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1、文科高等数学,,第九讲 -概率统计初步(1),数学教研室：刘淑环,概率统计初步(1),一、概率概述 二、有趣的概率问题 三、随机事件关系及运算规律 四、随机事件概率模型,偶然中蕴含必然的问题,(一)统计概率 (二)古典概型 (三)概率的公理化定义 (四)随机事件概率性质 (五)随机事件乘法公式 (六)全概公式和贝叶斯公式,四、随机事件概率模型,(一)统计概率,在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小. 这个性质叫做频率的稳定性.,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小. 尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，
2、频率与概率是会非常接近的.,这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路.在实际中，当概率不易求出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，称此概率为统计概率,这种确定概率的方法称为频率方法.,概率是频率稳定性的依据，是随机事件规律的一个体现 .,概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率的一个近似.,频率的稳定统计概率,实际中，当概率不易求出时，人们常通过作大量试验，用事件出现的频率去近似概率.,例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录.,若他射击n发，中靶 m发，当n很大时，可用频率m/n作为他中靶概率的估计.,法国科学家蒲丰于1
3、777年发现了随机投针的概率与圆周率之间的关系,当 n充分大时，,蒲丰投针实验圆周率估计,(二)古典概型,假定某个试验有有限个可能的结果,假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如ei，比任一其它结果，例如ej,更有优势，则我们就认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会.,e1, e2, ，eN ,称这样一类随机试验为古典概型.,称这种试验为 等可能随机试验,若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同.,1.等可能随机试验,这样就把求概率问题转化为计数问题 .,设试验E是古典概
4、型, 其样本空间S由n个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件A的概率为：,此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古典方法 .,排列组合是计算古典概率的重要工具 .,A包含的样本点数,S中的样本点总数,2.古典概率,3.古典概率计算举例,例1 把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：,C,I,S,N,C,E,E,拼成英文单词SCIENCE 的情况数为,故该结果出现的概率为：,这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这
5、一抽卡试验，则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次 .,解：七个字母的排列总数为7！,这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术.,具体地说，可以99.9%的把握怀疑这是魔术.,例2 彩票问题：从36个标有号码的小球中，任选7个小球号码，问所选号码恰好和电脑摇出的号码一致的概率？,选中六个正选号码和特别号码的概率为：,(三)概率的公理化定义,即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.,1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.,柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单， 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.,公理2 P(S)=1 (
6、2),公理3 若事件A1, A2 , 两两互不相容，则有 (3) 这里事件个数可以是有限或无限的 .,公理1 0 P(A) 1 (1),设E是随机试验，S是它的样本空间，对于S中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A) ，称为事件A的概率，如果集合函数 P( ) 满足下述三条公理:,概率的三条公理,(四)随机事件概率性质,性质1 对任一事件A ，有,性质2,(即不可能事件的概率为0),性质3 设、B是两个事件，若 , 则 有,性质4 对任意两个事件A、B，有,概率的性质,性质1 对任一事件A ，有,在概率的计算上很有用，如果正面计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件 的概率较易时，可以先计
7、算 ，再计算P(A).,例3 将一颗骰子抛掷4次，问至少出现一次“6”点的概率是多少？,令 事件A=至少出现一次“6”点,A发生,出1次“6”点,出2次“6”点,出3次“6”点,出4次“6”点,A的对立事件:,=4次抛掷中都未出“6”点,掷骰子试验,于是 =0.518,因此 = =0.482,由于将一颗骰子抛掷4次,共有 =1296种等可能结果,而导致事件 =4次抛掷中都未出“6”点 的结果数有 =625种,例4 将两颗骰子同时抛掷24次，问至少出现一次“两个6”点的概率是多少？,事件A=24次抛掷中至少出现一次“两个6”点,A发生,出1次“两个6”点,出2次“两个6”点,=24次抛掷中都未出
8、 “两个6”点,出24次“两个6”点,将一颗骰子抛掷24次,共有,=4次抛掷中都未出“6”点,例5 有r 个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.,则,= r 个人的生日都不同,生日问题,生日问题,猜猜看，班级中至少有两人生日相同的概率有多大？,用上面的公式可以计算此事出现的概率为,美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.,即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.,=1-0.524=0.476,
9、计算后发现，这个概率随着球迷人数的增加而迅速地增加，如下页表所示：,这个概率不算小，因此它的出现不值得奇怪.,人数 至少有两人 同生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994,所有这些概率都是在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的. 实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大 . 当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.,直观判断与理性分析,例6 ：一袋中有8个红球、8个白球，一次从中随机摸出8个球，当红白两色
10、球出现下列比例时，可得到如下奖惩：8：0奖10元；7：1奖1元；6：2奖5角；5：3奖2角；4：4罚2元。试对参加该游戏的人得到奖惩的情况进行概率分析。,赌博问题,试验为从16个球中一次随机摸出8个球， 样本空间包含的样本点为：,8：0包含的样本点为,8个红球或8个白球,重复进行 100次试验 平均来说， 会出现： 49次5：3 38次4：4 12次6：2 1次7：1 未出现8：0,事件互斥时的加法公式,事件相容时的加法公式,概率加法公式,三个事件和的概率为,推广到多个事件和的概率,P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC) - P(AC) + P(ABC),,数学教研室：刘淑环,Thanks!,
