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1、第七章 图像的频域变换,问题的提出： 我们人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。但是，往往许多问题在频域中讨论时，有其非常方便分析的一面。,7.1 二维离散Fourier变换,Fourier变换有两个好处： 1）可以得出信号在各个频率点上的强度。 2）可以将卷积运算化为乘积运算。,7.1 二维离散Fourier变换,正变换：,反变换：,7.2 快速Fourier变换（FFT）,一、快速Fourier变换的推导,（分成奇数项和偶数项之和）,7.2 快速Fourier变换（FFT）,7.2 快速Fourier变换（FFT）,二、FFT的设计思想是: 首先，将原函数分为奇数项和偶数项，通过不断
2、的一个奇数一个偶数的相加（减），最终得到需要的结果。 也就是说FFT是将复杂的运算变成两个数相加（减）的简单运算的重复。,7.2 快速Fourier变换（FFT）,例：设对一个函数进行快速Fourier变换，函数为：,分成偶数、奇数为：,例：,7.2 快速Fourier变换（FFT）,7.2 快速Fourier变换（FFT）,7.2 快速Fourier变换（FFT）,三、二维快速Fourier变换： 因为2维DFT可以看成是两次的1维DFT变换，即： 所以二维快速Fourier变换实际上是对其进行了2次的一维FFT变换。,7.3 二维Fourier变换的应用,1.Fourier变换在图像滤波中
3、的应用 首先，我们来看Fourier变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。 因此，我们可以在Fourier变换图中，选择所需要的高频或是低频滤波。,7.3 二维Fourier变换的应用,2. Fourier变换在图像压缩中的应用 变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往认为可将高频系数置为0，骗过人眼。,7.3 二维Fourier变换的应用,3. Fourier变换在卷积中的应用: 从前面的图像处理算法中知道，如果抽象来看，其实都可以认为是图像信息经过了滤波器的滤波（如：平滑滤波、锐化滤波等
4、）。 如果滤波器的结构比较复杂时，直接进行时域中的卷积运算是不可思议的。,7.3 二维Fourier变换的应用,7.4 离散余弦变换（DCT）,1. 问题的提出： Fourier变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。 在此期望下，产生了DCT变换。,7.4 离散余弦变换（DCT）,2. 正变换： 3. 逆变换： 其中：,7.4 离散余弦变换（DCT）,4. DCT变换的应用： 余弦变换实际上是傅立叶变换的实数部分。 余弦变换主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DCT变换。具体的做法与DFT 相似。给高频系数大间隔量化，低频部分小间隔量化。,作 业（共1题）,1. 已知图像为,求2维FFT变换F(u,v),Fourier 变换示意图,返回,Fourier变换的频率特性,返回,Fourier变换的低通滤波,返回,Fourier变换的高通滤波,返回,Fourier变换的压缩原理,另一幅图像效果,压缩率为：1.7：1,压缩率为：2.24：1,压缩率为：3.3：1,Fourier变换的压缩原理,返回,压缩率为：8.1：1,压缩率为：10.77：1,压缩率为：16.1：1,
