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1、第三讲 层合板的刚度与强度,层合板,层合板是指由两层或两层以上的单层板粘合在一起成为整体的结构元件 层合板可以由不同材质的单层板构成，也可以由不同纤维铺设方向上相同材质的各向异性单层板构成。,主要内容,层合板的表示方法 经典层合板理论 单层板的刚度 层合板的刚度分析 层合板的强度分析,层合板的几何标志,层合板的表示方法,03/902/45/-453S,层合板的表示方法,一般层合板 0/45/90/-45/0 对称层合板 偶数层 0/90S 奇数层 0/45/90S 具有连续重复铺层 02/90S 具有连续正负铺层 0/45/90 有多个子层合板构成的层合板 0/902 织物构成的层合板 (45
2、)/(0,90) 混杂纤维层合板 0C/45K/90G 夹层板 0/90/C5S,层合板分类-按单层板相对于中面的位置,对称层合板： 铺设角相同 材料相同 非对称层合板 反对称层合板 一般层合板 夹芯层合板,经典层合板理论,经典层合板理论的基本假设 层合板的应力和应变关系 层合板的合力及合力矩,层合板的限制条件,层合板为薄板 层合板各单层粘接良好，变形连续 整个层合板等厚度,经典层合板的基本假设,直法线假设： 等法线假设： 平面应力假设： 忽略正应力假设：,经典层合板理论,由N层任意铺设的单层板构成 取XOY坐标面与中面重合 板厚为t,经典层合板理论,板中任意一点的位移分量 和 可表达为：,经
3、典层合板理论,由直法线和等法线假设 ：,经典层合板理论,将上面三式分别对 积分得到： 式中的 表示中面的位移分量，并且只是坐标 的函数，其中 为挠度函数,经典层合板理论,将上面得到的表达式代入几何方程得到：,经典层合板理论,上式可以用矩阵形式来表达： 等号右边第一项表示层合板中面应变 等号右边第二项表示层合板中面曲率,经典层合板理论,中面的应变为：,中面的曲率为： 其中 为中面扭曲率,经典层合板理论,第 层应力为： 虽然沿层合板厚度的应变是线性变化的，但由于层合板每层的 可以不同，故应力变化一般不是线性的,经典层合板理论,经典层合板理论-层合板的合力,层合板上的合力 及合力矩 （都是指单位长度
4、上的力或力矩）,经典层合板理论,合力及合力矩的定义式为：,经典层合板理论,上式中的 可由下图确定：,经典层合板理论,由于每个单层的刚度矩阵在单层内不变，因此可以从每一层的积分号中提出：,经典层合板理论,注意到 和 不是 的函数，而是中面值，因此可以从求和记号中移出得到：,经典层合板理论,式中： 其中 为第 层的厚度， 是第 层中心的坐标值,经典层合板理论,上式中的 依次称为拉伸刚度，耦合刚度及弯曲刚度 由于耦合刚度 的存在，层合板面内内力会引起弯曲变形（弯曲和扭曲），而弯曲内力（弯矩和扭矩）会引起面内变形，此现象被称为拉弯耦合效应,经典层合板理论,层合板的合力及合力矩可用块矩阵表达： 式中的
5、为层合板的中面应变列阵， 为曲率列阵。上式即为用应变表示内力的一般层合板的物理方程,经典层合板理论,对层合板的物理方程进行矩阵运算得到： 式中：,经典层合板理论,上式中的子矩阵 分别称为面内柔度矩阵，耦合柔度矩阵和弯曲柔度矩阵。矩阵 与矩阵 是相互转置的，但未必对称 一般层合板的物理关系很复杂，这是由于耦合刚度阵 的存在所产生的耦合效应引起，即拉弯耦合，此外，由于 的存在产生拉剪耦合，由于 的存在产生弯扭耦合,2. 单层板的刚度,各向同性单层板 特殊正交各向异性单层板 一般正交各向异性单层板,单层板的刚度,（1）各向同性单层板 各向同性材料有两个独立的弹性常数，各方向的弹性性质相同。设弹性模量
6、和泊松比分别为： 根据折减刚度 矩阵计算公式,单层板的刚度,将弹性模量和泊松比代入上式中可得： 设板厚为 ，代入下式：,单层板的刚度,得：,单层板的刚度,可得各向同性单层板的内力-应变关系： 显然，各向同性单层板无拉弯耦合效应,单层板的刚度,（2）特殊正交各向异性单层板 这种材料的自然坐标轴与材料主向一致，折减刚度矩阵中元素的计算结果为：,单层板的刚度,计算拉伸刚度，耦合刚度及弯曲刚度得：,单层板的刚度,内力-应变关系为： 这种单层板也无拉弯耦合，但独立的拉伸刚度和弯曲刚度都各增加到4个,单层板的刚度,（3）一般正交各向异性单层板 这种单层板的材料主向与自然坐标轴不一致，拉伸刚度，耦合刚度及弯
7、曲刚度为：,单层板的刚度,因此内力-应变关系为： 这种单层板也不发生拉弯耦合，但是发生拉剪耦合和弯扭耦合。虽然刚度矩阵是满秩的，但独立的拉伸刚度和弯曲刚度都仍然是4个,3. 层合板的刚度分析,对称层合板 反对称层合板 不对称层合板 双向铺设层合板,对称层合板的刚度分析,在几何和材料性能上都对称于中面的层合板称为对称层合板 这种层合板的 及 具有对称性。而耦合刚度 的计算公式为： 因此对于对称层合板，耦合刚度矩阵为零,对称层合板的刚度分析,由于耦合刚度矩阵为零，可知对称层合板的合力及合力矩为：,对称层合板的刚度分析,（1）各向同性层组成的对称层合板 这种层合板的特点是板面内方向具有相同的力学性质
8、，当然不会发生拉剪耦合及弯扭耦合 这种层合板对应的内力-应变关系为：,对称层合板的刚度分析,（2）特殊正交各向异性层组成的对称层合板 这种层合板由材料主向与坐标轴一致的正交各向异性单层板组成 这种层合板可以消除 及 等刚度。这样如果单层板的厚度，位置及其材料对称于层合板的中面，则弯曲与拉伸之间无耦合效应,对称层合板的刚度分析,这种层合板的第 层的刚度系数为： 将刚度系数代入 与 的计算公式，可知 与 等刚度为零,对称层合板的刚度分析,这类特殊正交各向异性层合板可以整体地视为特殊正交异性单层板。它的合力及合力矩表达式为：,对称层合板的刚度分析,（3）角铺设对称层合板 这种层合板是由等厚且材料性能
9、相同的奇数层单层板与坐标轴交替成 角对称铺设而成 由于这种层合板对称于中面排列，故不存在拉弯耦合效应。但是 都存在，即存在拉剪耦合与弯扭耦合,对称层合板的刚度分析,角铺设对称层合板的内力-应变关系为：,反对称层合板的刚度分析,反对称层合板是由偶数层的单层一层一层交错定向而成，例如 。这种层合板存在拉弯耦合效应，即： 因为 即反对称层合板不存在拉剪耦合及弯扭耦合,反对称层合板的刚度分析,反对称层合板合力及合力矩的表达式：,反对称层合板的刚度分析,（1）反对称正交铺设层合板 这种层合板是由材料主向与层合板坐标轴相互交错 和 布置的偶数层正交各向异性单层板组成的，典型反对称层合板的例子可见下页表格,
10、反对称层合板的刚度分析,反对称层合板的刚度分析,计算拉伸刚度和弯曲刚度得到： 同理可得：,反对称层合板的刚度分析,计算耦合刚度得到：,反对称层合板的刚度分析,对于反对称正交铺设层合板，结论 ， 以及 具有普遍性。考虑到这种层合板没有 和 。因此它的合力及合力矩表达式为：,反对称层合板的刚度分析,（2）反对称角铺设层合板 这种层合板是由在中面一侧与层合板坐标轴成 和在另一侧与坐标轴方向成 的相应等厚度层所组成,反对称层合板的刚度分析,由于 是关于 的奇函数，显然有 ，同理得到 因为： 而且 及 是关于 的偶函数，所以得到：,反对称层合板的刚度分析,结合以上条件，得到反对称角铺设层合板的合力及合力
11、矩表达式为：,不对称层合板的刚度分析,（1）特殊正交各向异性层组成的层合板 特殊正交各向异性层组成的层合板有： 因此： 所以这种层合板有拉弯耦合效应，但没有拉剪耦合 以及弯扭耦合,不对称层合板的刚度分析,这种层合板的合力及合力矩的表达式为：,不对称层合板的刚度分析,（2）一般正交各向异性层组成的层合板 这种层合板各单层的排列没有什么规律可言，所以全部的刚度都出现，既存在拉弯耦合又存在拉剪耦合和弯扭耦合 合力及合 力矩的表 达式为：,双向铺设层合板的刚度分析,双向铺设层合板 是指层合板的各 层铺设同种，同 样数量的双向纤 维，它们与层合 板的 轴成 及 角。,双向铺设层合板的刚度分析,因为 及
12、是 的奇函数，因此各单层有： 由于 不全为零，故双向铺设层合板存在拉弯耦合，由于 ，所以这种层合板没有拉剪耦合与弯扭耦合,双向铺设层合板的刚度分析,双向铺设层合板的合力及合力矩表达式为：,层合板的刚度分析,层合板的刚度分析,层合板的强度分析,层合板的强度分析分为两类： （1）确定层合板所能承受的最大载荷 （2）设计承受给定载荷所必须的层合板特性 以单层板的强度分析作为基础，并把单层板的强度作为已知因素 与金属材料不同，某一单层的破坏未必导致整块层合板的破坏，有时层合板还可以承担更大的载荷，仅是层合板的刚度下降了，从而造成载荷-变形曲线上出现拐点,层合板的强度分析,层合板载荷-变形曲线上的拐点：
13、,层合板的强度分析,（1）层合板各层的应力应变分析,层合板的强度分析,由于层合板只受到面内拉力的作用，所以这是无矩层合板强度问题，此层合板的内力-应变关系为： 或写成： 式中的 可以用柔度矩阵 来表示,层合板的强度分析,当 时，上式变为： 也可以写成：,层合板的强度分析,将应变表达代入下式 得到层合板中每一单层的应力： 将各单层的应力代入强度准则，可确定任何单层不破坏时的 最大值,层合板的强度分析,（2）层合板强度分析实例 例：如下图所示的三层正交层合板，里层的厚度是外层的10倍，承受面内拉力 作用：,层合板的强度分析,构成层合板的材料是玻璃/环氧，其性能为： 层合板的总厚度为 ，要求确定 的
14、极限值,层合板的强度分析,第一步：初始层合板的性能 （1）单层板的折减刚度 ： 根据上式可以求得材料的各主向刚度,层合板的强度分析,由于本例是正交铺设层合板，可以直接判断出在自然坐标下的转换折算刚度系数 本例的计算结果为：,层合板的强度分析,（2）层合板的拉伸刚度矩阵 根据下式： 可以求得拉伸刚度矩阵：,层合板的强度分析,（3）层合板拉伸刚度矩阵的逆阵 ，即 对拉伸刚度矩阵求逆得到：,层合板的强度分析,（4）层合板的应变矩阵 根据下式： 可以求得应变列阵：,层合板的强度分析,（5）各单层板的应力 根据公式： 可以求得层合板外，内层的应力： 这些也是外，内层材料的主向应力,层合板的强度分析,第二
15、步：内外层的破坏载荷 将各层应力代入Tsai-Hill破坏准则，分别计算出各单层破坏时的载荷 ，其中最小的 值对应的单层板就是首先破坏的单层 本例中内，外层的 ，且材料主向与自然坐标轴一致，故Tsai-Hill准则简化为：,层合板的强度分析,将第一步中得到的各单层板的应力值代入破坏判别式中，可以得到求破坏载荷 的方程式，可以从方程中解出 本例中外层： 内层： 通过比较可断定内层首先发生破坏，破坏载荷为： （下标1表示层合板的第一次降级）,层合板的强度分析,将破坏载荷代入各单层板材料主向应力表达式得到第一次降级时各单层内的应力： 从结果中可以看出 十分接近横向拉伸强度 ，故断定内层的破坏是横向拉伸破坏（注意到内层的 方向是垂直于纤维方向的）,层合板的强度分析,将第一次降级时的破坏载荷代入下式： 得到层合板第一
