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1、2.8 正逆运动学求解基础知识,坐标变换的最终目的是确定机器人各杆件之间的相互位置关系，通过关节角的值计算末端操作器在空间位置（正运动学）或预算出末端操作器在要求位置的关节角（逆运动学）。,主要包括以下内容： 1) 相对杆件的坐标系的确定； 2) 建立各连杆的模型矩阵A； 3) 正运动学算法； 4) 逆运动学算法。,在机器人中，通常有两类关节：转动关节和移动关节。不同于人类的关节，一般机器人关节为一个自由度的关节，其目的是为了简化力学、运动学和机器人的控制。转动关节提供了一个转动自由度，移动关节提供一个移动自由度，各关节间是以固定杆件相连接的。 旋转关节有两种基本形式：铰链和两杆的相对转动。,
2、关 节,杆 件,机器人杆件是连接两个关节的固定物体（机械）。机器人杆件的主要目的是用来保持该关节与各相关末端关节一个固定的关系。机器人末端杆件只有一个关节，位于最接近末端（或机座）的位置。在最远离机座的末端，通常是附加一个手爪。为了更容易、清楚地解释一个机器人的末端和其各关节点的关系，课程中只以有限的杆件数作为研究讨论对象。实际上，为了使得机器人更容易制造，类似的限制在机器人制造中也使用。,下面给出了八种类型的常见杆件构形：,1) 两个平行的转动关节且在两轴间没有扭转；连杆参数ln连杆的长度；如果连杆的中心线被认作x方向并且从关节n-1到关节n沿xn-1方向有一定距离，整个杆件可以绕关节n-1
3、转动n角，该角认为是两连杆夹角并且这个角就是一般转动关节的变量；同时关节轴被认为是z方向并且绕zn-1转动；y轴由右手定则确定。,坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定(转轴轴线) (2) Xn-1：垂直两连杆公垂线xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：根据右手定则确定 二、参数确定 (1) 连杆长度ln：zn-1 zn沿xn-1的距离； (2) 两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕xn的转角； (3) dn：两连杆间偏置：xn-1 xn沿zn-1距离，0； (4) n：两连杆间角度，Xn-1 Xn绕zn-1的转角， 变量。,2) 两个转动关节在空间形成两轴
4、间90的扭转；连杆参数ln连杆的长度；如果连杆的中心线被认作x方向并且从关节n-1到关节n沿xn-1方向有一定距离，整个杆件可以绕关节n-1转动n角，该角认为是两连杆夹角，这个角就是一般转动关节的变量；同时关节轴被认为是z方向并且 绕zn-1转动；y轴由右手定则确定。,坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定(转轴轴线) (2) Xn-1：xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：根据右手定则确定 二、参数确定 (1) 连杆长度ln：zn-1 zn沿xn-1的距离； (2) 两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕xn的转角， 90； (3) dn ：两连杆间偏置：x
5、n-1 xn沿zn-1距离， 0； (4) n：两连杆间角度，Xn-1 Xn绕Zn-1的转角，变量。,3) 两个转动关节相互交叉垂直轴；两个关节转动轴相交，连杆参数ln=0；关节轴被认为是z方向；x方向由两个z轴确定，y方向由右手定则确定；dn为偏移值。,坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定(转轴轴线、柱轴方向线) (2) Xn-1：xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：根据右手定则确定 二、参数确定 (1) 连杆长度ln：zn-1 zn沿xn-1的距离，两轴相交为0； (2) 两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕xn的转角，-90 ； (3) dn ：两
6、连杆间偏置：xn-1 xn沿zn-1距离，dn； (4) n：连杆绕zn-1的转角，变量。,4) 两个转动关节相互垂直并且重合；连杆参数ln=0；关节轴被认为是z方向；x方向由两个z轴确定， y方向由右手定则；dn为偏移值。原点由n-1坐标系决定,坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定(转轴轴线、柱轴方向线) (2) Xn-1、：xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：根据右手定则确定 二、参数确定 (1) 连杆长度ln：zn-1 zn沿xn-1的距离，两轴相交0； (2) 两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕xn的转角，90 ； (3) dn ：两连杆间距离
7、：xn-1 xn沿zn-1移动距离，0； (4) n：连杆绕zn-1的转角，变量。,5) 两个移动柱关节相互垂直并相交；连杆参数ln=0；关节轴线方向是z向；x向由z轴确定， y方向由右手定则确定；dn 与dn+1为柱关节变量。,坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定(转轴轴线、柱轴方向线) (2) Xn-1、：xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：根据右手定则确定 二、参数确定 (1) 连杆长度ln：zn-1 zn沿xn-1的距离，两轴相交0； (2) 两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕xn的转角，-90 ； (3) dn ：移动关节移动变量； (4)
8、n：移动关节转角为0。,6) 一个转动关节和一个移动柱关节相互垂直并相交；连杆参数ln=0；转动关节轴线方向和移动关节移动方向是z向；x方向由z轴确定，y方向由右手定则确定；n为转动关节变量、dn+1为移动关节变量。,坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定(转轴轴线、柱轴方向线) (2) Xn-1、：xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：根据右手定则确定 二、参数确定 (1) 连杆长度ln：zn-1 zn沿xn-1的距离，两轴相交0； (2) 两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕xn的转角，-90 ； (3) dn+1 ：移动关节移动变量，dn=偏置量； (
9、4) n：转动关节变量。,7) 一个移动柱关节和一个转动关节相互平行；连杆参数ln=偏置量；关节轴线方向是z向；x方向由z轴确定， y方向由右手定则；转动和移动关节变量为 n和dn+1。,坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定(转轴轴线、柱轴方向线) (2) Xn-1、：xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：根据右手定则确定 二、参数确定 (1) 连杆长度ln：zn-1 zn沿xn-1的距离； (2) 两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕xn的转角，0 ； (3) dn+1 ：移动关节移动变量； (4) n：转动关节变量。,8) 一个移动柱关节和一个转动关节
10、相互垂直；连杆参数ln=0；关节轴线方向是z向；x向由z轴确定，y方向由右手定则；dn为偏移值。,坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定(转轴轴线、柱轴方向线) (2) Xn-1、：xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：根据右手定则确定 二、参数确定 (1) 连杆长度ln：zn-1 zn沿xn-1的距离，两轴相交0； (2) 两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕xn的转角，90 ； (3) dn ：移动关节移动变量； (4) n+1：转动关节变量。,2.8 D-H表示法,学习目标：1 理解D-H法原理 2 学会用D-H法对机器人建模,学习重点：1 给关节指定
11、参考坐标系 2 制定D-H参数表 3 利用参数表计算转移矩阵,一 背景简介： 1955年，Denavit和Hartenberg提出了这一方法，后成为表示机器人以及对机器人建模的标准方法，应用广泛。,二 总体思想 首先给每个关节指定坐标系，然后确定从一个关节到下一个关节进行变化的步骤，这体现在两个相邻参考坐标系之间的变化，将所有变化结合起来，就确定了末端关节与基座之间的总变化，从而建立运动学方程，进一步对其求解。,1. 坐标系的确定规则 一 关节，连杆命名规则：第一个关节指定为关节n,第二个关节为n+1,其余关节以此类推。连杆命名规则与关节相同。,坐标系的确定,坐标系的确定规则,2. Z轴确定规
12、则 如果关节是旋转的，Z轴位于按右手规则旋转的方向，转角 为关节变量。如果关节是滑动的，Z轴为沿直线运动的方向，连杆长度d为关节变量。关节n处Z轴下标为n-1。,3. X轴确定规则 情况1 两关节Z轴既不平行也不相交 取两Z轴公垂线方向作为X轴方向，命名规则同Z轴,X轴确定规则,情况2：两关节Z轴平行 此时，两Z轴之间有无数条公垂线，可挑选与前一关节的公垂线共线的一条公垂线,情况3：两关节Z轴相交 取两条Z轴的叉积方向作为X轴。,Y轴及变量确定规则,4. Y轴确定原则 取X轴，Z轴差积方向作为Y轴方向。（右手） 5. 变量选择原则 用 角表示绕Z轴的旋转角，d表示在Z轴上两条相邻的公垂线之间的
13、距离，a表示每一条公垂线的长度(关节偏移)，角 表示两个相邻Z轴之间的角度也叫关节扭转。通常情况下，只有 和d是关节变量。, 到达下一坐标系的标准运动,我们可以通过以下几个运动，将一个参考坐标系变换到下一个参考坐标系。,1 绕Zn轴旋转 ，它使得Xn+1和Xn互相平行, 到达下一坐标系的标准运动,2 沿Zn轴平移dn+1距离， 使得Xn和Xn+1共线,3 沿Xn轴平移an+1的距离，使Xn和Xn+1的原点重合。, 到达下一坐标系的标准运动,4 将Zn轴绕Xn+1轴旋转 ，使得Zn轴与Zn+1轴对准。,这样就实现了从一个坐标系变换下一个坐标系,列出变换矩阵,由于所有的运动都是相对于当前坐标系而言
14、的。因此，总的变换矩阵A等于各变换矩阵右乘。 从而得到的结果如下：,以此类推，总的变换矩阵为：,D-H参数表,通过原理图确定各参数，制定D-H参数表如下：,将各参数带入矩阵方程即可得到运动学方程，进一步求解。,例2.11 如图，已知一两杆机构，两杆长分别为l1、l2，转角变量为 、 ， 1)确定零位置；2) 建立连杆坐标系 3)确定参数； 4) 确定工作空间,例2.12 如图，已知一两杆机构，一杆偏置为d1、二杆长为l2，转角变量为 ， ： 1) 建立连杆坐标系； 2) 确定参数； 3) 确定工作空间,例2.13 如图，已知一两杆机构，一杆偏置为d1、二杆偏置为d2，变量为 ， d2 ： 1)
15、 建立连杆坐标系； 2) 确定参数； 3) 确定工作空间,例2.14 如图，已知一两杆机构： 1) 建立连杆坐标系； 2) 确定参数； 3) 确定工作空间,例2.15 如图，已知一两杆机构： 1) 建立连杆坐标系； 2) 确定参数； 3) 确定工作空间,例 题 2.19,对下图所示简单机器人，根据D-H法，建立必要坐标系及参数表。,第一步：根据D-H法建立坐标系的规则建立坐标系,第二步：将做好的坐标系简化为我们熟悉的线图形式,第三步：根据建立好的坐标系，确定各参数，并写入D-H参数表,第四步：将参数代入A矩阵，可得到,第5步 求出总变化矩阵,思考题,2.9 机器人的逆运动学解,让我们通过下面这
16、道例题来了解一下机器人逆运动学求解的一般步骤。例2.19最后方程为,求逆运动学方程的解,根据第3行第4列元素对应相等可得到,依次用 左乘上面两个矩阵，得到：,根据1，4元素和2，4元素，可得到：,将上面两个方程两边平方相加，并利用和差化积公式得到,已知,于是可得到：,依次类推，分别在方程2.19两边左乘A1A4的逆，可得到,机器人的逆运动学解,这样， 就可以计算出来了，接下来再一次利用式 由于C12=C1C2-S1S2以及S12=S1C2+C1S2，最后得到：,机器人的逆运动学解,最后用A5的逆左乘式2.67，再利用2,1元素和2,2元素，得到：,机器人的逆运动学解,2.10 机器人的运动学编程,在实际应用中，对运动学的求解是相当繁琐和耗时的，因此需要用计算机编程来实现。并且应尽量避免使用矩阵求逆或高斯消去法等相对繁琐的
