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1、,椭圆,定义与标准方程,生活中的椭圆,罐车的横截面,数 学 实 验,1取一条细绳， 2把它的两端固定在板上的两点F1、F2 3用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形 椭圆动画.gsp,F1,F2,M,观察做图过程：1绳长应当大于F1、F2之间的距离。2由于绳长固定，所以 M 到两个定点的距离和也固定。,椭圆的定义,1）平面上到两个定点的距离的和（2a）等于定长（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 2）定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 3）两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距（2c）。,椭圆定义的文字表述：,椭圆定义的符号表述：,总结：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？,1平面
2、上-这是大前提 2动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数 2a 3常数 2a 要大于焦距 2C,1.平面内与两定点的距离的和等于2a（大于|F1F2 |,即ac)的点的轨迹是什么？,2. 2a小于|F1F2 |，即ac,则点的轨迹是什么？,椭圆,轨迹不存在,3. 2a等于|F1F2 |，即a=c，则点的轨迹是什么？,线段F1F2,二椭圆方程推导的准备,1建系 2列等式 3等式坐标化 4化简 5证明检验,椭圆的标准方程,如图建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且点O与线段F1F2的中点重合。,设M（x，y）是椭圆上任意一点， 椭圆的焦距为2c（c0），,那么，焦点 F1、
3、F2的坐标分别是（-c，0）、（c，0）。,又设M与F1、F2的距离的和等于常数2a。,由椭圆的定义，椭圆就是集合,因为,所以得,将这个方程移项后两边平方，得,整理得,椭圆的标准方程,注意：等式中带两个或多个根号的时候的去根号， 使等式一侧只有一个根式，然后平方。,椭圆的标准方程,上式两边再平方，得,整理得,由椭圆的定义可知，,2a2c,即ac,所以,令,其中,代入上式，得,两边同除以,，得,这个方程叫做椭圆的标准方程。,它所表示的椭圆的焦点在x轴上，,焦点是F1（-c，0）、F2（c，0），,这里,椭圆的标准方程2,如果使点F1 、F2在y轴上，点F1 、F2的坐标分别为F1（0，-c）、F
4、2（0，c）， a、b的意义同上，那么使得方程变为,这个方程也是椭圆的标准方程 实际上图2相当于先将图1中的x轴，y轴交换，再将x轴改变方向，因此，只要将方程1中的x，y互换，就可以得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程。,二椭圆的标准方程1,它表示： 1椭圆的焦点在x轴 2焦点是F1（-C，0）、F2（C，0） 3C2= a2 - b2,二椭圆的标准方程2,它表示：1椭圆的焦点在y轴 2焦点是F1（0，-C）、 F2（0，C） 3C2= a2 - b2,F1,F2,M,0,x,y,练习：判定下列椭圆的焦点在？轴，指明a2、b2，并写出焦点坐标。,答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0）,答：在 y
5、 轴。（0，-5）和（0，5）,答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。,将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标,在上述方程中，A、B、C满足什么条件，就表示椭圆？ 答： A、B、C同号，且A不等于B。,4求一个椭圆的标准方程需求几个量？,1 椭圆的标准方程有几个？,2给出椭圆标准方程，怎样判断焦点在哪个轴上,答：A、B、C同号时，且A不等于B。,小结,答：两个。焦点分别在 x 轴、y 轴。,答：在分母大的那个轴上。,答：两个。a、 b或a、c或b、c,例题一,求适合下列条件的椭圆的标准方程：,（1）两个焦点
6、的坐标分别是（-4，0）、（4，0），,椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；,解（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以 设它的标准方程是,由题意可知2a=10，2c=8，,所以a=5，c=4,所以所求的椭圆的标准方程为,例题一,（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2）， 并且椭圆经过点（- , ）。,解：因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为,由椭圆的定义知，,又,所以所求椭圆的标准方程为,例题二,题目：已知B、C是两个定点 =6，且 的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。,分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的 轨迹方程，要建立适当的坐标系，为选择 适当的坐标系，常常需要画出
7、草图。,在图中，由 的周长等于16， =6可知， 点A到B、C两点的距离的和是常数，,即,因此点,A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆， 据此可建立坐标系并画出草图。,例题二,.,解:如图，建立坐标系， 使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合。,由已知|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6,有|AB|+|AC|=10,即点A的轨迹是椭圆，且2c=6,2a=16-6=10,c=3,a=5,例题二,求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线上的的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件。,但当点A在直线BC上，即y=0时， A、B、C三点不能构成三角形，所以 点A
8、的轨迹方程是,例题三,如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，,从这个圆上任意一点P向x轴做垂线段,求线段 中点M的轨迹。,解：设点M的坐标为（x，y）， 点p的坐标为（ ， ）,则x=,y=,例题三,因为 在圆 上，所以 （1）,将 ，代入方程(1)，得,即,所以点M的轨迹是一个椭圆。,例题三,本题所求点M（x，y）的轨迹方程时，不是直接建立关于x，y之间的关系，而是先寻找x、y与中间变量 , 之间的关系，利用已知关于 , 之间关系的方程，得到关于x，y之间关系的方程，这种利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法。,练习一,1，平面内两个定点的距离等于8，一个动点M到这两个
9、定点的距离和等于10，建立适当坐标系，写出动点M的轨迹方程。,答案：,练习一,如图建立这样的坐标系，则M点的轨迹方程就是,练习二,椭圆 上一点p到焦点F1 的 距离等于6，则P点到另一个焦点的F2 的距离是 多少？,答案：a=10, PF2 = 2a-PF1 =20-6=14,练习三,写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）a=4，b=1，焦点在x轴上。 （2）a=4，c= ，焦点在y轴上。 （3）a+b=10，c=,练习三,（1）答案：,（2）答案：,（3）答案：,练习四,的两个顶点A，B的坐标分别是（- 6，0）、（6，0），边AC、BC所在的直线的斜 率之积等于 ，求顶点C的轨迹方程。,答案：,练习四,解：设点C的坐标是（x，y）,设AC的斜率为K1，BC的斜率为K2，,化简得:,又，C点不能在x轴上，否则A、B、C 不成三角形。,故所求点C的轨迹方程是,练习五,一束光线垂直于一个墙面。将一块圆形纸板置于光源与墙面之间，墙面上会出现纸板的影子，变化纸板与光线的角度，影子也会发生变化。观察这些影子会出现哪些不同的形状。,答案：圆，椭圆，线段,
