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1、1,5 可控性和可观测性的概念,线 性 系 统 的 可 控 性 和 可 观 测 性,5 线性定常系统的可控性,5 线性定常系统的可观测性,5 可控性,可观测性与传递函数矩阵的关系,返回,5 连续系统离散化后的可控性与可观测性,2,5.1 可控性和可观测性的概念,可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。,第五章 线性系统的可控性和可观测性,3,下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。,故系统是可观测的。,故系统不可控。,4,故系统可控，,5,故系统是可控可观测的。,只有少数简单的系
2、统可以从结构图或信号流图直接判别系统的可控性与可观测性，如果系统结构、参数复杂，就只能借助于数学方法进行分析与研究，才能得到正确的结论。,6,5.2 线性定常系统的可控性,可控性分为状态可控性和输出可控性，若不特别指明，一般指状态可控性。状态可控性只与状态方程有关，与输出方程无关。, 5.2.1离散系统的可控性,(1) 单输入离散系统,为导出系统可控性的条件，设单输入系统状态方程为,定义,其解为,7,8,n个方程中有n个未知数,此为充要条件。,当rank Sn时，系统不可控，,式(4-1)是一个非齐次线性方程组，,当 不受约束时，,有时状态转移过程还可能少于n个采样周期。,上述过程不仅导出了单
3、输入离散系统可控性条件，而且 (4-1) 还给出了求取控制指令的具体方法。,可控系统的状态转移过程至多以n个采样周期便可以完成，,9, 5.2.2多输入离散系统,设系统状态方程为,可控性矩阵为,多输入线性定常散离系统状态可控的充分必要条件是,或,10,(1)S的行数总小于列数，在列写S时，若能知道S的秩为n,便不必把S的其余列都计算和列写出来。,计算一次n阶行列式便可确定可控性。,多输入线性定常离散系统转移过程一般可少于n个采样周期。,技巧：,（2）利用,11,例8-30 设单输入线性定常散离系统状态方程为,试判断可控性；若初始状态,，确定使,的控制序列,；研究使,的可能性。,解 由题意知,故
4、该系统可控。,12,可按式（8-90）求出u(0),u(1),u(2)。为了避免矩阵求逆， 下面用递推法来求。令k=0，1，2，可得状态序列,令,，即解下列方程组,13,其系数矩阵即可控性矩阵S1，它的非奇异性可给出如下的解,若令,，即解下列方程组,两个秩不等，方程组无解，意为不能在第二个采样周期内使 给定初态转移至原点。若该两个秩相等时，便意味着可用两步完 成状态转移。,14,例8-31 输入线性定常离散系统的状态方程为,试判断可控性，设初始状态为,，研究使,的可能性。,解：,由前三列组成的矩阵的行列式不为零，故该系统可控，,由,一定能求得控制使系统从任意初态在三步内转移到原点。,15,给出
5、,设初始状态为,由于,但本例不能对任意初态，使之在一步内转移到原点。,16, 5.2.3 连续系统的可控性 （1）单输入系统,设状态方程为,定义,终态解为,于是有,利用凯莱-哈密顿定理的推论,有,17,令,则有,记,其状态可控的充分必要条件是,（2）多输入系统,记可控性矩阵,18,例8-32 试用可控性判据判断图8-20所示桥式电路的可控性。,图8-20 电桥电路,19,显然， 不能控制 。,系统不可控,可控性矩阵为,20,例8-33 试用可控性判断图8-21并联网络的可控性。,解 网络的微分方程为,状态方程为,21,于是,系统不可控；,即不能同时控制住两个状态。,22,例8-34 判断下列状
6、态方程的可控性,解,显见S4矩阵的第二、三行元素绝对值相同，,，系统不可控。,23,其可控性矩阵S3的行列式为,由此可知：A阵对角化且有相异元素时，只需根据输入矩阵没有全零行即可判断系统可控。,系统总是不可控的。,（3）A为对角阵或约当阵时的可控性判据,设二阶系数A、b矩阵为,又设二阶系数A、b矩阵为,24,其可控性矩阵S的行列式为,由此可知：当A阵约当化且相同特征值分布在一个约当块时，只需根据输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行不是全零行，即可判断系统可控，与输入矩阵中的其它行是否为零行是无关的。,以上判断方法可推广到A阵对角化、约当化的n阶系统。,设系统状态方程为,25,A为对角阵时的可控
7、性判据可表为：A为对角阵且元素各异时，输入矩阵不存在全零行。,当A为对角阵且含有相同元素时，上述判据不适用， 应根据可控性矩阵的秩来判断。,设系统状态方程为,26,当A阵的相同特征值分布在两个或更多个约当块时，,以上判据不适用，也应根据可控性矩阵的秩来判断。,A阵约当化时的可控性判据可表为：输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行不存在全零行（与约当块其它行所对应的行允许是全零行）；输入矩阵中与相异特征值所对应的行不存在全零行。,例如,27,例8-35 下列系统是可控。,2),3),1),28,例8-36 下列系统不可控1),2),3),29,（4）可控标准型问题,其可控性矩阵为,与该状态方程对应
8、的可控性矩阵S是一个右下三角阵，且其主对 角线元素均为1，,系统一定是可控的，这就是式(4-3)称为可控标准型的由来。,(4-3),30,5.3 线性定常系统的可观测性,5.3.1离散系统的状态可观测性,可假设输入为0，其解为,因为是讨论可观性，,31,其向量-矩阵形式为,令,为线性定常离散系统可观测性矩阵。,可观测的充分必要条件为,32,例8-37 判断下列线性定常离散系统的可观测性，并讨论可观测性 的物理解释。其输出矩阵取了两种情况。,解 计算可观测性矩阵V1,故系统可观测。,在第k步便可由输出确定状态变量 .,由于,（1）,33,故在第（k+2）步便可确定,该系统为三阶系统，可观测意味着
9、至多以三步便能由y（k），y（k+1），y（k+2）的输出测量值来确定三个状态变量。,（2）,故系统不可观测。,34,由输出方程,可看出三步的输出测量值中始终不含 ，故 是不可观测状态变量。只要有一个状态变量不可观测，称系统不完全可观测，简称不可观测。,35,5.3.2,连续系统的可观测性,定义,对于多输入系统状态可观测的充分必要条件是,或,均称为可观测性矩阵。,36, 5.3.3 A为对角阵或约当阵时的可观测性判据,（1）单输入对角二阶系统,判据：A阵对角化且有相异特征值时，只需根据输出矩阵中没有 全零列即可判断系统可观测。,37, 5.3.3 A为对角阵或约当阵时的可观测性判据,（2）单输
10、入约当二阶系统,则,有时A阵的相同特征值分布在两个或更多个约当块内时，,判据：输出矩阵中与约当块最前一列所对应的列不是全零列。,38,以下 推广到A阵对角化、约当化的n阶系统。设系统动态方程为 （令u=0）,输出解为,39,A为对角阵时可观测判据：可表为： A为对角阵且元素各异时， 输出矩阵不存在全零列。,当A为对角阵但含有相同元素时，上述判据不适用，应根据可观测 矩阵的秩来判断。,设系统动态方程为,动态方 程解为,40,输出矩阵中与约当块最前一列对应的列不存在全零列（与约当块其它列所对应的列允许是全零列）；输出矩阵中与相异特征值所对应的列不存在全零列。,故A为约当阵且相同特征值分布在一个约当
11、块内时，可观测判据：,对于相同特征值分布在两个或更多个约当块内的情况，以上判据不适用，仍应用可观测矩阵来判断。,41,例8-38 下列系统可观测，试自行说明。,1）,2）,42,例8-39 下列系统不可观测，试自行说明。 （1）,（2）,5.3.4 可观测标准型问题,动态方程中的A、c矩阵具有下列形式,43,其可观测性矩阵,这就是形如（8125）所示的A、C矩阵称为可观测标准型 名称的由来。,一个可观测系统，当A、C阵不具有可观测标准型时，也可选择适当的变换化为可观测标准型。,44,利用A阵对角化的可控、可观测性判据可知：,5.4 可控性、可观测性与传递函数矩阵的关系, 5.4.1 SISO系
12、统,由于,45,这可由状态方程两端取拉氏变换（令初始条件为零）来导出。,如,46,是初始状态至输出向量之间的传递矩阵。,47,有以上分析可知：单输入-单输出系统可控可观测的充要条件是： 由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数不可约）；,以上判据仅适用于单输入单输出系统，对多输入多输出系 统一般不适用。,48,例8-40 已知下列动态方程，试研究其可控性、可观测性与传递 函数的关系。,2),3),1),49,（1）A、b为可控标准型 故可控不可观测。,解 由结构图列写系统传递函数,（2）A、c为可观测标准型，故可观测不可控。,50,再写成向量-矩阵形式的动态方程,由状态可控性矩阵S
13、及可观测性矩阵V有,故不可控。,故不可观测。,由传递矩阵,51,两式均出现零极点对消，系统不可控、不可观测。,本系统原是不稳定系统，含一个右特征值 ,但如果用对消后的传递函数来描述系统时，会误认为系统稳定。,5.4.2 MIMO 系统,系统特征多项式为,二阶系统的特征多项式是二次多项式,对消结果是二阶系统降为一阶。,多输入-多输出系统传递函数矩阵存在零极点对消时，系统并非一定是不可控或不可观测的，,需要利用传递函数矩阵中的行或列的线性相关性来判断。,52,5.5 连续系统离散化后的可控性与可观测性,其状态转移矩阵为,它是可控标准型，故一定可控。,一个可控的连续系统，当其离散化后并不一定能保持其可控性；,一个可观测的连续系统，离散化后并也不一定能保持其可观测性。,下面举例说明，设连续系统动态方程为:,53,5.5 连续系统离散化后的可控性与可观测性,其离散化状态方程为,离散化系统的可控性矩阵为,54,故离散化系统的采样周期选择不当时，便不能保持原连续系统 的可控性。,当连续系统状态方程不可控时，不管采样周期T如何选择， 离散化系统一定是不可控的。,读者可自行证明：离散后的系统不可观测。,
