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1、,北京大学遥感所,1,第五章 图像卷积,北京大学遥感所,2, 卷积定理 卷积运算的性质 卷积的应用 典型函数的傅立叶变换 离散余弦变换,5.1卷积定理,北京大学遥感所,3, 卷积定理的意义 Q 卷积分 Q 卷积的几何意义 Q 卷积的物理意义 卷积定理 Q 一维卷积定理 Q 二维卷积定理 Q 卷积定理的特例相关定理,5.1.1.1卷积分,北京大学遥感所,4,离散形,两个函数 f (x)和 g(x)的卷积记做 f (x)*g(x) 卷积公式,f (a)g(x a)da,f ( x) g ( x) ,M 1,m 0,M,f ( x) g ( x) 1 f (m ) g ( x m ),5.1.1.2
2、卷积的几何意义,f(),g(x1-),f(),f(),1,0,-x1,(a),(b),(c),(d),(e),(f),(g),g(-),g(-x1-),g(2x1-),g(3x1-) ,g(4x1-),x1 2x1 3x14x1 5x1 2,f (x)* g(x),1/ 2,g(5x1-),北京大学遥感所,5,5.1.1.3卷积的物理意义,北京大学遥感所,6,线性系统 线性（linearity) 对同时作用的几个激励（输入）的响应（输出），恒等于每个激励单独 引起的响应之和，这种现象称为线性。 设对某个特定系统，输入x1(t)经系统后输出y1(t)即： x1(t)y1(t) 而对另一输入x2(
3、t)输出为y2(t)即： x2(t)y2(t) 则系统的线性性质可以表示为下式： x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t),5.1.1.3卷积的物理意义,h(t) H(u),线性系统 图示: 输入 f（t） 信号 F,北京大学遥感所,7,g（t） 输出 G（u） 信号,传递函数、冲击响应,（u） g(t) f (x)* h(x),线性系统,G(u) F (u)H (u),5.1.1.3卷积的物理意义,北京大学遥感所,8,空间不变的线性系统 假设对某线性系统，有： f(x，y) g(x，y) 空间位置由x，y变到了m，n的位置处，则有下式成立： f(x-m，y-n)g(x - m， y -
4、n) 即输出函数的形状不变，仅仅引起输出函数位置相对应的移动，则该系 统称为空间不变的线性系统。,5.1.1.3卷积的物理意义,北京大学遥感所,9, , ,g(x2 , y2 ) f ( ,) (x1 , y1 )dd,光学成像系统就是这样的一个空间不变的线性系统。等晕系统 线性系统的叠加性使我们有可能把一个复杂激励的响应用最简单的脉冲 函数来表示。 f (x, y) f ( ,) (x , y )dd f (x1 , y1 ) f ( , ) ( x1 , y1 )dd ,5.1.1.3卷积的物理意义,北京大学遥感所,10, f ( ,)h(x2 , y2 )dd,g(x2 , y2 ),h
5、(x2 , y2 ) (x1 , y1 ) , h(x2 , y2 ) 称为系统的冲击响应、脉冲响应，在光学成像系统中 称为系统的点扩散函数,由于 f ( ,) 是加在基元函数 (x1 , y1 ) 上的权重因子所以， g(x2 , y2 ) f ( , ) ( x1 , y1 )dd 如果用符号 h(x2 , y2 ) 表示系统在输出平面上的 ( x 2 , y 2 ) 对输入平面上 函数的响应，则有：,5.1.1.4卷积定理,北京大学遥感所,11,一维卷积 时域表示,y t h t * x t x h t d,频域表示 Y s H s X s,5.1.1.4卷积定理,北京大学遥感所,12,
6、f（x） g(x) F（u） G(u),卷积定理,频域卷积定理,f（x） g(x) F（u） G(u),5.1.1.4卷积定理,北京大学遥感所,13,二维卷积的表达式：, ,h(x, y) f g f (u, v)g(x u, y v)dudv,5.1.1.5卷积定理的特例相关定理,相关用,表示，定义如下:,描述的是两个函数图形的相似程度， 当完全相同时，相关函数就会出现 一个相关峰值。,f (x） g(x),f (x） g(x) f (a)g(x a)da,北京大学遥感所,14,5.1.1.5卷积定理的特例相关定理,北京大学遥感所,15,相关定理： f (x） g(x) F (u)G(u)
7、f (x） g(x) F * (u)G(u),5.2卷积运算的性质,北京大学遥感所,16,交换性 加法的分配律 结合律 卷积的平滑性质 卷积的扩散性质,5.2卷积运算的性质,北京大学遥感所,17,交换性,加法的分配律,结合律,f g g f f g f (t xg(xdx g f,f (g h) f g f h,f (g h) ( f g) h,5.2卷积运算的性质,北京大学遥感所,18,平滑性质 是指两个函数卷积的结果使得每个函数的精细结构都 会被平滑，一些尖峰和峡谷都趋于圆滑； 扩散性质 指的是卷积结果的区间扩大性：两个只在有限区间有 定义的函数之卷积，卷积结果的区间线度等于两个函数区 间
8、线度之和。若结果表示光能量分布的话，分布范围的增 加就意味着能量分布的扩散。,5.3卷积的应用,北京大学遥感所,19, 去卷积 我们可以用一个卷积去除另一个卷积影响的技术叫作去卷 积。即去除不需要的，但已对图像施加了的线性系统的影 响。一个实例即利用卷积恢复由于透镜系统或运动所造成 的模糊，这两种影响都认为是由线性系统带来的。 去除噪声 即去掉线性叠加在图像上的噪声信号。 特征增强 以消弱景物中的其它为代价来增强指定特征（如边、点） 的对比度。,5.4典型函数的傅立叶变换,北京大学遥感所,20,函数 矩形函数 三角函数 抽样函数,5.4.1 函数,函数,是重要的数学分析工具。可 以表示冲击量、
9、点光源、点 电荷等。用来对任一个复杂 物函数进行“脉冲分割”将 其分解成点基元的线性组 合。,北京大学遥感所,21,(x),5.4.1 函数,北京大学遥感所,22, 0, (x) lim (x), 0, (x) lim (x),1,1, 2, x 0 other, (x) ,性质： 筛选性：, (x) (x a)dx (a) ,对任意连续函数（x）,有 (x) (x)dx (0) ,或,5.4.1 函数,傅立叶变换为1 F(u),北京大学遥感所,23,u 全频域范围内变换，因此，控制域内分析采 用此冲击信号，可得到物体各频率的变化,5.4.2矩形函数,定义,rect(x),1 2 1 2 1
10、2,1 x ,0 x 1,rect(x) 2 x ,x,傅立叶变换: sin c( ),北京大学遥感所,24,5.4.3三角函数,0,1,1,定义, 0,1 x x 1,x 1,(x) ,傅立叶变换 sin c2 ( ),北京大学遥感所,25,5.4.3抽样函数,.,.,s(x),1/ u x,1/ u,0,.,.,S(u),u u,0, comb(x) (x n) n,comb( ),北京大学遥感所,26,5.5离散余弦变换,北京大学遥感所,27,离散余弦变换(Discrete cosine Transform)简称DCT 任何连续的实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项，因此 余弦变换与傅里叶
11、变换一样有明确 的物理量意义。DCT是 先将整体图像分成NN像素块，然后对NN像素块逐一 进行DCT变换。 实对称 f(x)=f(-x)，所以有,f (x)e j 2uxdx,F (u) , ,f (x) cos(2ux)dx j f (x) sin(2ux)dx f (x) cos(2ux)dx, ,5.5离散余弦变换,存在如下变换对,f (x) Re(u) f (x) cos(2ux)dx,N1,N1 N1,N1 N1,N1 N1,0,0,对图像进行 褶翻操作 产生对称场,北京大学遥感所,28,N1,0,0,5.5离散余弦变换, 二维正变换：, , cos,N 1 N 1,x0 y 0,2N,2N, (2 y 1)v , (2x 1)u ,Gc (u, v) (u) (v) f (x, y) cos, , cos,N 1 N 1,u 0 v0,2N,2N, (2 y 1)v , (2x 1)u ,g(x, y) (u) (v)Gc (u, v) cos,u, v N ,.,1,0,1,., N 1 二维反变换：,1 N,其中 (0) ,N,北京大学遥感所,29,2, (u) , 1 u N,作业,北京大学遥感所,30,上机观察不同图像傅立叶变换的频谱图 特点，加深理解。,31 北京大学遥感所,本章结束,下次课见 ,
