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1、曲面积分习题课曲面积分习题课（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系（三）场论初步（三）场论初步 一、主要内容一、主要内容曲曲线线积积分分曲曲面面积积分分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定定义义计计算算定定义义计计算算联联系系联联系系（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义联联系系计计算算一代一代,二换二换,三投三投(与侧无关与侧无关) 一代
2、一代,二投二投,三定向三定向 (与侧有关与侧有关)定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式（二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系积分概念的联系积分概念的联系定积分定积分二重积分二重积分曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分曲线积分曲线积分计算上的联系计算上的联系其中其中理论上的联系理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系格林公式格林公式3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲
3、面积分的联系高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系斯托克斯公式斯托克斯公式梯度梯度通量通量旋度旋度环流量环流量散度散度（三）（三）场论初步场论初步二二 选择判断选择判断CBCCB若分片光滑的闭曲面若分片光滑的闭曲面0其中其中注注补充补充x的偶函数的偶函数x的奇函数的奇函数曲面曲面不封闭也可以不封闭也可以.取取外侧外侧(内侧仍成立内侧仍成立), 那末那末关于关于yOz平面对称平面对称, , 例例其中其中:解解关于关于yOz面对称面对称,被积函数被积函数关于关于x为偶函数为偶函数.下侧下侧. .关于关于zOx面对称面对称, 被积函数被积函数关于关于y为偶函数为偶函数.
4、 原式原式=三、三、典型例题典型例题解解所以所以例例.计算曲面积分计算曲面积分中中 是球面是球面解解: 利用对称性利用对称性用重心公式用重心公式(曲面关于曲面关于xoz面面对称）对称）对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法1. 利用高斯公式利用高斯公式具有具有则则外侧外侧. .一阶连续偏导数一阶连续偏导数, ,2. 通过投影化为二重积分通过投影化为二重积分注意注意的确定的确定!3.向量点积法向量点积法(化为同一组坐标积分）化为同一组坐标积分）证明证明由高斯公式，得到由高斯公式，得到解解由高斯公式，得到由高斯公式，得到 被积函数中有抽象函数被积函数中有抽象函数,故无法直接计算故无法直接
5、计算. 如直接计算如直接计算分析分析 用用高斯公式高斯公式.例例是锥面是锥面所围立体的表面所围立体的表面计算设计算设f(u)是有连续的导数是有连续的导数,计算计算和球面和球面及及外侧外侧. .解解 由于由于故由故由高斯公式高斯公式= 球球例例解解利用向量点积法利用向量点积法用高斯公式用高斯公式.补面：补面： 取下面，取下面，取上面。取上面。则则 构成封闭曲面，且取外侧。构成封闭曲面，且取外侧。计算计算由高斯公式由高斯公式法2：注意：若用柱面坐标计算三重积分，要分区域考虑。注意：若用柱面坐标计算三重积分，要分区域考虑。例例解解1 1上侧上侧. .化为同一积分组坐标的积分化为同一积分组坐标的积分利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系解解2 2例例.设设L 是平面是平面与柱面与柱面的交线的交线从从 z 轴正向看去轴正向看去, L 为逆时针方向为逆时针方向, 计算计算 解解: 记记 为平面为平面上上 L 所围部分的上侧所围部分的上侧, D为为 在在 xoy 面上的投影面上的投影.由由斯托克斯公式斯托克斯公式其中其中 的上侧的上侧.且取下侧且取下侧 , 提示提示: 以半球底面以半球底面原式原式 =记半球域为记半球域为 ,高斯公式有高斯公式有计算计算为辅助面为辅助面, 利用利用为半球面为半球面例例测验题测验题测验题答案测验题答案
