《2019届高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第7节 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第7节 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系 （14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 7 节 圆锥曲线的综合问题 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系 【选题明细表】 知识点、方法题号 直线与圆锥曲线的位置关系 1,3,4,5,6,9 最值、定值问题 11,15 弦长问题与中点弦问题 2,7,8,14 直线与圆锥曲线的综合问题 10,12,13 基础巩固(时间:30 分钟) 1.已知抛物线 y2=2x,过点(-1,2)作直线 l,使 l 与抛物线有且只有一 个公共点,则满足上述条件的直线 l 共有( D ) (A)0 条(B)1 条(C)2 条(D)3 条 解析:因为点(-1,2)在抛物线 y2=2x 的左侧,所以该抛物线一定有两 条过点(-1,2)的切线,过点(-1,2)与
2、 x 轴平行的直线也与抛物线只有 一个交点,所以过点(-1,2)有 3 条直线与抛物线有且只有一个交点. 故选 D. 2.已知椭圆+=1 以及椭圆内一点 P(4,2),则以 P 为中点的弦所在 直线的斜率为( B ) (A)(B)-(C)2(D)-2 解析:设弦的端点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=8,y1+y2=4, 两式相减,得+=0, 所以=-,所以 k=-. 故选 B. 3.过点 P(1,1)作直线与双曲线 x2-=1 交于 A,B 两点,使点 P 为 AB 中点,则这样的直线( D ) (A)存在一条,且方程为 2x-y-1=0 (B)存在无数条 (C)存在两
3、条,方程为 2x(y+1)=0 (D)不存在 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=2,y1+y2=2, - =1, - =1, 两式相减得(x1-x2)(x1+x2)- (y1-y2)(y1+y2)=0, 所以 x1-x2= (y1-y2),即 kAB=2, 故所求直线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. 联立可得 2x2-4x+3=0, 但 =(-4)2-4230,b0)的左焦点 F 作直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,使得|AB|=4b,若这样的直线有且 仅有两条,则离心率 e 的取值范围是( D ) (A)(1,) (B)(,+) (C)(,)(
4、D)(1,)(,+) 解析:过左焦点的直线如果与双曲线的两支相交,得最短弦为 2a; 如果与双曲线的一支相交得最短弦长为,此时弦垂直于 x 轴, 因为满足|AB|=4b 的弦有且仅有两条,所以得如图两种情况. 或 或 由得所以 所以 解得 结合 e1 得,1, 综合可得,有 2 条直线符合条件时,e或 1b0),F(,0)为其右焦点,过 F 且垂直于 x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2.则椭圆 C 的方程为 . 解析:把 x=c 代入椭圆方程解得 y=, 所以弦长=2,则解得 所以椭圆 C 的方程为+=1. 答案:+=1 7.过点 M(2,-2p)作抛物线 x2=2py(p0)的两条切线,
5、切点分别为 A,B, 若线段 AB 的中点的纵坐标为 6,则 p 的值是 . 解析:抛物线 x2=2py 是关于 x 的二次函数 y=x2, 其导函数为 y=, 设点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则切线 MA 的方程是 y-y1=(x-x1),即 y=x-.又点 M(2,-2p)位于 直线 MA 上, 于是有-2p=2-,即 -4x1-4p2=0; 同理有 -4x2-4p2=0, 因此 x1,x2是方程 x2-4x-4p2=0 的两根, 则 x1+x2=4,x1x2=-4p2. 由线段 AB 的中点的纵坐标是 6 得,y1+y2=12, 即=12,=12, 解得 p=1 或 p=2.
6、 答案:1 或 2 8.(2017邯郸市二模)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,以抛 物线 C 上的点 M(x0,2)(x0)为圆心的圆与线段 MF 相交于点 A,且被 直线 x=截得的弦长为|,若=2,则|= . 解析:由题意,|MF|=x0+. 因为圆 M 与线段 MF 相交于点 A,且被直线 x=截得的弦长为|,所 以|MA|=2(x0-). 因为=2,所以|MF|=|MA|,所以 x0=p, 所以 2p2=8,所以 p=2,所以|=1. 答案:1 能力提升(时间:15 分钟) 9. F 为椭圆+y2=1 的右焦点,第一象限内的点 M 在椭圆上,若 MFx 轴,直线 MN
7、 与圆 x2+y2=1 相切于第四象限内的点 N,则|NF|等于( A ) (A)(B)(C)(D) 解析:因为 MFx 轴,F 为椭圆+y2=1 的右焦点, 所以 F(2,0),M(2,), 设 lMN:y-=k(x-2), N(x,y),则 O 到 lMN的距离 d=1, 解得 k=(负值舍去). 又因为 即 N(,-), 所以|NF|=.故选 A. 10.(2017泉州市模拟)椭圆+=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 椭圆的右焦点 F2作一条直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,则F1PQ 内切圆 面积的最大值是 . 解析:因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的 2 倍, 且
8、F1PQ 的周长是定值 8,所以只需求出F1PQ 面积的最大值. 设直线 l 方程为 x=my+1,与椭圆方程联立得 (3m2+4)y2+6my-9=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 y1+y2=-,y1y2=-, 于是=|F1F2|y1-y2| = =12. 设 m2+1=t1,+), 则=, 在 t1,+)内,9t+是单调递增的, 所以 t=1 取得最大的=12=3. 所以内切圆半径 r=, 因此其面积最大值是. 答案: 11.(2017武汉市模拟)已知直线 MN 过椭圆+y2=1 的左焦点 F,与椭 圆交于 M,N 两点.直线 PQ 过原点 O 与 MN 平行,且 PQ
9、 与椭圆交于 P,Q 两点,则= . 解析:不妨取直线 MNx 轴,椭圆+y2=1 的左焦点 F(-1,0),令 x=-1, 得 y2=, 所以 y=,所以|MN|=,此时|PQ|=2b=2, 则=2. 答案:2 12.(2017鞍山市一模)设 A,B 分别为椭圆+=1(ab0)和双曲线 -=1 的公共顶点,P,M 分别为双曲线和椭圆上异于 A,B 的两动点, 且满足+=(+),其中 R,|1,设直线 AP,BP,AM,BM 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4且 k1+k2=5,则 k3+k4= . 解析:如图所示, 因为满足+=(+),其中 R,|1, 所以-2=(-2), 所以 O,M,
10、P 三点共线. 设 P(x1,y1),M(x2,y2), =k0. 则-=1,+=1, 所以=,=-, 因为 k1+k2=5, 所以 5=+=. 所以 k3+k4=+=-=-5. 答案:-5 13.(2017张家口市模拟)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点 F 和椭 圆 E:+=1 的右焦点重合,直线 l 过点 F 交抛物线于 A,B 两点. (1)若直线 l 的倾斜角为 135,求|AB|的长; (2)若直线 l 交 y 轴于点 M,且=m,=n,试求 m+n 的值. 解:(1)据已知得椭圆 E 的右焦点为 F(1,0), 所以=1,故抛物线 C 的方程为 y2=4x. 因为直线 l
11、 的倾斜角为 135,所以 y=-x+1, 由得到(-x+1)2=4x, 即 x2-6x+1=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 所以 x1+x2=6,所以|AB|=p+x1+x2=8. (2)根据题意知斜率必存在, 于是设方程为 y=k(x-1), 点 M 坐标为 M(0,-k), 因为 A(x1,y1),B(x2,y2)为 l 与抛物线 C 的交点, 得到 k2x2-2(k2+2)x+k2=0, 因为 =16(k2+1)0, 所以 x1+x2=2+,x1x2=1. 因为=m, =n, 所以(x1,y1+k)=m(1-x1,-y1), (x2,y2+k)=n(1-x2,-y2),
12、 所以 m=,n=, 所以 m+n=+= = =-1. 14.(2017贵阳市二模)已知椭圆 C:+=1(ab0)的离心率为, F1,F2分别是椭圆 C 的左、右焦点,椭圆 C 的焦点 F1到双曲线-y2=1 渐近线的距离为. (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 AB:y=kx+m(k0, x1+x2=-,x1x2=, 因为以线段 AB 为直径的圆经过点 F2, 所以=0, 即(x1-1)(x2-1)+y1y2=0, 即(x1-1)(x2-1)+(kx1+m)(kx2+m)=0, 即(1+k2)x1x2+(km-1)(x1+x2)+m2+1=0, 所以(1+k2) +(km-1)(-)+m
13、2+1=0, 化简得 3m2+4km-1=0, 由得 11m4-10m2-1=0,得 m2=1, 因为 kb0)经过点(,),且 其左焦点坐标为(-1,0). (1)求椭圆的方程; (2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线 l,m,其中 l 交椭圆于 M,N,m 交椭圆于 P,Q,求|MN|+|PQ|的最小值. 解:(1)因为 2a=+=4,又 c=1, 所以 b=, 所以椭圆的方程为+=1. (2)当直线 l1,l2中有一条直线的斜率不存在时, |MN|+|PQ|=+2a=3+4=7, 当直线 l1的斜率存在且不为 0 时,设直线 l1的方程 y=k(x-1),设 M(x1,y1),N(x2,y2), 由 得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 所以 x1+x2=,x1x2=, |MN|= = =, 直线 l2的方程为 y=- (x-1), 同理(只是把 k 代换成-)得|PQ|=, 所以|MN|+|PQ|=, 设 t=k2+1,则 t1, 所以|MN|+|PQ|= = =, 因为 t1,所以=时,|MN|+|PQ|有最小值=7. 综上,|MN|+|PQ|的最小值是.
