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1、现代控制理论基础,第一章 控制系统的数学模型,1-1状态空间表达式,一：基本概念,系统的状态定义为信息的集合,状态变量是确定系统状态的最小一组变量，其选择不是唯一的，但维数相同,例如对于R-L-C 网络，,构成系统的一组状态变量,或,构成系统的一组状态变量,状态变量的最小性,只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量,和tt0 各时刻的任意输入变量组,任何一个内部变量在tt0各时刻的运动行为也就随之而完全确定,状态变量对系统行为的完全表征性,那么系统的,可以选择,由n个状态变量组成的正交空间称为状态空间。,状态向量和状态空间 由n个状态变量组成的一个列向量称为状态向量，状态向量的各个分量即为状
2、态变量。,控制系统的状态既可以用状态变量表示，也可以用状态向量表示，或用状态空间中的一个点来表示。,二：状态空间表达式,描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式（动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。,一般地，以u表示输入向量，以y表示输出向量， 以x表示状态向量，,A-系数矩阵(nn)， B-输入矩阵(nr)， C-输出矩阵(mn)，D-直接传输矩阵(mr),则系统的动态方程可表示为,B,C,A,D,对于线性定常系统，A、B、C、D为实常数矩阵。,而对于单输入、单输出线性定常系统，系统的
3、动态方程常写为：,对于线性时变系统，矩阵A、B、C、D为时间的函数，系统的动态方程表示为：,B(t),C(t),A(t),D(t),u（t）为输入，uc(t)为输出，若选择i L(t),uc(t)为一组状态变量，则：,写成矩阵形式,例如对于R-L-C 网络，,三：状态变量的选取,状态变量选择的非唯一性 选择不同的状态变量，系统的动态方程是不一样的。,例如对于R-L-C网络，,考虑到,选取状态变量时的考虑,对于一般的电路图，常选择储能元件的参数（如电容电压、电感电流）作为状态变量。应注意状态变量的独立性。,状态变量的数目是唯一性，它等于系统微分方程的阶数,四：动态方程的建立,例1,选取：,例2,
4、选取,例3,1-2系统的微分方程和动态方程之间的变换,通常一个单输入-单输出系统的微分方程为：,这是一个n阶系统，可用动态方程描述为,1：由动态方程求微分方程,例：,设,试求系统的微分方程式,解,2：由微分方程求动态方程,由于状态变量选择的非唯一性，系统的微分方程可改写成不同形式的动态方程,1 ）系统的微分方程中不含输入量的导数项,选取n个状态变量,则有,写成矩阵形式：,2：由微分方程求动态方程,由于状态变量选择的非唯一性，系统的微分方程可改写成不同形式的动态方程,1 ）系统的微分方程中不含输入量的导数项,写成矩阵形式：,可画出系统的动态结构图,例：,试写出系统的动态方程,解,2）系统的微分方
5、程中含有输入量的导数项,为避免在动态方程中出现u的导数项，可用下列方法,方法一,选取,方法一,选取,待定系数的选择应使状态方程的表达式中不含u的导数项,写成矩阵形式,其动态结构图如下,例,n=3,方法二：,改写为,令,整理，得,方法三,设,可见,令,有,1-3 系统的传递函数矩阵,一：传递函数矩阵的定义,若系统有r个输入，m个输出，在初始条件为零时，系统的输入、输出间的关系由下列矩阵方程表示：,或,称为系统的传递函数矩阵,二：由动态方程求传递函数矩阵,设系统动态方程为,在初始条件为零的情况下，对动态方程进行拉氏变换,对于单输入单输出系统，上式变为,状态变量对输入量的传递函数矩阵,例,求系统的传
6、递函数矩阵,解,三:传递函数(矩阵)与状态空间描述的比较,(1).传递函数(矩阵)是系统的外部描述 状态空间描述是系统的内部描述,内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性. 外部描述一般的说只是对系统的一种不完全描述,(2).使用对象、 初始条件不同。,(3).对于复杂系统, 可以用实验方法法获得频率特性,进而求得传递函数(矩阵)； 通过系统辨识,可以求得传递函数(矩阵),或状态空间描述,1-4 离散系统的数学模型,一：状态空间表达式,对于线性离散系统，动态方程的一般形式为,对于单输入单输出系统,对于线性时变系统,例,假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x10
7、7,每年4%的城市人口迁移去乡村, 2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1%,设k为离散时间变量, x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口, u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市, y(k)为第k年全国人口数,写成矩阵形式,1:差分方程中不含有输入量的差分项,令,二：由差分方程求动态方程,2：差分方程中含有输入量的差分项,选取,写成矩阵形式,其中,例,已知线性定常离散系统的差分方程为,试求其状态空间表达式,解,画出其动态结构图,三：脉冲传递（函数）矩阵,
8、脉冲传递矩阵为,例：,1-5线性变换,一等价系统方程,1线性定常系统,作线性变换,代入动态方程,(1),(2),方程（2）称为方程（1）的等价系统方程,2线性时变系统,（1）,作线性变换：,（2）,其中,方程（2）称为方程（1）的等价系统方程,二：线性变换的不变性,1线性变换不改变系统特征值,2线性变换不改变系统传递函数矩阵,系统（A、B、C、D）经非奇异变换后，传递函数矩阵保持不变。,1 化矩阵A为对角形,对于矩阵A，称,为其特征方程式。 特征方程式的根1、2、n即为A的特征值,若：（iI-A）qi=0或：iqi= Aqi ，称qi为与i相对应的A的特征向量,下列几种情况，可将A化为对角阵,
9、三:化A为规范形,为矩阵A的特征多项式,1)如果A有n个特征值1、2、n互不相同，取 Q=（q1 ，q2 ，qn ），其中qi为与i相对应的A的特征向量，令P=Q-1,例,设对应于1的特征向量为,对应于2的特征向量为,试将化为对角形,解：,2)如果矩阵A 具有如下标准形式,且A的n个特征值1、2、n互不相同，则利用范德蒙特矩阵，可使,为对角阵,3)如果矩阵A虽有相重之特征值，但由iqi= Aqi 可解出n个独立的特征向量，则Q=（q1 ，q2 ，qn ），P=Q-1可使,为对角阵,例,设对应与1、2的特征向量为,对应与3的特征向量为,2 化矩阵A为约当标准形,下列情况下，可将矩阵A化为约当标准
10、形,1) 在A的n个特征值1、2、n中，有n-m个互不相同，有m个为重特征值，此时，可A 化为约当阵。,对于互不相同之特征值，特征向量qi由A qi=i qi确定,相应的矩阵Q部分为,对于m重特征值j，特征向量qj由A qj=j qj确定； 广义特征向量qj+1、qj+2、qj+m-1、由下式确定： j qj+1+qj= A qj+1 j qj+2+qj+1= A qj+2 j qj+m-1+qj+m-2= A qj+m-1,相应的约当块为,例,设,特征值1=2、2=3=1，试化A为约当阵,解,由1 q1=A q1得：q1=2，-1，-2T,由2 q2=A q2得：q2=1，-3/7，-5/7
11、T,由2 q3+q2=Aq3得：q3=1，-22/49，-46/49T,2）如果矩阵A 具有如下标准形式,且A的特征值j为k重根，此时与j相对应的约当块为,范德蒙特矩阵Q中对应部分变为,其中,例如,其特征值为1、1、1、2、2，此时,3 模式矩阵,当矩阵A出现共轭复数根 1、2 =j时，可将A化为模式矩阵。,如A为22矩阵， 1、2=j，由1q1=A q1求出与1相对应A的特征向量q1=1+j1。,则P=1，1-1可使M=PAP-1成为模式矩阵，即,例如,特征值为 1、2=-1j，特征向量为,一般情况，如A有m个互不相同的特征值1、2m和k组复数特征值i=iji，（m+2k=n），利用,P=p
12、1，p2，pm，1，1k，k-1，可将A化为,假定第j个复数特征值是r重根，且与其对应的独立特征向量为一个，则模式矩阵中相应的部分为,而P中相应的部分由特征向量及广义特征向量的实部和虚部组成,例如A为44矩阵， 1、2=j为重根，与1相对应的特征向量q1=1+j1，广义特征向量q2=2+j2。则：P=1、1、2、2 -1,1-6 组合系统的数学描述,1：并联,系统1动态方程为,系统2动态方程为,并联后,写成矩阵形式,并联后的输出为,并联后的传递矩阵为,并联条件.,2：串联,写成矩阵形式,串联后的输出为,串联后的传递矩阵为,串联条件.,系统1动态方程为,系统2动态方程为,3：反馈,写成矩阵形式,
13、反馈联接后的输出为,系统1动态方程为,系统2动态方程为,反馈联接的条件.,反馈联接后的误差为,反馈联接后的传递矩阵为：,反馈联接后的输出为,第二章 线性控制系统的运动分析,2-1 线性定常系统齐次状态方程的解,设齐次向量微分方程为,其中A为nn常系数矩阵,写成矩阵形式,由待定系数法，得,考虑到初始条件,最后得,定义状态转移矩阵,由待定系数法，得,写成矩阵形式,则齐次状态方程的解可写为,若初始条件为,可以令,可以求出,关于线性定常齐次状态方程的求解，也可以应用拉氏变换，即：,两边拉氏变换,可见状态转移矩阵,求证,例,设系统状态方程为,试求状态方程的解,解,2-2 状态转移矩阵,一：状态转移矩阵是
14、矩阵微分方程,的唯一解,证,1）状态转移矩阵满足上述方程，,为方程,的解,把,代入后，容易得证,2）,若(t)满足,则(t)一定是状态转移矩阵，,即,一定满足,说明(t)是矩阵微分方程,的唯一解,二：(t)的性质,证,所以,证,考虑到X (t0)的任意性，分别取,令t1=0，得,进一步写为,说明(t1)、(t2)为可交换矩阵,(f) 对于nn阵A、B，当且仅当AB=BA时，有,三：状态转移矩阵的求法,1,2,3：待定系数法,1)凯莱-哈密尔顿（Caylay-Camilton）定理,对于一个nn矩阵A，若A的特征多项式为,则矩阵A满足自己的特征方程，即,证,考虑到B()也为nn矩阵,各元素的最高
15、次数不大于n-1，故,式中B0、B1、Bn-1为nn常系数矩阵，由于,比较系数,相加后，得：,2)凯莱-哈密尔顿定理的应用,设ARnn，计算,（mn）,若,则,说明关于A的一个任意次幂的多项式总可以用另一个A的多项式来表示,其最高次幂不大于n-1.,例如,设1、2、n为A的特征值，根据,可以求出1、2、n,则,例,已知,求A1010,解,|I-A|=0，得A的特征值1=5，2=-2,设A1010=0I+1A,即,3）用待定系数法求(t),设1、2、n为A的n个互异特征值,则,若i为l重特征值，则相应的l个方程为,3）用待定系数法求(t),则,设1、2、n为A的n个互异特征值,例,求(t),解,令,则,4：利用线性变换计算(t),若,则,1.若,则,例,2.若,其中,则,其中,例,3.模式矩阵,当22矩阵A出现共轭复数根 1、2 =j时,例如,特征值为 1、2=-1j，特征向量为,一般情况，如A有m个互不相同的特征值1、2m和k组复数特征值i=iji，（m+2k=n）,可将A
