微机控制技术2007.03～06第四章常规及复杂控制技术2章节

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1、4.2 数字控制器的离散化设计技术 数字控制器的离散化设计针对采样周期长的或控制复杂的系统，直接使用采样控制理论设计数字控制器。其控制规律和算法更具有一般意义。 4.2.1 数字控制器的离散化设计步骤 1、数字控制器的离散化设计步骤,Gc(s)：被控对象的传递函数， D(z)：数字控制器的脉冲传递函数， H(s) 零阶保持器的传递函数。,于是有： 由此推得数字控制器的离散化设计步骤。,数字控制器的离散化设计步骤 （1) 根据控制系统的 性能要求和其它约束条件，确定所需要的闭环脉冲传递函数 (z)。 (2) 求广义对象的脉冲传递函数G(z)。 (3) 确定数字控制器的脉冲传递函数D(z)。 (4

2、) 根据D(z)求取控制算法的递推计算公式。 注意： (z)可根据所需要的输入及响应性能确定。,D(z)的一般形式： 数字控制的输出U(z) 进行z反变换后，可得到计算机控制算法：,2、D(Z)的物理可实现性,对于一个实际的物理系统，控制器的输出信号只与当前和过去时刻的输入及过去时刻输出信号有关。即：,u(k)=a0e(k)+a1e(k-1)+ame(k-m) +b1u(k-1)+b2u(k-2)+bnu(k-n) U(Z)=a0E(Z)+a1Z-1E(Z)+amZ-me(k-m) +b1Z-1U(Z)+b2Z-2U(Z)+bnZ-nU(z),脉冲传函： D(Z)= =,U(Z),E(Z),a

3、0+a1Z-1+amZ-m,1-b1Z-1-b2Z-2-bnZ-n,a0Zn+a1Zn-1+amZn-m,Zn-b1Zn-1-b2Zn-2-bn,=,只要脉冲传函的分子Z的次数低于或等于分母的次数，该控制器就是在物理上可实现的，否则就会在u(k)的表达式出现k+1、k+2等将来时刻的信号。,3、系统的稳定性,一个稳定系统的脉冲传递函数的特征方程的根必须全部在单位圆中。如果G（Z）中包含单位圆上或单圆外的零点或极点时，必须通过选择 (Z）和（）来抵消。,4、典型的输入型号,a、单位阶跃,r(t)=,1 t0,0 t0,r(kT)=u(kT),b、单位速度,r(t)=,t t0,0 t0,r(kT

4、)=kT,c、单位加速度,r(kT)=(kT)2/2,d、,r(t)=,0 t0,其中，B(Z)是不包含（1-Z-1)因子的关于Z-1的多项式,4.2.2 最少拍控制器的设计 最少拍控制：就是要求闭环系统对于某种特定的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态，且其闭环脉冲传递函数是中N是可能情况下的最小正整数。 闭环脉冲 (z)，在N个周期后变为0 1、确定闭环脉冲传递函数 (z) (1)定义误差脉冲传递函数：,则有：,由不同的r(t)可求出R(Z)，只要我们根据控制要求从分析E(Z)入手，设计1- (Z)及 (Z)就设计出D(Z),a、要使系统稳定，即偏差在有限时间内达到稳定，E(Z)一定只含

5、有Z-1的各次因子的有限项； b、要使系统最小拍E(Z)的Z-1次数尽可能小,典型输入： r(t)的z变换为： B(z)为不含1-Z-1因子的Z-1多项式。 q=1，输入为单位阶跃输入函数， q=2，输入为单位速度输入函数， q=3，输入为单位加速度输入函数。,（2）根据Z变换的终值定理，求系统的稳态误差，并使其为零（无静差，即准确性约束条件)。 则有： 要使e( )=0，则必须： 则有：,（3）根据最少拍控制，确定最少拍控值的闭环脉冲传递函数 (z) （快速性约束条件） 根据式（4.2.14)，（4.2.15) 可知， (z)中z-1的最高次幂为N=p+q，故系统在N拍可以达到稳态。 当p=

6、0时，系统可以在最少q拍达到稳态。 上述两点可得最少拍控制器选 (z) 为： （4）最少拍控制器D(z)为：,2、典型输入下的最少拍控制系统分析 （1）单位阶跃输入（q=1） 这时 则有： 误差,e(0)=1，e(T)=e(2T)=e(kT)=0，,用长除法： Y(0)=0，Y(T)=Y(2T)=Y(kT)=1 因此系统只需1拍就可以达到稳态。,（2）单位速度输入（q=2） 这时 则有： 上式说明只在2拍内有误差 用长除法有： 因此系统只需2拍就可以达到稳态。,（3）单位加速度输入（q=3） 这时 则有： 上式说明只在3拍内有误差 因此系统只需3拍就可以达到稳态。,3、最少拍控制器的局限性 （

7、1）最少拍控制器对典型输入的适应性差 最少拍控制器中的最少拍是针对某一典型输入设计的，对于其它典型输入则不一定为最少拍，甚至引起大的超调和静差。 例： 按等速输入来设计 (z) 比较三种不同输入的响应：,阶跃输入 其输出 输出结果：系统在1拍后出现100%超调，2拍后稳定，并达到设定值。,等速输入： 其输出 输出结果：系统在2拍后稳定，并达到设定值，与分析结果一致。,最少拍控制器的适应性特点： 针对某典型输入R (z)设计得到的最少拍 (z) 用于次数较低的R (z)，系统将出现大超调，但能稳定无差； 用于次数较高的R (z)，系统将稳定的静差。 结论：一种典型的最少拍 (z)只适用于该类型输

8、入。 （2）最少拍控制器的可实现问题 闭环系统可实现性：闭环系统采用反馈进行控制，即用过去时刻的量去控制下一个时刻的量，它是滞后的。滞后脉冲传递函数不出现zn正幂次项，因此可实现系统的脉冲传递函数不会出现zn正幂次项。,如果广义对象的脉冲传递函数为 则由于广义对象中包含零阶保持器，它是滞后的，因此有： degA(z)，degB(z)表示A(z)和B(z) 的阶数。 设数字控制器D(z)为 则要求： 含义：要产生k时刻的控制量u(k)，最多只能利用直到k时刻的误差e(k)、e(k-1)、.以及过去的控制量u(k-1)、u(k-2).。,闭环系统的脉冲传递函数 因为有： degP(z)degQ(z

9、) =0，则： 上式确定了D(z) 可实现时 (z)应满足的条件：若G(z)的分母比分子高N阶，则确定 (z)时必须至少分母比分子高N阶。,例：对象有d个采样周期纯滞后 ，则其脉冲传函为： 则 (z)中也应该有纯滞后，滞后时间大于等于d个采样周期，否则根据： D(z) 将出现zn正幂次项，响应超前输入，不能实现。,（3）最少拍控制的稳定性问题 最少拍 (z) 成立的条件： G(z)是稳定的。否则系统发散， (z)不可能实现。 G(z)是不含有纯滞后环节。否则根据最少拍控制器的可实现条件， D(z) 不能实现。 改进办法： 对，在 (z)中增加滞后时间大于等于G(z) 纯滞后时间的纯滞后。,对

10、，则可以在选择 (z) 时，增加稳定性约束条件，保证系统稳定。 应注意：不能采取D(z)和G(z)零极点对消方式，而从理论上得到稳定的闭环系统。 原因：当参数漂移时，零极点对消不能准确实现，系统将出现不稳定极点。,4.2.3 最少拍有纹波控制器的设计 设计时考虑最少拍控制器的可实现和稳定性条件。 一般化的广义被控对象 控制对象传函如下， 是滞后时间 采样周期为T,则令,则广义对象的(零阶保持器与被控过程)的脉冲传递函数为： 上式中若GC(z)不含纯滞后， 则d=0； 若GC(z) 含纯滞后， 则d=1。,e-Ts=Z-1,设 G(z)有u个零点b1,b2,bu和v个极点a1,a2,av在单位圆

11、上或圆外，则广义对象的传递函数可表示为： G(z)表示不含单位圆上及圆外零极点部分。 对于纯滞后环节，可以直接在 (z)中加入滞后时间大于等于d个采样周期的纯滞后环节。,考虑系统的稳定性。由于D(z)和G(z)的单位圆外上及圆外的零极点不能对消，且D(z)必须是稳定的，即D(z)不能有单位圆上或圆外的零极点（z=1除外)。根据上面三个式子，有： e (z)的零点包括G(z)的单位圆上或圆外的极点。 (z)的零点包括G(z)的单位圆上或圆外的零点。,选择系统闭环脉冲传递函数必须满足的约束条件：1.e (z)零点必须包括G(z)的单位圆上或圆外的极点。 a i为不稳定极点 ， F1(z) 为： 若

12、G(z)有j个极点在单位圆上z=1，则可确定e (z)： 若jq,2. (z)零点必须包括G(z)的单位圆上或圆外的零点。 b i为不稳定零点 ， F2(z) 为： 3. F1(z)和 F2(z)的阶数选取。 若G(z)有j个极点在单位圆上z=1， 当jq 原则: 最少拍要求 (z)中的z-1为最低次幂 (z) 和e (z)具有同样的阶数。,根据上面三个约束条件，可以得到最少拍控制器为： 最少拍有波纹控制器的缺点： 在最少拍后只能保证采样点的稳态误差为0，而不能保证采样点之间的输出为0。因此系统输出有波纹存在，这种波纹在采样点无法检测，称为隐蔽振荡。 形成该缺点的原因：在设计最少拍控制器时只要

13、求采样点的稳态误差为0，数字控制器的输出是振荡收敛的。,例4-1，下图中被控对象的传函和零阶保持器传函为： 采样周期T=1s，针对单位速度输入函数设计最少拍有纹波系统，并画出数字控制器和系统输出波形。 解： 求广义对象的脉冲传递函数。,d=0, u=0, v=1, j=1, q=2 且 jq 则：,选择 (z) 和e (z)：,所以： 解得： 因此：,数字控制器和系统的输出波型：,4.2.3 最少拍无纹波控制器的设计 最少拍有纹波控制器的出现纹波的原因：数自控制器输出u(k)在若干拍后，不为0或常值，是振荡收敛的。 最少拍有纹波控制器纹波的影响：输出在采样点外有偏差；执行机构振荡，功耗和磨损增

14、大。 最少拍无纹波控制器能够消除输出纹波。 设计最少拍无纹波控制器的必要条件： 被控对象Gc(s)中必须有足够的积分环节： 对速度输入必须有1个积分环节，对对加速度输入必须有2个积分环节。,最少拍无纹波系统 (z)的约束条件： 系统输出无纹波，必须保证稳态是控制u(k)为常数或0。系统L个周期达到稳态，则要求 u(L)=u(L+1)=u(L+2)=0。 设广义对象为： 则有：,为使输出无纹波，则u (z)应该是z-1的有限多项式，因此 (z)必须包含B(z)，即 (z)应包含G(z)的所有零点。 w为G(z)的所有零点数， b1，b2，bw为G(z)的所有零点。 从上面的分析也可以知道控制u(

15、k) 振荡的原因：由于G(z)的零点为U(z)的极点，该极点虽然可以保证控制输出稳定，但造成系统的输出振荡收敛。,最少拍无纹波系统 (z)的确定： (1)被控对象Gc(s)必须有足够的积分环节； (2)按下式选择 (z) (3)按下式选择e (z) 若jq,(4) F1(z)和 F2(z)的阶数选取方法， F1(z)和 F2(z)形式与有纹波系统相同。 若G(z)有j个极点在单位圆上z=1， 当jq 无纹波系统的调整时间比有纹波系统的调整时间增加若干拍，增加的拍数等于G(z)在单位圆内的零点数目。,例4-2，在例4-2 针对单位速度输入函数，设计最少拍无纹波系统，并画出数字控制器和系统输出波形。 解： 由Gc(s)知，对象有两个积分环节，满足要求。 由d=0, v=1, w=1, j=1, q=2 且 jq 有： 则：,即 可得方程组： 解得： 所以：,例子中，G(z)在单位圆内有一个零点，无纹波系统经过3拍后达到稳定，比有纹波系统多1拍。,作业 P139 4.10,