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1、课时跟踪训练课时跟踪训练(四十三四十三) 基础巩固 一、选择题 1若平面 平面 ，直线 a平面 ，点 B，则在平面 内且过 B 点的所有直线中( ) A不一定存在与 a 平行的直线 B只有两条与 a 平行的直线 C存在无数条与 a 平行的直线 D存在唯一与 a 平行的直线 解析 当直线 a 在平面 内且经过 B 点时，可使 a平面 ， 但这时在平面 内过 B 点的所有直线中，不存在与 a 平行的直线， 而在其他情况下，都可以存在与 a 平行的直线，故选 A. 答案 A 2(2017湖南长郡中学质检)如图所示的三棱柱 ABCA1B1C1中， 过 A1B1的平面与平面 ABC 交于 DE，则 DE
2、 与 AB 的位置关系是( ) A异面 B平行 C相交 D以上均有可能 解析 在三棱柱 ABCA1B1C1中，ABA1B1，AB平面 ABC，A1B1平面 ABC，A1B1平面 ABC，过 A1B1的平面与平 面 ABC 交于 DE.DEA1B1，DEAB. 答案 B 3(2016吉林长春二中模拟)在空间中，设 m，n 是不同的直线， ， 是不同的平面，且 m，n，则下列命题正确的是( ) A若 mn，则 B若 m，n 异面，则 C若 m，n 相交，则 ， 相交 D若 mn，则 解析 若 mn，则 与 平行或相交，故 A 错误；若 m，n 异面，则 ， 平行或相交，故 B 错误；若 m，n 相
3、交，则 ， 一 定有公共点，即相交，故 C 正确；若 mn，则 与 可以平行、相 交，故 D 错误 答案 C 4设 a，b 是两条直线， 是两个不同的平面，则 的 一个充分条件是( ) A存在一条直线 a，a，a B存在一条直线 a，a，a C存在两条平行直线 a，b，a，b，a，b D存在两条异面直线 a，b，a，b，a，b 解析 对于 A，两个平面还可以相交，若 ，则存在一条 直线 a，a，a，所以 A 是 的一个必要条件；同理，B 也 是 的一个必要条件；易知 C 不是 的一个充分条件，而是 一个必要条件；对于 D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个 平面中，成为相交直线，则有 ，所以
4、 D 是 的一个充分条 件 答案 D 5(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方 体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中， 直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( ) 解析 解法一：对于选项 B，如图所示，连接 CD，因为 ABCD，M，Q 分别是所在棱的中点，所以 MQCD，所以 ABMQ，又 AB平面 MNQ，MQ平面 MNQ，所以 AB平面 MNQ.同理可证选项 C，D 中均有 AB平面 MNQ.故选 A. 解法二：对于选项 A，设正方体的底面对角线的交点为 O(如图 所示)，连接 OQ，则 OQAB，因为 OQ 与平面 MNQ 有交点，所以 A
5、B 与平面 MNQ 有交点，即 AB 与平面 MNQ 不平行，故选 A. 答案 A 6如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长为 a，M、N 分 别为 A1B 和 AC 上的点，A1MAN，则 MN 与平面 BB1C1C 的位 2a 3 置关系是( ) A相交 B平行 C垂直 D不能确定 解析 连接 CD1、AD1，在 CD1上取点 P，使 D1P，连接 2a 3 MP、NP，MPBC，PNAD1BC1，MP平面 BB1C1C，PN平面 BB1C1C，平面 MNP平面 BB1C1C，MN 平面 BB1C1C. 答案 B 二、填空题 7(2017广东顺德质检)如图所示，四棱锥 PABCD
6、 的底面是 一直角梯形，ABCD，BAAD，CD2AB，PA底面 ABCD，E 为 PC 的中点，则 BE 与平面 PAD 的位置关系为_ 解析 取 PD 的中点 F，连接 EF、AF， 在PCD 中，EF 綊 CD. 1 2 又ABCD 且 CD2AB，EF 綊 AB， 四边形 ABEF 是平行四边形，EBAF. 又EB平面 PAD，AF平面 PAD，BE平面 PAD. 答案 平行 8棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是棱 AA1的中点， 过 C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是_ 解析 由面面平行的性质知截面与面 AB1的交线 MN 是 AA1B 的中位线，所以截
7、面是梯形 CD1MN，易求其面积为 . 9 2 答案 9 2 9已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 P 是面 AA1D1D 的中心，点 Q 是 B1D1上一点，且 PQ面 AB1，则线段 PQ 长为_ 解析 连接 AB1、AD1， 点 P 是平面 AA1D1D 的中心， 点 P 是 AD1的中点， PQ平面 AB1， PQ平面 D1AB1， 平面 D1AB1平面 AB1AB1， PQAB1， PQ AB1. 1 2 2 2 答案 2 2 三、解答题 10(2017浙江卷改编)如图，已知四棱锥 PABCD，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BCAD，AD2CB，E 为
8、 PD 的中点证明：CE平面 PAB. 证明 如图，设 PA 中点为 F，连接 EF，FB.因为 E，F 分别 为 PD，PA 中点，所以 EFAD 且 EF AD， 1 2 又因为 BCAD，BC AD，所以 EFBC 且 EFBC， 1 2 即四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CEBF，因为 CE平面 PAB，BF平面 PAB，因此 CE平面 PAB. 能力提升 11(2016云南检测)如图，在三棱锥 SABC 中，ABC 是边 长为 6 的正三角形，SASBSC15，平面 DEFH 分别与 AB，BC，SC，SA 交于 D，E，F，H，且 D，E 分别是 AB，BC 的 中点，如果直
9、线 SB平面 DEFH，那么四边形 DEFH 的面积为( ) A. B. C44 D45 45 2 45 3 23 解析 取 AC 的中点 G，连接 SG，BG.易知 SGAC，BGAC，故 AC平面 SGB，所以 ACSB.因为 SB平 面 DEFH，SB平面 SAB，平面 SAB平面 DEFHHD，则 SBHD.同理 SBFE.又 D，E 分别为 AB，BC 的中点，则 H，F 也 为 AS，SC 的中点，从而得 HF 綊 AC 綊 DE，所以四边形 DEFH 为 1 2 平行四边形因为 ACSB，SBHD，DEAC，所以 DEHD， 所以四边形 DEFH 为矩形，其面积 SHFHD. (
10、 1 2AC) ( 1 2SB) 45 2 答案 A 12如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上 有两个动点 E、F，且 EF ，则下列结论中错误的是( ) 1 2 AACBE BEF平面 ABCD C三棱锥 ABEF 的体积为定值 DAEF 的面积与BEF 的面积相等 解析 由 AC平面 DBB1D1可知 ACBE.故 A 正 确EFBD，EF平面 ABCD，BD平面 ABCD，知 EF平面 ABCD，故 B 正确 A 到平面 BEF 的距离即为 A 到平面 DBB1D1的距离为，且 S 2 2 BEF BB1EF定值， 1 2 故 VABEF为定值，即 C 正
11、确 AEF 的面积为，BEF 的面积为 ，两三角形面积不相等， 6 8 1 4 故 D 错误 答案 D 13(2017湖南十三校联考)过三棱柱 ABCA1B1C1的任意两条 棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1平行的直线共有_ 条 解析 记 AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为 E，F，E1，F1，则直线 EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面 ABB1A1平行，故符合题意的直线共有 6 条 答案 6 14.如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H 分别 是棱 CC1、C1D1、D1D、DC 的中点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边 形 EFG
12、H 及其内部运动，则当 M 满足条件_时，有 MN平 面 B1BDD1. 解析 因为平面 NHF平面 B1BDD1，所以当 M 点满足在线 段 FH 上，有 MN平面 B1BDD1. 答案 M线段 FH 15如图，几何体 EABCD 是四棱锥，ABD 为正三角形， CBCD，BCD120，M 为线段 AE 的中点，求证：DM平面 BEC. 证明 证法一： 如图 1，延长 AD，BC 交于点 F，连接 EF. 因为 CBCD，BCD120， 所以CBD30. 因为ABD 为正三角形， 所以BAD60，ABC90， 因此AFB30， 所以 AB AF. 1 2 又 ABAD，所以 D 为线段 AF
13、 的中点连接 DM，由点 M 是 线段 AE 的中点，因此 DMEF. 又 DM平面 BEC，EF平面 BEC， 所以 DM平面 BEC. 证法二：如图 2，取 AB 的中点 N，连接 DM，DN，MN， 因为 M 是 AE 的中点， 所以 MNBE. 又 MN平面 BEC，BE平面 BEC， 所以 MN平面 BEC. 又因为ABD 为正三角形， 所以BDN30， 又 CBCD，BCD120， 因此CBD30， 所以 DNBC. 又 DN平面 BEC，BC平面 BEC，所以 DN平面 BEC. 又 MNDNN，故平面 DMN平面 BEC， 又 DM平面 DMN，所以 DM平面 BEC. 16.
14、如图所示，平面 平面 ，点 A，C，点 B，D，点 E，F 分别在线段 AB，CD 上，且 AEEBCFFD.求证：EF. 证明 若 AB 与 CD 共面，如图 1 所示， 图 1 AEEBCFFD， ACEFBD， 又EF，BD， EF. 若 AB 与 CD 异面，如图 2 所示， 连接 AC，BD，AD，过 E 点作 EGBD，交 AD 于 G 点，连接 GF，则 AEEBAGGD. 图 2 EG，BD，EG. AEEBCFFD，AGGDCFFD， GFAC，GF，AC，GF， ，GF，EG、GF平面 EFG，EGGFG， 平面 EFG，又 EF平面 EFG，EF. 延伸拓展 一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中 M、N 分别是 AF、BC 的中点) (1)求证：MN平面 CDEF； (2)求多面体 ACDEF 的体积 解 (1)证明： 由已知得此多面体为直三棱柱 取 BF 的中点 G，连接 MG、NG， 由 M、N 分别为 AF、BC 的中点可得 NGCF，MGEF，NG平面 CDEF，MG平面 CDEF，又 NGMGG， 可得平面 MNG平面 CDEF， 又 MN平面 MNG， MN平面 CDEF. (2)由三视图可知 ABBCBF2，
