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1、,逻 辑 代 数 基 础,第 二 章,逻辑代数是数子系统逻辑设计的理论基础和重要数学工 具！,1847年,英国数学家乔治布尔(G.Boole)提出了用数学分析方法表示命题陈述的逻辑结构，并将形式逻辑归结为一种代数演，从而诞生了著名的“布尔代数”。 1938年，克劳德向农(C.E.Shannon)将布尔代数应用于电话继电器的开关电路，提出了“开关代数”。 随着电子技术的发展，集成电路逻辑门已经取代了机械触点开关，故人们更习惯于把开关代数叫 做逻辑代数。,本章知识要点： 基本概念 ； 基本定理和规则 ； 逻辑函数的表示形式 ； 逻辑函数的化简 。,逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集
2、K，常量0和1以及“或”、“与”、“非”三种基本运算所构成，记为L=K,+,-,0,1。该系统应满足下列公理。,2.1 逻辑代数的基本概念,公 理 1 交 换 律 对于任意逻辑变量A、B，有 A + B = B + A ； AB = B A,公 理 2 结 合 律 对于任意的逻辑变量A、B、C，有 (A + B) + C = A + ( B + C ) ( AB ) C = A( B C ),公 理 3 分 配 律 对于任意的逻辑变量A、B、C，有 A + ( BC ) = (A + B)(A + C) ； A( B + C) = AB + AC,公 理 4 01 律 对于任意逻辑变量A，有
3、A + 0 = A ； A 1 = A A + 1 = 1 ； A 0 = 0,公理是一个代数系统的基本出发点，无需加以证明。,公 理 5 互 补 律 对于任意逻辑变量A，存在唯一的 ，使得,2.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算,逻辑代数和普通代数一样，是用字母表示其值可以变化的量，即变量。所不同的是：,1任何逻辑变量的取值只有两种可能性取值0或取值1。,2逻辑值0和1是用来表征矛盾的双方和判断事件真伪的形式符号，无大小、正负之分。,一、变量,二、基本逻辑运算,描述一个数字系统，必须反映一个复杂系统中各开关元件之间的联系，这种相互联系反映到数学上就是几种运算关系。 逻辑代数中定义了“或”、“与”
4、 、“非”三种基本运算。,1“或”运算 如果决定某一事件是否发生的多个条件中，只要有一个或一个以上条件成立，事件便可发生，则这种因果关系称之为“或”逻辑。,例如，用两个开关并联控制一个灯的照明控制电路。,电路中，开关A和B并联控制灯F。可以看出，当开关A、B中有一个闭合或者两个均闭合时，灯F即亮。因此，灯F与开关A、B之间的关系是“或”逻辑关系。可表示为,例如，下图所示电路。,F = A + B 或者 F = A B，读作“F等于A或B”。,假定开关断开用0表示，开关闭合用1表示；灯灭用0表示，灯亮用1表示，则灯F与开关A、B的关系如下表所示。 即：A、B中只要有一个为1，则F为1；仅当A、B
5、均为0时，F才为0。,“或”运算的运算法则： 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 1 实现“或”运算关系的逻辑电路称为“或”门。,2“与” 运算 如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备，事 件才能发生，则这种因果关系称之为“与”逻辑。 在逻辑代数中，“与”逻辑关系用“与”运算描述。两变量“与”运算关系可表示为 F = AB 或者 F = AB 即：若A、B均为1，则F为1；否则，F为0。,例如，两个开关串联控制同一个灯。显然，仅当两个开关均闭合时，灯才能亮，否则，灯灭。 假定开关闭合状态用1表示，断开状态用0表示，灯亮用1 表示，灯灭用0表示，则F和
6、A、B之间的关系 “与”运算关系。,数字系统中，实现“与”运算关系的逻辑电路称为“与”门。,“与”运算的运算法则: 0 0 = 0 1 0 = 0 0 1 = 0 1 1 = 1,3“非” 运算 如果某一事件的发生取决于条件的否定，即事件与事件发生的条件之间构成矛盾，则这种因果关系称为“非”逻辑。 在逻辑代数中，“非”逻辑用“非”运算描述。其运算符 号为“”，有时也用“”表示。“非”运算的逻辑关系可 表示为 F = 或者 F = A 读作“F等于A非”。 即：若A为0，则F为1；若A为1，则F为0。,例如，下面开关与灯并联的电路中，仅当开关断开时，灯亮；一旦开关闭合，则灯灭。令开关断开用0表示
7、，开关闭合用1表示，灯亮用1表示，灯灭用0表示，则电路中灯F与开关A的关系即为上表所示“非”运算关系。,“非”运算的运算法则： ； 数字系统中实现“非”运算功能的逻辑电路称为“非”门， 有时又称为“反相器”。,2.1.2 逻辑函数及逻辑函数间的相等,逻辑代数中函数的定义与普通代数中函数的定义类似，即随自变量变化的因变量。但和普通代数中函数的概念相比，逻辑函数具有如下特点：,1逻辑函数和逻辑变量一样，取值只有0和1两种可能 ；,2函数和变量之间的关系是由“或”、“与”、“非”三种基本运算决定的 。,一、逻辑函数的定义,图中，F被称为A1，A2，An的逻辑函数，记为 F = f( A1，A2，An
8、 ),逻辑电路输出函数的取值是由逻辑变量的取值和电路本身的结构决定的。,设某一逻辑电路的输入逻辑变量为A1，A2，An，输出逻辑变量为F，如下图所示。,逻辑函数和普通代数中的函数一样存在是否相等的问题。设有两个相同变量的逻辑函数 F1 = f1( A 1,A 2, ,A n) F2 = f2( A 1,A 2, ,A n) 若对应于逻辑变量 A1 ,A2 , , An的任何一组取值，F1和F2的值都相同，则称函数F1和F2相等，记作F1 = F2 。,如何判断两个逻辑函数是否相等？ 通常有两种方法：真值表法，代数法。,2.1.3 逻辑函数的表示法,函数F和变量A、B的关系是： 当变量A和B取值
9、不同时，函数F的值为“1”； 取值相同时，函数F的值为“0”。,逻辑表达式是由逻辑变量和“或”、“与”、“非” 3种运算符以及括号所构成的式子。例如,一、逻辑表达式,如何对逻辑功能进行描述？ 常用的方法有逻辑表达式、真值表、卡诺图3种。,逻辑表达式的简写:,1.“非”运算符下可不加括号，如 ， 等。,2.“与”运算符一般可省略，如AB可写成AB。,4.(A+B)+C或者A+(B+C)可用A+B+C代替；(AB)C或者 A(BC)可用ABC代替。,二、真值表,依次列出一个逻辑函数的所有输入变量取值组合及其相应函数值的表格称为真值表。 一个n个变量的逻辑函数，其真值表有2n行。例如，,真值表由两部
10、分组成： 左边一栏列出变量的所有取值组合，为了不发生遗漏，通常各变量取值组合按二进制数码顺序给出；右边一栏为逻辑函数值。,三、卡诺图,卡诺图是由表示逻辑变量所有取值组合的小方格所构成的平面图。 这种用图形描述逻辑函数的方法，在逻辑函数化简中十分有用，将在后面结合函数化简问题进行详细介绍。,描述逻辑逻辑函数的3种方法可用于不同场合。但针对某个具体问题而言，它们仅仅是同一问题的不同描述形式，相互之间可以很方便地进行变换。,2 .2 逻辑代数的基本定理和规则,常用的组定理：,2.2.1 基本定理,定理1 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 0 = 0 1 0 = 0 0 + 1 = 1 1
11、+ 1 = 1 0 1 = 0 1 1 = 1,证明：在公理4中，A表示集合K中的任意元素，因而可以是0或1。用0和1代入公理4中的A，即可得到上述关系。,如果以1和0代替公理5中的A，则可得到如下推论：,证明 A+AB = A1+AB 公理4 = A (1+B) 公理3 = A (B+1) 公理1 = A1 公理4 = A 公理4,定理2 A + A = A ； A A = A,定理3 A + A B = A ； A ( A + B ) = A,证明 A(A+B)= AA+AB = A+AB = A (1+B) = A1 =A,定理2 A A = A,定理3 A ( A + B ) = A,
12、定理7 AB + A = A ( A + B ) ( A+ ) = A,第二章 逻辑代数基础,2.2.2 重要规则,逻辑代数有3条重要规则。,例如，将逻辑等式A(B+C)=AB+AC中的C都用(C+D)代替，该逻辑等式仍然成立，即 AB+(C+D)= AB+A(C+D) 代入规则的正确性是显然的，因为任何逻辑函数都和逻 辑变量一样，只有0和1两种可能的取值。,任何一个含有变量A的逻辑等式,如果将所有出现A的位 置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。这个规则 称为代入规则。,一、代入规则,代入规则的意义： 利用代入规则可以将逻辑代数公理、定理中的变量用任 意函数代替，从而推导出更多的等式。
13、这些等式可直接当作 公使用，无需另加证明。,注意：使用代入规则时,必须将等式中所有出现同一变量的地方均以同一函数代替，否则代入后的等式将不成立。,二、反演规则,例如，已知函数 ，根据反演规则可得到,若将逻辑函数表达式F中所有的“”变成“+”，“+”变 成“”,“0”变成“1”,“1”变成“0”,原变量变成反变量，反变 量变成原变量，并保持原函数中的运算顺序不变，则所 得到的新的函数 为原函数F的反函数。,注意: 使用反演规则时，应保持原函数式中运算符号的优先顺序不变！,三、对偶规则,如果将逻辑函数表达式F中所有的“”变成“+”,“+”变成 “”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，并保持原函数
14、中的运算顺 序不变，则所得到的新的逻辑表达式称为函数F的对偶式， 并记作F。例如，,例如，已知函数 ，根据反演规则 得到的反函数应该是 而不应该是 ！错误,注意:求逻辑表达式的对偶式时，同样要保持原函数的运算顺序不变。,显然，利用对偶规则可以使定理、公式的证明减少一半。,若两个逻辑函数表达式F和G相等，则其对偶式F和G也相等。这一规则称为对偶规则。 根据对偶规则，当已证明某两个逻辑表达式相等时，即可知道它们的对偶式也相等。,例如，已知AB+ C+BC=AB+ C，根据对偶规则对等式两 端的表达式取对偶式，即可得到等式 (A+B)( +C)(B+C)=(A+B)( +C),2.2.3 复合逻辑,
15、实际应用中广泛采用“与非”门、“或非”门、“与或非”门、“异或”门等门电路。这些门电路输出和输入之间的逻辑关系可由3种基本运算构成的复合运算来描述，故通常将这种逻辑关系称为复合逻辑，相应的逻辑门则称为复合门。,一、与非逻辑,与非逻辑是由与、非两种逻辑复合形成的，可用逻辑函 数表示为 逻辑功能：只要变量A、B、C、中有一个为0，则函数 F为1；仅当变量A、B、C、全部为1时，函数F为0。 实现与非逻辑的门电路称为“与非”门。,只要有了与非门便可组成实现各种逻辑功能的电路，通常称与非门为通用门。,与:,或:,非:,使用与非门可以实现与、或、非三种基本运算：,二、或非逻辑,逻辑功能：只要变量A、B、
16、C中有一个为1，则函数F为0；仅当变量A、B、C全部为0时，函数F为1。实现或非逻辑的门电路称为“或非”门。,或非逻辑是由或、非两种逻辑复合形成的，可表示为,与：,或:,非: ,或非门同样可实现各种逻辑功能，是一种通用门。,同样，或非逻辑也可以实现与、或、非3种基本逻辑。以两变量或非逻辑为例：,三、与或非逻辑,逻辑功能：仅当每一个“与项”均为0时，才能使F为1， 否则F为0。 实现与或非功能的门电路称为“与或非”门。,显然，可以仅用与或非门去组成实现各种功能的逻辑电路。 但实际应用中这样做一般会很不经济，所以，与或非门主要用 来实现与或非形式的函数。必要时可将逻辑函数表达式的形式 变换成与或非的形式。,与或非逻辑是由3种基本逻辑复合形成的，逻辑函数表达 式的形式为,四、异或逻辑及同
