,一阶系统和二阶系统的结构图和相应的状态变量图如下图所示,系统结构图,状态变量图,现代控制理论基础,22,1.4 状态空间描述的建立,例 某系统的结构图如下, 试求其状态空间描述。,现代控制理论基础,23,1.4 状态空间描述的建立,对于传递函数中含有零点的环节，需变换成真分式,真分式,现代控制理论基础,24,1.5 化输入-输出描述为状态空间描述,考虑一个单输入-单输出线性定常系统，它的运动方程由下列n阶微分方程描述:,其传递函数为,目的是寻求
10、一个状态空间描述与之对应,当mn时，d=0。而当m=n时，d=b00,在保证输入输出关系不变前提下，可以有多种的A，b， c，d与之对应，而每一种对应就是一种实现。,现代控制理论基础,25,1.5 化输入-输出描述为状态空间描述,1.5.1 能控标准形实现,设单输入-单输出控制系统由传递函数描述,因m=n-1，即d=0，所以,用状态变量图建立系统的状态空间描述，将上式改写,现代控制理论基础,26,1.5 化输入-输出描述为状态空间描述,现代控制理论基础,27,1.5 化输入-输出描述为状态空间描述,能控标准形实现,例 试列写左侧二阶系统状态 空间描述的能控标准形,解 将传递函数改写为,友矩阵,
11、现代控制理论基础,28,1.5 化输入-输出描述为状态空间描述,（1）不包含输入导数项的情况,设系统的微分方程为,令,现代控制理论基础,29,1.5 化输入-输出描述为状态空间描述,（2）包含输入导数项的情况,系统的传递函数为,上式分解为如下两部分串联，并引入中间变量Z (s),现代控制理论基础,30,1.5 化输入-输出描述为状态空间描述,1.5.2 能观测标准形实现,将系统的传递函数改写为,构造状态变量图,现代控制理论基础,31,1.5 化输入-输出描述为状态空间描述,能观测标准形,对偶关系,能控标准形,现代控制理论基础,32,1.5 化输入-输出描述为状态空间描述,1.5.3 约当标准形
12、实现,（1）特征根互异情况,系统的传递函数为,其中l1，l2，ln互异。将上式展开成部分分式,现代控制理论基础,33,1.5 化输入-输出描述为状态空间描述,约当标准形实现,现代控制理论基础,34,1.5 化输入-输出描述为状态空间描述,（2）特征根有重根情况,设系统只有l1是重根，且重数为k，其余n-k个特征根是 单根。此时，系统的传递函数可写成,现代控制理论基础,35,1.5 化输入-输出描述为状态空间描述,现代控制理论基础,36,1.5 化输入-输出描述为状态空间描述,写成一般形式,其中,现代控制理论基础,37,1.5 化输入-输出描述为状态空间描述,1.5.4 多输入-多输出系统的实现
13、,以双输入-双输出二阶系统为例。设系统的微分方程为,对上式积分得,现代控制理论基础,38,1.5 化输入-输出描述为状态空间描述,现代控制理论基础,39,1.6 离散系统状态空间描述的建立,周期性采样线性定常系统的差分方程一般具有如下的形式,进行Z变换，导出脉冲传递函数,（单输入单输出系统） （多输入多输出系统）,现代控制理论基础,40,1.7 线性变换,1.7.1 线性非奇异变换,A与 是相似矩阵，它们具有相同的基本特性： 行列式相同、秩相同、特征多项式相同、特征值相同等,选取不同状态变量得到不同状态空间描述,它们具有相同输入、相同输出、相同的状态变量维数,式中,现代控制理论基础,41,1.
14、7 线性变换,例 将如下系统变换为的状态空间描述对角线标准形,解 选取非奇异变换阵P为,新的状态变量是原状态变量的线性组合,现代控制理论基础,42,1.7 线性变换,将一般形式的状态空间描述变换为对角线标准形,现代控制理论基础,43,1.7 线性变换,1.7.2 系统的特征值和特征向量,（2）特征向量 设l是系统的一个特征值矩阵，若存在一非零向量p，有 A p=l p 则称p为对应于特征值l 的特征向量。,（3）特征多项式 将行列式|lI-A|展开 |lI-A| =ln+a 1ln-1+an-1l+an,也是特征方程 det(l I-A)=|lI-A|=0 的根。,（1）系统的特征值,系统 的
15、特征值就是系统矩阵A的特征值，,现代控制理论基础,44,1.7 线性变换,对于友矩阵,特征多项式为：|lI-A| =ln+a 1ln-1+an-1l+an,例,现代控制理论基础,45,1.7 线性变换,（2）系统的不变量与特征值的不变性,系统经线性变换后，其特征多项式不变：,证明,特征多项式的系数a 1，a 2，a n称为系统的不变量,现代控制理论基础,46,1.7 线性变换,（3）特征向量的计算 A p=l p,例 试求矩阵的特征向量,解 根据|lI-A|=0已计算出:l1= -1，l2= -2， l3= -3, 计算对应于l1= -1 的特征向量p1 按定义 A p1=l p1,现代控制理论基础,47,1.7 线性变换,解出 p120，p11p13 ，令p111，则p131, 同理，可算出l2= -2， l3= -3的特征向量,现代控制理论基础,48,1.7 线性变换,代数余子式法求特征向量,将行列式 按第一行展开，得代数余子式,将l 1 =- 1代入，得p11= 6，p12=0， p13= 6,将l3= -3代入，得p31= 2，p32= 12，p33= 18,将l2 = -2代入，得p21= 3，p22= 6，p23= 12,现代控制理论基础,49,1.7 线性变换,1.7.3 将状态空间描述变换为约当标准形,（1）A阵为任意形式,采用线性变换
