第三课 CUSUM & EW MA

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1、1,高级统计质量控制工具,2,内容：,CUSUM控制及其应用 EWMA控制及其应用 自相关过程的质量控制,3,CUSUM控制及其应用,4,常规控制图的不足,常规休哈特控制图存在着对过程小偏移不灵敏的缺陷。 CUSUM控制图的诞生正是为了解决过程小偏移的质量控制问题。 CUSUM控制图是1954年佩基(Page)提出的。,5,常规休哈特控制图在诞生之时，只有一条判异准则“点出界就判异”，至于其它的判异准则，诸如：关于“界内点排列不随机”的准则，都是后来人们增加的。增加这类判异准则的原因，这是受到CUSUM、EWMA控制图设计思想的影响。,6,CUSUM控制图的原理,示例,7,前20个观测值随机地

2、取自均值为 =10、方差为 =1的正态分布。 后10个观测值随机地取自均值为 =10.5、方差为 =1的正态分布。,机理,8,30个数据的单值控制图,9,常规控制图中的均值控制图对于偏移幅度，如1.5、2或者更大的偏移情况，都是很有效的，而对于较小的偏移则不太有效。 对小偏移的检测非常重要时，CUSUM控制图不失为一种好方法。,10,CUSUM控制图包容了观测值序列的全部信息，计算观测值与目标值差值的累积和。 假设采集到样本容量 的样本，用 表示第j个样本的均值。如果以 表示过程均值的目标值，那么，CUSUM统计量为：,11,当过程处于稳态时，CUSUM统计量Si是在零附近波动的随机变量，即均

3、值为零。 若过程出现偏移， 偏移后的过程均值上升为1 0，那么，向上的正偏移就会不断累积到CUSUM统计量Si中； 偏移后的过程均值下降为1 0，那么，向下的负偏移就会在CUSUM统计量Si中不断累积。 依据CUSUM统计量Si打点形成向上或向下的趋势，可以作出过程均值是否发生偏移的判断。（优点？）,12,示例CUSUM统计量的结果,13,示例CUSUM统计量的打点结果,14,CUSUM控制的设计思想,CUSUM控制图的理论基础是序贯分析原理中的序贯概率比检验(Sequential Probability Ratio Test，简称SPRT)，这是一种基本的序贯检验法。 CUSUM控制图的设计

4、思想是对信息加以累积，将过程的小偏移累加起来，以起到放大的效果，进而，提高检测过程小偏移的灵敏度。,15,在检测过程均值的小偏移时，如偏移幅度在0.5到2倍标准差之间，CUSUM控制图更有效。检测这个范围的过程偏移量，CUSUM控制图比相应的常规控制图要快2倍，即所需的样本数更少。 利用CUSUM控制图，过程偏移量可以利用点子倾斜程度的变化进行估计。并且，通过观察倾斜程度的变化，可找到过程出现变化的起点。,16,CUSUM控制方法V型模板,17,V型模板的应用方法：把V型模板的O点放在最新得到的点子Si上，直线OP与x轴平行,每当CUSUM打点图上出现一个新的点子，就要移动V型模板，把O点移到

5、最新点子上，OP与x轴平行，应用V型模板进行控制。,18,V型模板的判断准则,V型摸板提供了一种与常规控制图的控制界限相似且可视的控制方法。 V型模板两臂的作用与常规控制图的控制界线是一致的。 如果O点位于Sn处，S1 ,S2 ,Sn-1所有的点子都落在V型模板的两臂之内，则过程受控。,19,如果存在点子Sj落在V型模板的臂外，则认为过程失控。 如果存在点子落在V型模板的下臂界外时，表示过程均值出现了向上的偏移。 如果存在点子落在V型模板的上臂界外时，表示过程均值出现了向下的偏移。,20,V型模板还可得到,因为，第j个点子落在臂外，所以，可初步判定过程开始出现异常的起点为j。 可估计出从第j个

6、点子到第i个点子（O点所在位置）之间发生偏移的过程均值为：,21,V型模板的设计,A是刻度因子，表示垂直刻度（纵轴）单位与水平刻度（横轴）单位的比值，往往取,其中：,22,V型模板的重要参数,H：称为决策值，是V型模板上点O处垂直线段长度的一半，即OU或OL。 K：称为参考值，指V型模板臂的斜度，即x值每增加一个单位，y值要增加幅度。,23,V型模板的特点,V型模板本身比较简单，可以用透明的材料作成，就象一把工具尺，使用方便，直观，可视性强。 但V型模板法不适合计算机自动处理。因而，近年来，V型模板法逐渐被计算更简单的固定控制界法所替代。,24,CUSUM控制固定控制界法,平均链长ARL (A

7、verage Run Length) ：对某一个确定的质量特性水平，控制图从开始进行控制直到发出警报信号为止所抽取的平均样本数。 过程处于稳态时，均值控制图的ARL为 370=1/0.0027 即过程处于稳态时，平均每370个样本中会产生一个失控的信号，即存在一个界外点。,25,显然，过程处于稳态时，ARL越长越好；过程出现异常时，ARL越短越好。 令 表示均值的偏移量为 时的ARL。,26,固定控制界法的常见设计思路,CUSUM统计量 其中：K是参考值(Reference Value)，通常取稳态过程均值 与需要检测出的过程偏移 之间差值的一半，即,27,假设 如果 小于零，则 自动设置为0

8、。 如果 大于决策值 (Decision Value) H， 那么，可以判断过程均值已经偏移到,28,双侧CUSUM控制图可以通过同时使用两个单侧CUSUM控制图来实现，其中：上单侧与下单侧CUSUM的参考值分别记为K1和K2，它们的ARL记为 和 。 单侧CUSUM控制图的ARL与双侧CUSUM控制图的ARL即 之间的关系为,29,CUSUM控制图的设计,CUSUM统计量 令 为上单侧CUSUM控制的统计量， 为下单侧CUSUM控制的统计量,30,CUSUM控制参数： 初值SH(0)=SL(0)=0 K是参考值，通常取稳态过程均值 与需要检测出的过程偏移 差值的一半，即,31,CUSUM控制

9、准则 和 只累积与 的偏差中大于K的部分。如果 或 为负值，则将其置为0；如果 或 大于决策值H，则判断过程失控。,32,CUSUM控制图的设计原则 设计CUSUM控制图取决于对参考值K和决策值H的选择。 建议：基于对ARL的设计要求，选取参数。,33,初值的设置FIR(Fast Initial Response，加速初值处理方法),加速初值处理FIR不将初值SH(0)和SL(0)设为0，而取非零值，最常用的是H/2。 如果过程就处于受控状态，那么，CUSUM统计量会快速衰减到0，非零初值对受控ARL的影响极小。 如果过程初始就处于某一不同于目标值的状态，非零初值的设计可使CUSUM更快地检测

10、出异常，减小失控ARL值。,34,EWMA控制及其应用,35,继1954年佩基（Page）提出累积和CUSUM控制图之后，1959年罗伯特（Robert）又提出另一种能够有效控制过程小偏移的方法：EWMA(Exponentially Weighted Moving Average，指数加权滑动平均)控制图，同样充分利用了所有的历史数据，且对数据的处理更有特色。,36,37,EWMA控制图的统计量,设X1, X2, 是相互独立的随机变量序列，则EWMA统计量Zi为： 其中： 是一个常数。 EWMA统计量的初值Z0一般取E(X) = 。,38,显然，距离当前越远的数据，权重越小，以指数形式递减。其

11、中，数据权重的累积和为： 所有数据项与Z0的权重之和为1。,39,若 ，则 权重趋近于1。 若 ，则EWMA控制图就完全退化为单值控制图。 若 ，则EWMA统计量中，观测值的权重基本一致，EWMA统计量近似于经典的CUSUM统计量。 的EWMA控制对历史数据的处理介于单值控制图与CUSUM控制之间。,40,EWMA统计量的另一种解释：EWMA统计量为对下一个观测值的预测。即将统计量Zi看作对Xi+1的预测，其数值等于当前Xi的预测值Zi-1加上倍的预测误差(XiZi-1)。 EWMA除了具有控制过程发生偏移的作用以外，还具有预测功能。,41,EWMA统计量的性质,42,EWMA控制图的设计,3

12、原则的控制界限 控制参数 的选取 可采用对数据反复叠代的方法，通过寻找使 最小的值来得到。,43,最优、偏移量和稳态ARL(0),44,45,控制参数K、和稳态ARL(0),46,47,EWMA控制图的设计步骤,选择过程稳态时可接受的较小ARL(0)； 决定必须迅速检测出的偏移幅度，并确定对此偏移量使ARL最小的； 利用步骤2得到的，寻找满足步骤1要求ARL(0)的控制界参数K； 进行敏感性分析，将上述得到的最优参数(, K)组合的失控ARL与相同ARL(0)对应的其他(, K)组合的失控ARL作比较，分析失控ARL的变化。,48,自相关过程的质量控制,49,起因,传统的统计过程控制理论的基本

13、假设是：过程的观测数据统计独立。 实际工作中，过程数据并不是总能满足彼此统计独立的假设前提，如化工、制药等连续型生产，多数数据会存在自相关现象，某些已实现数据自动采集的过程，采集到的数据往往会存在数据自相关。,50,近年来，随着测量技术和采集数据技术的发展，高频率的数据采集越来越普遍。数据采集的高频率往往会导致过程的检测数据存在自相关现象。 当数据存在自相关现象时，传统的统计过程控制理论不能有效、恰当地控制和改进过程质量。在某些情况下，运用常规控制图控制处于统计控制状态的自相关过程，会出现大量的虚发警报，以至于对过程做出错误的判断，给质量管理、质量控制工作带来严重误导，减弱了控制图的使用效果，

14、甚至丧失监控过程的作用。,51,内容,针对等数据采集间隔的情况，以简单而广为使用的一阶自回归AR(1)模型为例，介绍了残差控制图，比较了残差控制图和常规控制图的控制效果，进行了自相关过程的统计控制状态分析，分别以案例进行说明。,52,针对数据采集间隔不等的情况，尤其是子组内数据采集间隔相对短，子组间的采集间隔相对长的情况，介绍调整均值控制图。 针对化工业常见的储液罐模型，对采样间隔与控制图的控制效果之间关系进行分析，探讨了模型参数的估计问题，分析了单值控制图的应用，并就其控制效果与残差控制图进行比较。,53,残差控制图,54,模型,残差控制图（RES, residual control cha

15、rt）运用时间序列模型的残差来控制过程质量。 一阶自回归AR(1)模型：,55,控制图,残差控制统计量 控制界限：，,56,案例分析,受控过程的控制 单值控制图（0.5）,57,单值控制图（- 0.5）,58,残差控制图,59,单值控制图（- 0.5）,残差控制图 ( - 0.5 ),失控过程,60,残差控制图 （0.5）,61,调整均值控制图,62,模型,63,控制界限,64,65,66,自相关过程的 统计过程控制,67,第1步：收集或利用历史上已积累的过程运作较平稳的一段时间内的数据。 第2步：根据采集该段数据的时间间隔，确定样本容量n和样本间隔。注意：样本之间的时间间隔与采集数据的时间间隔之比要大于20n；样本最好能够选择35到40组。即从大量的数据中选择出有限的35组到40组样本，每组样本的样本容量为n。,68,第3步：对第2步整理得到的样本，可利用常规控制图中的均值控制图或单值控制图，判断过程是否处于统计控制状态。 第4步：若过程处于统计控制状态，那么，利用观测得到的大量数据，来寻找恰当描述平稳过程的时间序列模型，进而，进入保持统计过程控制状态的阶段。若过程未处于统计控制状态，那么，寻找原因进行调整，重新收集数据，回到第1步。,69,The end,