《有限元导论－第六章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《有限元导论－第六章（58页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六章 等参数单元,在实际应用中，等参数单元非常有效。等参数单元的形函数一般建立在一个参考坐标系下，它既被用来进行单元内位移插值，也被用来表示单元内任意一点的坐标。经过形函数的坐标变换，可以把物理空间下任意的四边形或六面体，甚至是曲边的四边形或曲面的六面体，转换成参考坐标系下的正方形或立方体。这些曲边或曲面的单元可以更精确地描述求解区域，而且应用更高阶的位移插值函数，因此具有较高的精度。另外，等参数单元形函数选择方法的统一性，非常有利于程序实现。,1、四节点单元,在平面问题中，我们曾经介绍了两种最简单的单元，三角形单元和矩形单元。所采用的是线性和双线性的位移模式，他们是对实际位移分布的最低级逼
2、近，精度有限。矩形单元难以应用于非规则边界和构造梯度网格以获取关键区域的细节。这节介绍的平面等参元是直边或曲边的任意四边形，可以适应不规则的边界和构造梯度网格，并具有较高的精度。,坐标变换,x,h,x,y,1,2,3,4,1,2,3,4,2,2,位移模式,坐标变换,等参数单元,单元特性,导数的链式法则,Jacobi矩阵,Jacobi矩阵,应变矩阵B,应力矩阵,单元刚度矩阵,1833年著名数学家Gauss提出的积分变量替换公式,8结点四边形单元,四结点单元虽然在几何形状上比矩形单元自由得多，但是位移模式仍然是双线性的，其计算精度跟矩形单元是一样的。如果在四边形的边上增加结点，则可以构造更复杂适应
3、性更强的单元，因为四边形的边甚至可以是弯曲的,形函数的确定,1,2,3,4,5,6,7,8,x,h,以结点5为例，在参考坐标系下的正方形单元中，将不含结点5的三个边的方程相乘，并使这个乘积在结点5有等于1的函数值,高斯积分,高斯点：,权系数：,(Legendre多项式的根),这个公式由Gauss在1814年提出,高斯点与权系数,二阶的高斯积分法,x,h,如果采用22的高斯积分法，则有,式中,f11,f12,f21,f22,单元刚度矩阵的计算,单刚计算程序,K=StiffnessMatrix(ie),B=MatrixB(ie,xi,eta),J=Jacobi(ie,xi,eta),N_x,N_y
4、=N_xy(ie,xi,eta),N_xi,N_eta=N_xieta(ie,xi,eta),体积力的等效结点力,表面力的等效结点力,第1类曲线积分,1,P3,P6,P2,2,3,4,5,6,7,8,x,h,表面力的方向随曲线的法向变化时,第2类曲线积分,曲线的参数方程,式中,则在三个结点上的等效结点力为,式中,如果表面力的分布如下,则可以得到显式的表达式,式中,温度荷载,应力的计算,单元的协调性,I,J,M,单元的完备性,三角形单元和矩形单元也是等参数单元,空间等参数单元,坐标变换和位移插值,中结点的形函数,角结点的形函数,应变矩阵B,形函数对坐标的导数计算方法可从平面单元推广得到,应力计算
5、,单元刚度矩阵,体积力的等效结点力,方向固定的表面力,第1类曲面积分,方向随曲面法向变化的表面力,另一种定义和计算表面力等效结点力的方法,结点力具体的计算方法,温度应力,亚参数单元和超参数单元,坐标变换,位移插值,等参数单元(isoparametric),亚参数单元(subparametric),超参数单元(superparametric),算例1,斜支撑的处理办法,设在结点i处定义有斜约束，则可设整体坐标系下和部分局部坐标下的结点位移列阵,则右边的转换关系成立,式中,式中,则可以用第三章杆件系统中同样的方法，把原来的有限元方程化成,式中,由于矩阵转换是分块意义上的对角阵，上式可以简写为,表6-2 圆筒的径向位移(mm),表6-3 圆筒的径向应力(MPa),表6-4 圆筒的周向应力(MPa),算例2,有限元模型,
