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1、文科高等数学,,第九讲 -概率统计初步(1),数学教研室:刘淑环,概率统计初步(1),一、概率概述 二、有趣的概率问题 三、随机事件关系及运算规律 四、随机事件概率模型,偶然中蕴含必然的问题,(一)统计概率 (二)古典概型 (三)概率的公理化定义 (四)随机事件概率性质 (五)随机事件乘法公式 (六)全概公式和贝叶斯公式,四、随机事件概率模型,(一)统计概率,在充分多次试验中,事件的频率总在一个定值附近摆动,而且,试验次数越多,一般来说摆动越小. 这个性质叫做频率的稳定性.,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小. 尽管每进行一连串(n次)试验,所得到的频率可以各不相同,但只要 n相当大,
2、频率与概率是会非常接近的.,这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路.在实际中,当概率不易求出时,人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值,称此概率为统计概率,这种确定概率的方法称为频率方法.,概率是频率稳定性的依据,是随机事件规律的一个体现 .,概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率的一个近似.,频率的稳定统计概率,实际中,当概率不易求出时,人们常通过作大量试验,用事件出现的频率去近似概率.,例如,若我们希望知道某射手中靶的概率,应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录.,若他射击n发,中靶 m发,当n很大时,可用频率m/n作为他中靶概率的估计.,法国科学家蒲丰于1
3、777年发现了随机投针的概率与圆周率之间的关系,当 n充分大时,,蒲丰投针实验圆周率估计,(二)古典概型,假定某个试验有有限个可能的结果,假定从该试验的条件及实施方法上去分析,我们找不到任何理由认为其中某一结果例如ei,比任一其它结果,例如ej,更有优势,则我们就认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会,即1/N的出现机会.,e1, e2, ,eN ,称这样一类随机试验为古典概型.,称这种试验为 等可能随机试验,若随机试验满足下述两个条件: (1) 它的样本空间只有有限多个样本点; (2) 每个样本点出现的可能性相同.,1.等可能随机试验,这样就把求概率问题转化为计数问题 .,设试验E是古典概
4、型, 其样本空间S由n个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件A的概率为:,此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古典方法 .,排列组合是计算古典概率的重要工具 .,A包含的样本点数,S中的样本点总数,2.古典概率,3.古典概率计算举例,例1 把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上,并且将卡片放入同一盒中,现从盒中任意一张一张地将卡片取出,并将其按取到的顺序排成一列,假设排列结果恰好拼成一个英文单词:,C,I,S,N,C,E,E,拼成英文单词SCIENCE 的情况数为,故该结果出现的概率为:,这个概率很小,这里算出的概率有如下的实际意义:如果多次重复这
5、一抽卡试验,则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次 .,解:七个字母的排列总数为7!,这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了,人们有比较大的把握怀疑这是魔术.,具体地说,可以99.9%的把握怀疑这是魔术.,例2 彩票问题:从36个标有号码的小球中,任选7个小球号码,问所选号码恰好和电脑摇出的号码一致的概率?,选中六个正选号码和特别号码的概率为:,(三)概率的公理化定义,即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.,1933年,前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.,柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单, 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.,公理2 P(S)=1 (
6、2),公理3 若事件A1, A2 , 两两互不相容,则有 (3) 这里事件个数可以是有限或无限的 .,公理1 0 P(A) 1 (1),设E是随机试验,S是它的样本空间,对于S中的每一个事件A,赋予一个实数,记为P(A) ,称为事件A的概率,如果集合函数 P( ) 满足下述三条公理:,概率的三条公理,(四)随机事件概率性质,性质1 对任一事件A ,有,性质2,(即不可能事件的概率为0),性质3 设、B是两个事件,若 , 则 有,性质4 对任意两个事件A、B,有,概率的性质,性质1 对任一事件A ,有,在概率的计算上很有用,如果正面计算事件A的概率不容易,而计算其对立事件 的概率较易时,可以先计
7、算 ,再计算P(A).,例3 将一颗骰子抛掷4次,问至少出现一次“6”点的概率是多少?,令 事件A=至少出现一次“6”点,A发生,出1次“6”点,出2次“6”点,出3次“6”点,出4次“6”点,A的对立事件:,=4次抛掷中都未出“6”点,掷骰子试验,于是 =0.518,因此 = =0.482,由于将一颗骰子抛掷4次,共有 =1296种等可能结果,而导致事件 =4次抛掷中都未出“6”点 的结果数有 =625种,例4 将两颗骰子同时抛掷24次,问至少出现一次“两个6”点的概率是多少?,事件A=24次抛掷中至少出现一次“两个6”点,A发生,出1次“两个6”点,出2次“两个6”点,=24次抛掷中都未出
8、 “两个6”点,出24次“两个6”点,将一颗骰子抛掷24次,共有,=4次抛掷中都未出“6”点,例5 有r 个人,设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的,试求事件“至少有两人同生日”的概率.,则,= r 个人的生日都不同,生日问题,生日问题,猜猜看,班级中至少有两人生日相同的概率有多大?,用上面的公式可以计算此事出现的概率为,美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验,在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上,他随机地在某号看台上召唤了22个球迷,请他们分别写下自己的生日,结果竟发现其中有两人同生日.,即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.,=1-0.524=0.476,
9、计算后发现,这个概率随着球迷人数的增加而迅速地增加,如下页表所示:,这个概率不算小,因此它的出现不值得奇怪.,人数 至少有两人 同生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994,所有这些概率都是在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的. 实际上,这个假定并不完全成立,有关的实际概率比表中给出的还要大 . 当人数超过23时,打赌说至少有两人同生日是有利的.,直观判断与理性分析,例6 :一袋中有8个红球、8个白球,一次从中随机摸出8个球,当红白两色
10、球出现下列比例时,可得到如下奖惩:8:0奖10元;7:1奖1元;6:2奖5角;5:3奖2角;4:4罚2元。试对参加该游戏的人得到奖惩的情况进行概率分析。,赌博问题,试验为从16个球中一次随机摸出8个球, 样本空间包含的样本点为:,8:0包含的样本点为,8个红球或8个白球,重复进行 100次试验 平均来说, 会出现: 49次5:3 38次4:4 12次6:2 1次7:1 未出现8:0,事件互斥时的加法公式,事件相容时的加法公式,概率加法公式,三个事件和的概率为,推广到多个事件和的概率,P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC) - P(AC) + P(ABC),,数学教研室:刘淑环,Thanks!,