《2019届高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第3节 椭 圆 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第3节 椭 圆 （12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 3 节 椭 圆 【选题明细表】 知识点、方法题号 椭圆的定义与标准方程 1,3,6,7,10 椭圆的几何性质 2,4,5,8 椭圆定义、标准方程及几何性质的综合应用 9,11,12,13,14 基础巩固(时间:30 分钟) 1.(2017泉州质检)已知椭圆+=1 的长轴在 x 轴上,焦距为 4,则 m 等于( A ) (A)8(B)7(C)6(D)5 解析:因为椭圆+=1 的长轴在 x 轴上, 所以解得 6b0), 由球筒的轴截面图形得椭圆的长轴长为 AD=AC+CD=AF+EA=EF=20-4, 短轴长为球筒的直径 4,所以 解得 a=8,b=2,所以 c=2,所以该椭圆的离心率为 e=
2、 .故选 B. 5.若点 O 和点 F 分别为椭圆+=1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上 的任意一点,则的最大值为( C ) (A)2(B)3(C)6(D)8 解析:由椭圆+=1,可得点 F(-1,0),点 O(0,0), 设 P(x,y),-2x2, 则=(x,y)(x+1,y)=x2+x+y2=x2+x+3(1-)=x2+x+3= (x+2)2+2, 当且仅当 x=2 时,取得最大值 6.故选 C. 6.(2017宁夏中卫市二模)椭圆 C:+=1(ab0)上的任意一点 M 到两个焦点的距离和是 4,椭圆的焦距是 2,则椭圆 C 的标准方程是 . 解析:椭圆 C:+=1(ab0)上的任意一
3、点 M 到两个焦点的距离和是 4,焦距是 2,则有 2a=4,2c=2, 即 a=2,c=1,所以 b2=a2-c2=3, 椭圆的标准方程为+=1. 答案:+=1 7.(2017西安市一模)已知ABC 的顶点 A(-3,0)和顶点 B(3,0),顶 点 C 在椭圆+=1 上,则= . 解析:由椭圆+=1 知 长轴长 2a=10,短轴长 2b=8, 焦距 2c=6,则顶点 A,B 为椭圆的两个焦点.如图 ABC 中,|AB|=6,|BC|+|AC|=10,由正弦定理可知=2R, 所以=,即=, 则=3. 答案:3 能力提升(时间:15 分钟) 8.(2017怀化市四模)“神舟”五号飞船成功完成了
4、第一次载人航 天飞行,实现了中国人民的航天梦想,某段时间飞船在太空中运行的 轨道是一个椭圆,地球在椭圆的一个焦点上,如图所示,假设航天员到 地球的最近距离为 d1,到地球的最远距离为 d2,地球的半径为 R,我们 想象存在一个镜像地球,其中心在“神舟”飞船运行轨道的另外一个 焦点上,若在此焦点上发射某种信号,需要飞行中的航天员中转后地 球人才能接收到,则信号传导到地球人的最短距离为( D ) (A)d1+d2+R(B)d2-d1+2R (C)d2+d1-2R(D)d1+d2 解析:设椭圆的方程为+=1(ab0),半焦距为 c, 两焦点分别为 F1,F2,运行中的航天员为 P, 由已知得则 2a
5、=d1+d2+2R, 最短距离为|PF1|+|PF2|-2R=2a-2R=d1+d2.故选 D. 9.(2017广州一模)已知 F1,F2分别是椭圆 C:+=1(ab0)的左、 右焦点,椭圆 C 上存在点 P 使F1PF2为钝角,则椭圆 C 的离心率的取 值范围是( A ) (A)(,1)(B)(,1) (C)(0,)(D)(0,) 解析:法一 设 P(x0,y0),则|x0| + 有解, 即 c2( + )min. 当( + )最小时|PO|=最小,此时点 P 为短轴端点,所以( + ) min=b2, 所以 c2b2,c2a2-c2,所以,即 e. 又 0cos 45=,结合 e0,则椭圆
6、的离心率的取值范围为 . 解析:如图所示,线段 FA 的垂直平分线为 x=, 线段 AB 的中点(,). 因为 kAB=-b,所以线段 AB 的垂直平分线的斜率 k=, 所以线段 AB 的垂直平分线方程为 y-= (x-). 把 x=p 代入上述方程可得 y=q. 因为 p+q0,所以+0, 化为 b. 又 0b0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为.直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)当AMN 的面积为时,求 k 的值. 解:(1)由题意得解得 b=, 所以椭圆 C 的方程为+=1. (2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-
7、4=0. 设点 M, N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1), x1+x2=,x1x2=, 所以|MN|= = =. 又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d=,所以AMN 的面 积为 S=|MN|d=, 由=, 解得 k=1. 13.(2017深圳市一模)已知椭圆 C:+=1(ab0)的左右顶点分别 为 A1,A2,上下顶点分别为 B2,B1,左右焦点分别为 F1,F2,其中长轴长 为 4,且圆 O:x2+y2=为菱形 A1B1A2B2的内切圆. (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 N(n,0)为 x 轴正半轴上一点
8、,过点 N 作椭圆 C 的切线 l,记右焦 点 F2在 l 上的射影为 H,若F1HN 的面积不小于n2,求 n 的取值范 围. 解: (1)由题意知 2a=4,所以 a=2, 所以 A1(-2,0),A2(2,0), 因为 B1(0,-b),B2(0,b), 所以直线 A2B2的方程为+=1,即 bx+2y-2b=0, 所以=,解得 b2=3, 故椭圆 C 的方程为+=1. (2)由题意,可设直线 l 的方程为 x=my+n,m0, 联立 消去 x 得(3m2+4)y2+6mny+3(n2-4)=0. 由直线 l 与椭圆 C 相切,得 =(6mn)2-43(3m2+4)(n2-4) =0,
9、化简得 3m2-n2+4=0.(*) 设点 H(mt+n,t),由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0), 则 =-1, 解得 t=-, 所以F1HN 的面积 = (n+1) -=, 把*式代入,消去 n 化简得=|m|, 所以|m|n2=(3m2+4), 解得|m|2, 即m24, 从而4,又 n0, 所以n4, 故 n 的取值范围为,4. 14.(2017淮北市一模)已知椭圆 C1:+=1(ab0)的离心率 e=, 且过点(2,),直线 l1:y=kx+m(m0)与圆 C2:(x-1)2+y2=1 相切且与椭 圆 C1交于 A,B 两点. (1)求椭圆 C1的方程; (2)过原点 O 作 l1的平行线 l2交椭圆于 C,D 两点,设|AB|=|CD|, 求 的最小值. 解:(1)由题意得 结合 a2=b2+c2, 解得 a=4,b=2, 故椭圆 C1的标准方程为+=1. (2)联立 得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-4)=0, 0 恒成立, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则得|x1-x2|=, 所以|AB|=, 把 l2:y=kx 代入 C1:+=1,得 x3,4=, 所以|CD|=|x3-x4|=, 所以 =, 又直线 l1与圆 C2相切, 所以 d=1,平方化为 k=. 所以 =, 当 m=,k=-时, 取最小值.
