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1、2 复合求积 /* Composite Quadrature */,Havent we had enough formulae? Whats up now?,Oh come on, you dont seriously consider h=(ba)/2 acceptable, do you?,Why cant you simply refine the partition if you have to be so picky?,Dont you forget the oscillatory nature of high- degree polynomials!,Uh-oh,高次插值有Rung
2、e 现象，故采用分段低次插值 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。, 复合梯形公式：,在每个 上用梯形公式：,= Tn,/*中值定理*/,2 Composite Quadrature, 复化 Simpson 公式：,= Sn,注：为方便编程，可采用另一记法：令 n = 2n 为偶数， 这时 ，有,2 Composite Quadrature, 收敛速度与误差估计：,例：计算,解：,其中,= 3.138988494,其中,= 3.141592502,例： 用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化 Cotes公式计算 要使精度要求达到 问N各取多少？,HW: p.273 1
3、，3，4，5，6,2 Composite Quadrature,Q: 给定精度 ，如何取 n ?,例如：要求 ，如何判断 n = ？,?,上例中若要求 ，则,即：取 n = 409,通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k,上例中2k 409 k = 9 时，T512 = 3.14159202,S4 = 3.141592502,注意到区间再次对分时,可用来判断迭代 是否停止。,2 Composite Quadrature,2 Composite Quadrature,3 龙贝格积分 /* Romberg Integration */,例：计算,已知对于 = 106 须将区间对分 9 次
4、，得到 T512 = 3.14159202,由 来计算 I 效果是否好些？,考察,= 3.141592502,= S4,一般有：,Romberg 序列, Romberg 算法：, ?, ?, ?, ,3 Romberg Integration,3 Romberg Integration,3 Romberg Integration, 理查德森外推法 /* Richardsons extrapolation */,利用低阶公式产生高精度的结果。,设对于某一 h 0，有公式 T0(h) 近似计算某一未知值 I。由Taylor展开得到： T0(h) I = 1 h + 2 h2 + 3 h3 + ,i
5、 与 h 无关,Q：如何将公式精度由 O(h) 提高到 O(h2) ？,即：,HW: p.175 #4,4 高斯型积分 /* Gaussian Quadrature */,构造具有2n+1次代数精度的求积公式,将节点 x0 xn 以及系数 A0 An 都作为待定系数。令 f (x) = 1, x, x2, , x2n+1 代入可求解，得到的公式具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为Gauss 点，公式称为Gauss 型求积公式。,例：求 的 2 点 Gauss 公式。,代入 f (x) = 1, x, x2, x3,不是线性方程组，不易求解。,4 Gaussian Quadrature,证明
6、： “”,x0 xn 为 Gauss 点, 则公式 至少有 2n+1 次代数精度。,对任意次数不大于n 的多项式 Pm(x)， Pm(x) w(x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立：,= 0,“” 要证明 x0 xn 为 Gauss 点，即要证公式对任意次数不大于2n+1 的多项式 Pm(x) 精确成立，即证明：,设,求 Gauss 点 求w(x),4 Gaussian Quadrature, 正交多项式族 0, 1, , n, 有性质：任意次数不大于n 的多项式 P(x) 必与n+1 正交。,Step 1：构造正交多项式2,即：,4 Gaussian Quadrature,Step
7、 2：求2 = 0 的 2 个根，即为 Gauss 点 x0 ，x1,Step 3：代入 f (x) = 1, x 以求解 A0 ，A1,解线性方程组，简单。,结果与前一方法相同：, 利用此公式计算 的值,注：构造正交多项式也可以利用 L-S 拟合中介绍过的递推式进行。,4 Gaussian Quadrature, 特殊正交多项式族：, Legendre 多项式族：,满足：,由 有递推,以 Pn+1 的根为节点的求积公式称为Gauss-Legendre 公式。, Chebyshev 多项式族：,注意到积分端点 1 可能是积分的奇点，用普通Newton-Cotes公式在端点会出问题。而Gauss公式可能避免此问题的发生。,其它公式见教材p.189,4 Gaussian Quadrature, Gauss 公式的余项：,/* 设P为f 的过x0 xn的插值多项式 */,/*只要P 的阶数不大于2n+1，则下一步等式成立*/,插值多项式的余项,Q：什么样的插值多项式在 x0 xn 上有 2n+1 阶？,A：Hermite 多项式！,满足,HW: p.190 #6,
