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1、文科高等数学,,第九讲 -概率初步(1),数学教研室：刘淑环,概率初步(1),一、概率概述 二、有趣的概率问题 三、随机事件关系及运算规律 四、随机事件概率模型,偶然中蕴含必然的问题,在不同的学科中有不同的称呼，如产品合格率，犯罪率，出生率，离婚率，命中率，成功率，患病率，有效率，痊愈率，及格率等等.,probable意指可能；后缀-ility 意指程度(或大或小)；因此，probability可认为是“可能性的大小”，翻译成中文就是概率.,一、概率概述,（1） 阴转小雨 偏北风4 5级 气温：12 19 降水概率：30,什么含义？,（2） 12号夜间 由雨夹雪转雪 13号白天 全天大雪 降雪
2、概率90%,天气预报中的概率,了解发生保险事故的可能性大小,确定保险金额.（保险率的制定）,保险精算,了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.,服务行业,了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.,自然灾害问题,概率统计的发展历史,概率作为一门数学学科，是一门研究客观世界随机现象数量统计规律的数学分支学科. 诞生于17世纪中叶，它来源于对机会游戏和赌博的研究.,1654年，德莫尔爵士向帕斯卡提出了有趣的赌博问题“ 合理分配赌注问题” ( 即得分问题 ).帕斯卡与费马在通信中讨论了这一问题.,此后，德国数学家棣莫弗由二项式公式推出了正态分布曲线，1812年拉普拉斯
3、出版了解析概率论，以微积分为工具来研究概率，这一时期称为分析概率阶段.,1933年前苏联数学家科尔莫戈罗夫出版了概率论的基本概念，给出了概率的公理化定义，从而使概率论体系进一步完善，使之纳入到现代数学的范畴.,统计学的基本形成是从英国的皮尔逊和高尔登的描述统计学开始的. 现代统计学的基础是推断统计学，它以英国戈塞特和费希尔发表的论文为起点.,统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系.,研究数据收集、整理和描述的
4、统计学分支 内容 搜集数据 整理数据 展示数据 描述性分析 目的 描述数据特征 找出数据的基本规律,描述统计,研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计学分支 内容 参数估计 假设检验 目的 对总体特征作出推断,推断统计,概率统计的应用,随着信息化时代的到来，概率统计的理论和方法已广泛应用于经济、管理、工程、技术、物理、化学、生物、环境、天文、地理、卫生、教育、语言、国防等领域，特别是随着计算机的普及，概率统计已成为处理信息、制定决策、实验设计的重要理论和方法.,名言有云,二、有趣的概率问题,（一）分赌本问题,甲、乙两人各出同样的赌注，用掷硬币作为博弈手段.每掷一次，若正面朝上，甲得1分乙不得分
5、；反之，乙得1分，甲不得分.每局中，甲乙胜算相同，都是1/2。约定先胜满3局者赢得全部赌注。若已赌完三局，甲2胜1负，此时因故赌博中断，问这赌注该如何分给甲、乙二人，才算公平？,分配比例2：1是否公平？,公平的分法，还要考虑甲、乙再比几局即可分出胜负，且各人最终获胜的机会如何。,（二）生死签问题,相传古代有个王国，由于崇尚迷信，世代沿袭着一条奇特的法规：凡是死囚，在临刑前都要抽次“生死签”。即在两张小纸片上分别写着“生”和“死”的字样，由执行法官监督，让犯人当众抽签。如果抽到“死”签，则立即处刑；如果抽到“活”签，则被认为这是神的旨意，应予当场赦免。,国王暗嘱执法官，把“生死签”的两张纸上都写
6、成“死”字。这样，不管犯人抽到哪张纸签，终难免于死。,大臣获知阴谋内幕后，当执行法官宣布抽签的办法之后，大臣抽出一张纸签，并迅速吞下肚里，执行法官只好查看剩下的签，由于剩下的签写“死”，这意味着大臣抽到的签是“活”。,（三）破译密码问题,概率在密码的编制和破译中起着重要的作用。在福尔摩斯的跳舞的小人中，福尔摩斯根据英语字母出现的规律破译了案件中的密码。,现代保密系统,为确保信息安全，现代保密系统要能确保每个字母出现在密文中的概率都相等，于是在信息加密传输过程中，采用了一种理论上不可破译的密码，即 “一次性密码本”。这种密码本是一长串的随机数，每个都在1和26之间，这样一种密码本可以从以下数字开
7、始：19，7，12，1，3，8，.。如“ELEVEN”这个词，用英语字母排列顺序中排在E后面的第19个字母表示E，而用L后面的第7个字母表示L，等等，这样“ELEVEN”就变成了“XSQWHV”。尽管在“明码电文”中E出现了三次，但是在“密码电文”XSQWHV中却是用三个不同的字母来替换的。,（四）圆周率问题,圆周率=3.1415926是一个无限不循环小数。我国数学家祖冲之第一次计算出了圆周率数值的上下限为,小数点后七位的记录保持了1000多年！以后有人不断把它算得更精确。1873年，英国学者沈克士公布了一个的数值，小数点后一共有707位之多！但是，经过几十年后，曼彻斯特的费林生统计了的608
8、位小数对它产生了怀疑。,三、随机事件关系,(一)随机现象及其描述,(二)随机事件的关系及运算,(三)随机事件的运算规律,(一)随机现象及其描述,1. 随机现象的定义,在一定条件下必然发生或必然不发生的现象叫必然现象.,在一定条件下某种现象可能发生，也可能不发生，这种现象就叫随机现象，或称为偶然现象.,2. 随机试验和随机事件,为了研究随机现象, 就要对客观现象进行观察.观察的过程称为试验.,如果一个试验可以在相同的条件下重复进行，而且每次试验的结果事前不可预言，则称此试验为随机试验，也简称为试验，记为E.,随机试验E的某些结果所构成的集合称为随机事件,简称事件.用A,B,C,表示,随机试验 E
9、 的某一可能结果称为样本点.,用表示,样本点, ,3. 随机事件,全体样本点构成的集合称为E的样本空间或对于E的必然事件.,有限样本空间,无限样本空间,4. 样本空间,两个特殊的随机事件:,(二)随机事件关系及运算,必然事件,不可能事件,1.随机事件的包含,如果事件A发生必然导致事件B发生, 则称事件B包含事件A或称事件A含于事件B, 记作 B A或 A B，,2. 随机事件相等,如果事件A B且 B A, 称事件A与B相 等,记为A = B.,A与B的样本点完全相同,如：掷骰子试验，用数字1, 2, , 6来表示掷得的点数.,掷得偶数点,3. 随机事件的并,表示“两个事件A与B至少有一个发生
10、”的事件,称为事件A与B的并，记作AB，简单说就是“A或B发生”的事件，它是指属于A或B的所有样本点组成的集合.,推广,表示“n个事件A1 , A2 , , An中至少有一个发生”的事件, 称为事件的并, 记作A1A2 An .,n个随机事件至少有一个发生,4. 随机事件的交(或积),表示“两个事件A与B同时发生”的事件称为事件A与B的交(或积) , 记作 AB 或 A B.,5. 事件的差,表示“事件A发生而事件B不发生”的事件称为A与B的差，记作AB .,属于A，但不属于B的样本点组成,有限个事件,6. 互不相容事件,如果事件A与B不能同时发生，即AB = ,则称A与B互不相容(或互斥).
11、,互斥事件没有公共的样本点,任意多个事件,韦恩图,事件的关系与运算,是A的对立事件，,=两件产品不都是合格品,=两件产品中至少有一个是不合格品,问：,=两件产品中恰有一个是不合格品 两件产品中都是不合格品,两个互斥事件之和,记 A=两件产品都是合格品，,若记 Bi =取出的第 i 件是合格品，i=1,2,=两件产品中至少有一个是不合格品,A=B1B2,问如何用 Bi 表示A和 ？,C=B1+B2,至少有一个是合格品,都不是是合格品,1. A发生, B与C不发生,设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件.,或,2. A与B都发生,而C不发生,或,3. A、B、C中至少有一个发
12、生,A+B+C,4. A、B、C都发生,或,ABC,恰有1个发生,恰有2个发生,+ABC,3个都发生,5. A、B、C中至少有两个发生,AB+BC+AC,或,6. A、B、C都不发生,+ABC,恰有2个发生,3个都发生,或,7. A、B、C中不多于一个发生,恰有2个不发生,3个都不发生,或,至少有2个不发生,8. A、B、C 中不多于两个发生,或,或,至少有1个不发生,注意,结合律,分配律,德摩根律,交换律,事件运算的基本规律,问题: 如何求得某事件的概率?,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是,事,率,件,概,的,(一)统计概率 (二)古典概型 (三)概率的公理化定义 (四)随机事件概率性质 (五)随机事件乘法公式 (六)全概公式和贝叶斯公式,四、随机事件概率模型,,数学教研室：刘淑环,Thanks!,
