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1、二项式定理习题,二项式定理,二项式展开的通项,复习回顾,第 项,题型1 利用 的二项展开式解题,解法1,例1 求 的展开式,直接用二项 式定理展开,例1 求 的展开式,解法2,化简后再展开,解:,所以 为奇数 故选(A),A,例3 求 展开式中的有理项,解:,令,原式的有理项为:,解: 设第 项为所求,的系数为,求二项展开式的某一项,或者求满足某种条 件的项,或者求某种性质的项,如含有x 项 的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项 式的通项求解. 注意(1)二项式系数与系数的区别. (2) 表示第 项.,3,总结,题型2 二项式定理的逆用,例5 计算并求值,解(1):将原式变形,解:(2)原
2、式,总结 逆向应用公式和变形应用公式是高中数学的难点,也是重点,只有熟练掌握公式的正用,才能掌握逆向应用和变式应用,题型3 求多项式的展开式中特定的项(系数),解:仔细观察所给已知条件可直接求得 的系 数是,解法2,运用等比数列求和公式得,在 的展开式中,含有 项的系数为,所以 的系数为-20,例7求 展开式中 的系数。,解:可逐项求得 的系数,的展开式通项为,当 时,系数为,的展开式通项为,当 时,系数为,所以 展开式中的系数为,的展开式通项为,当 时,系数为-4,求复杂的代数式的展开式中某项(某项的系数),可以逐项分析求解,常常对所给代数式进行化简,可以减小计算量,总结,题型4 求乘积二项
3、式展开式中特定的项(特 定项的系数),例题8:求 的展开式中 项 的系数.,解,的通项是,的通项是,的通项是,由题意知,解得,所以 的系数为:,总结 对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两 个通项之积比较方便运算,题型5 求展开式中各项系数和,解：设,展开式各项系数和为,1,总结： 求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项 式中的字母为1,上式是恒等式，所以当且仅当x=1时， (2-1)n=, =（2-1）n=1,例9. 的展开式的各项系数和为_,题型六：求奇数(次)项偶数(次)项系数的和,(1),(2),所以,（3）,总结,求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设 二项式中的字母为1或-1，得到
4、一个或几个等 式，再根据结果求值,题型7 三项式转化为二项式,解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式,再利用二项式定理逐项分析常数项得,=1107,_,解：,原式化为,其通项公式为,240,题型8 求展开式中系数最大(小)的项,解:,设 项是系数最大的项,则,二项式系数最大的项为第11项,即,所以它们的比是,例14 在 的展开式中系数绝对值最大的项,解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则,所以当 时，系数绝对值最大的项为,例15求 的展开式中数值最大的项,解：设第 项是是数值最大的项,展开式中数值最大的项是,解决系数最大问题，通常设第 项是系数最 大的项，则有,由此确定r的取值,总结,
5、题型9 整除或余数问题,例16,解:,前面各项均能被100整除.只有 不能被100整除,(1)证明:9910-1能被1000整除 (2)证明:32n+2-8n-9(nN*)能被64整除 (3)9192除以100的余数是 (81 (4)今天是星期日,再过290天是星期几? (一) (5)11100-1末尾连续零的个数是 个 (3个),整除性问题，余数问题，主要根据二项式 定理的特点，进行添项或减项，凑成能整 除的结构，展开后观察前几项或后几项,再 分析整除性或余数。这是解此类问题的最 常用技巧。余数要为正整数,总结,题型10 近似计算问题,例17:计算 (1)(0.997)3的近似值(精确到0.
6、001) (2)(1.009)5的近似值(精确到0.001),例18.某公司的股票今天的指数为2,以后每天的指 数都比上一天的指数增加0.2%,则100天后这 公司的股票股票指数为_(精确到0.001),解:,依题意有2(1+0.2%),100,所以100天后这家公司的股票指数约为2.44,总结 ：近似计算常常利用二项式定理估算前几项,题型11 证明恒等式,析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为 由此分析求解,两式相加,例题点评,利用求和的方法来证明组合数恒等式是一种 最常见的方法,证明等式常用下面的等式,例19证明：,证明,通项,所以,题型12 证明不等式,总结,利用二项式定理证明不等
7、式,将展开式 进行合理放缩,巩固练习,一选择题,1(04福建)已知 展开式的常数项是1120, 其中实数 是常数,则展开式中各项系数的和 是( ),C,B,3 被4除所得的系数为（ ） A0 B1 C2 D3,A,展开式中 的系数是_,2 被22除所得的余数为 。,1,35,3 已知 展开式中的 系数是56，则实数 的值是_,或,二填空题,4.设 二项式展开式的各项系数的和为P； 二项式系数的和为S，且P+S=272，则展开式 的常数项为_,108,1 求 展开式中含 一次幂的项。,45x,3 在 的展开式中，求：,（1） 二项式系数最大的项； （2） 系数绝对值最大的项； （3） 系数最大的项,三计算题,性质复习,性质1:在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.,性质2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一 项的二项式系数最大；如果二项式的 幂指数是奇数，中间两项的二项式系 数最大；,性质3：,性质4：(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数和.,
