《现代控制理论赵光宙第2章节》由会员分享，可在线阅读，更多相关《现代控制理论赵光宙第2章节（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 线性动态系统的运动分析,已知系统状态空间描述,研究由输入激励和初始状态影响所引起的 系统状态运动或输出响应，实质上就是求解系统的状态方程并分析 解的性质，以解析形式或数值形式得出系统状态的变化规律，属于 定量分析。,1、线性定常系统的运动分析,一、线性定常系统齐次状态方程的解,齐次状态方程是指系统输入量为零时的状态方程：,设解 为向量幂级数：,代入状态方程得：,等式两边同幂次项的系数应相等，即：,将初始条件代入，有：,状态方程的解可写为：,仿照标量指数函数,矩阵指 数函数,所以状态方程的解为：,线性定常系统自由运动的状态 可视为是由它的初始状态 通过矩阵 指数 的转移作用而得到的，因此
2、又将矩阵指数 称为线性定常系 统的状态转移矩阵，记作 。,状态方程的解又可写为：,当初始时刻 时，初始条件成为,自由运动的解为：,矩阵指数函数为：,二、状态转移矩阵 的性质,证：,将 代入 即可证。,结合性质1还可得出,9对应于对角阵 的状态转移矩阵也是对角矩阵，为,证：,给出了状态方程的频域解法,证：,证：,10对应于 （约当阵）的状态转移矩阵是一个右上三角阵：,对于具有n个互不相同的特征值 的系统矩阵A，由它们所对应的 线性无关的n个特征向量构成的变换矩阵 得：,三、状态运动模态,状态转移矩阵 包含了系统自由运动的全部信息。,系统的动态特性是由系统矩阵A的特征值决定的，称之为运动模态。,其
3、中：,由状态转移矩阵的性质9有,进一步得到新的状态空间中的状态解：,又,把一个由 决定的运动称为一个运动模态，它们决定了系统状态的运动特性， （包括稳定性、运动速度、运动方向等）。,线性定常系统的状态解是由系统的n个特征值决定的指数函数 的线性组合。,所以：,可以证明，对于共轭复数对特征值，采用实数化处理方法，得出的状态转 移矩阵与先化为复数对角矩阵，然后再得出状态转移矩阵具有相同的结果。,对于上一章所讨论的例子：,已求得特征值为：,对应的特征向量为：,得特征值规范型变换矩阵及其逆阵分别为：,欧拉公式,采用实数化处理方法：,对于共轭复数对特征值,取变换矩阵为,其中 和 分别是共轭复数对特征值对
4、应的特征向量 的实部和虚部列向量,变换后的系统矩阵为：,将 表示为：,有：,（因为满足状态转移矩阵性质6的乘法交换率）,对于,有：,（性质9）,对于,有：,台劳级数公式,所以得：,对于,对应的特征向量为：,变换矩阵P及其逆阵分别为：,实数化处理得到的 ：,的状态转移矩阵为：,A的状态转移矩阵为：,与直接用复数特征值求得的结果一致。,四、矩阵指数 的计算方法,1按定义求解,一般不能写出闭合形式，只能得到数值结果，适合用计算机计算，以实际精度确定项数。,2频域法求解,能得到闭合形式，不适合较高阶次系统。,例23 已知,，求出状态转移矩阵。,解：,求逆得预解矩阵：,所以有,3利用特征值规范型求解,上
5、例有,，求得它的二个特征值为,A矩阵具有能控规范型形式，有,范德蒙德矩阵,依此类推， 都可表示为 的线性组合。,可表示为 的线性组合：,4应用凯莱哈密顿（Cayley-Hamilton）定理求解,（1）凯莱哈密顿定理指出， 矩阵A满足其自身的特征方程：,为A的特征多项式,、A、I,同理，对于 有：,、A、I,（3）当矩阵A具有n个相同的特征值 ，且其几何重数时 ，上式 的各项系数由下式决定：,所以，在,中，可以用,性组合替代所有,的无穷项级数和成为,的有限项和的表达式，即,、A、I的线,，使,、A、I,（2）当矩阵A的n个特征值两两相异时，上式的各项系数由下式决定：,（证明见教材p87）,的状
6、态转移矩阵 。,当A既具有重特征值又具有单特征值时，可由上面两种情况的组合求得 。,例26 应用凯莱哈密顿定理求,解 矩阵A的特征多项式为,解得特征值：,有：,得：,方程二边左乘,非齐次状态方程描述控制作用 u(t)下系统的强迫运动。,五、线性定常系统非齐次状态方程的解,一般形式：,当输入量为几种特定信号时，状态运动的表示式可以简单化。,（1）,时的脉冲响应：,（2）,时的阶跃响应：,要求A矩阵的逆阵存在,（3）,时的斜坡响应：,也要求A矩阵的逆阵存在,也可以应用阶跃响应的式子。这时，先求出矩阵A的逆为：,有：,2. 线性时变系统的运动分析,设解为,解上述方程得 即得 ,解 变为解,一线性时变
7、齐次状态方程的解,代入原方程：,有：,解 分两种情况：,有：,又：,所以：,以此类推，即可证明这时 由Peano-Baker级数求得。,即有：,或：,两式不等，用Peano-Baker级数求 ：,例29 求解下面线性时变系统齐次状态方程，其初始条件为 。,求得状态解为：,二、时变系统状态转移矩阵的性质：,定常系统状态转移矩阵的性质（10个）并不都适用时变系统，但有4个是 共同的：,三、时变非齐次状态方程的解,有：,零输入分量,零初值分量,一般需用计算机来求解。,得：,第一种情况,例210设系统,的初始状态为,求系统在单位阶跃信号 作用下的状态解和系统输出响应。,代入 ，有：,系统的状态解为：,
8、系统的输出响应为：,3、线性离散系统的运动分析,一、离散系统状态方程的解,（一）递推法求解,1定常系统状态方程的求解,几点说明：,（1）如果初始时刻设为 ，则状态解应为：,离散系统的状态转移矩阵具有与线性定常连续系统状态转移矩阵类似的性质。,状态解可表示为：,或,（5）离散系统状态解的递推形式适合计算机计算，缺点是会导致累积误差。,2时变系统状态方程的求解,定义线性时变离散系统的状态转移矩阵：,则状态解可表示为：,具有与线性时变连续系统状态转移矩阵相类似的性质。,Z变换:,Z反变换：,（二）z变换法求解（线性定常离散系统）,求线性离散系统状态解的关键也在于求得其状态转移矩阵。与连续系统类 似，
9、线性定常离散系统的状态转移矩阵也有4种求取方法，它们分别是： 按定义直接求； z变换法求； 利用线性变换的特征值规范型求； 化为有限项多项式求。,例211 分别用（1）z变换法，（2）利用线性变换的特征值规范型求状 态转移矩阵的方法，求下面线性定常离散系统状态方程的解。,其中初始状态为：,输入信号为单位阶跃序列。,解 （1）用z变换法求。先求出,又：,单位阶跃序列 的z变换,容易求得系统矩阵G的两个互不相同的特征值：,取z反变换，得：,（2）利用线性变换的特征值规范型法求。,系统矩阵具有能控规范形式，变换矩阵为：,得到状态解为：,两种求法的结果是一致的,二、线性连续系统的离散化,按一定时间间隔
10、的采样和一定形式的保持（零阶保持）,（一）近似离散化,采样周期T较小的情况下有：,代入状态方程得：,系统矩阵和输入矩阵分别为：,输出方程离散化结果只是用采样时刻KT代替连续时间 t ：,例212 将下面连续系统用近似法离散化，其中采样周期为,解 这是一个线性定常系统，由上面的讨论可分别求得离散系统的系统 矩阵及输入矩阵为：,所以离散化后的系统动态方程为：,1、时变系统的情况：,状态方程的解为：,（二）由连续系统状态解离散化,对照 ，显然有：,2定常系统情况,线性定常连续系统状态方程的解为：,(另阶保持）,对照 ，显然有：,作变量代换 ：,解 已得出系统的状态转移矩阵为：,所以离散化后系统为：,用递推法可得到各采样点的状态值为：,已知：,各采样点的输出值为：,
