《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.2.3 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.2.3 （22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2.3空间的角的计算学习目标1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角的计算问题.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲知识点一空间角的计算(向量法)空间三种角的向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为，它们的方向向量为a，b，则cos|cosa，b|.直线与平面所成的角设直线l与平面所成的角为，l的方向向量为e，平面的法向量为n，则sin|cose，n|二面角设二面角l为，平面，的法向量分别为n1，n2，则|cos|cosn1，n2|.0，知识点二向量法求线面角、二面角的原理1向量法求直线与平面所成角的原理条件直线l(方向向量为e)与平面
2、(法向量为n)所成的角为图形关系e，n，e，ne，n，e，n计算sin|cose，n|2.向量法求二面角的原理条件平面，的法向量分别为n1，n2，所构成的二面角的大小为，n1，n2图形关系计算coscoscoscos1两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等()2若向量n1，n2分别为二面角的两个半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cosn1，n2.()3直线与平面所成角的范围为.()类型一求两条异面直线所成的角例1如图，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OBOO12，OA，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小解以O为
3、坐标原点，的方向为x轴，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，(，1，)，(，1，)|cos，|.异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.反思与感悟在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成角的区别跟踪训练1已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值解不妨设正方体的棱长为2，以D点为坐标原点，分别取DA，DC，DD1所在直线为x
4、轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(1,1,2)，则(1,0,2)，(1，1,2)，|，|，1043.又|cos，cos，cos，异面直线AE与CF所成角的余弦值为.类型二求直线和平面所成的角例2已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角解以A点为坐标原点，AB，AA1所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，方法一取A1B1的中点M，则M，连结AM，MC1，有，(0，a,0)，(0,0，a)0，
5、0，则MC1AB，MC1AA1，又ABAA1A，AB，AA1平面ABB1A1，MC1平面ABB1A1.C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角由于，02a2，|a，|a，cos，.，0，180，30，又直线与平面所成的角在0，90范围内，AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.方法二(0，a,0)，(0,0，a)，.设侧面ABB1A1的法向量为n(，y，z)，即yz0.故n(，0,0)，cos，n，|cos，n|.又直线与平面所成的角在0，90范围内，AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.反思与感悟用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识
6、求解线面角方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再进行换算跟踪训练2如图所示，已知直角梯形ABCD，其中ABBC2AD，AS平面ABCD，ADBC，ABBC，且ASAB.求直线SC与底面ABCD的夹角的余弦值解由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)设AB1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)，(0,0,1)，(1，1,1)显然是底面ABCD的法向量，它与已知向量的夹角90，故有sincos，0，90，cos.类型三求二面角例3在底面为平行四边形的
7、四棱锥P-ABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角解方法一如图，以A为坐标原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设PAABa，ACb，连结BD与AC交于点O，取AD的中点F，则C(b,0,0)，B(0，a,0)，.D(b，a,0)，P(0,0，a)，E，O，(b,0,0)0，0，.EOF为平面EAC与平面ABCD的夹角(或补角)cos，.又，0，180，平面EAC与平面ABCD的夹角为45.方法二建系如方法一，PA平面ABCD，(0,0，a)为平面ABCD的法向量，(b,0,0)设平面AEC的法向量为
8、m(x，y，z)由得x0，yz，取m(0,1,1)，cosm，.又m，0，180，平面AEC与平面ABCD的夹角为45.反思与感悟1.当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.2.注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角跟踪训练3如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1
9、)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值解(1)以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因为cos，又异面直线所成角的范围为，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以即取z1，得x2，y2，所以n1(2，2,1)是平面ADC1的法向量同理，取平
10、面ABA1的法向量为n2(0,1,0)设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为，由|cos|，得sin.所以平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.1在一个二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为_答案解析由，可知这个二面角的余弦值为或.2已知a，b是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a与b所成的角是_答案60解析，()201201，又|2，|1.cos，.异面直线所成的角是锐角或直角，a与b所成的角是60.3已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BD
11、C1所成角的正弦值是_答案解析以D为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系设AA12AB2，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，故(1,1,0)，(0,1,2)，(0,1,0)，设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y2，x2，所以n(2，2,1)设直线CD与平面BDC1所成的角为，则sin|cosn，|.4在矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成的角是_答案30解析以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐
12、标系，则P(0,0,1)，C(1，0)，(1，1)，平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1), 所以cos，n，又因为，n0，180，所以，n120，所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成的角为60，所以斜线PC与平面ABCD所成的角是30.向量法求角(1)两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得，即cos|cos|.(2)直线与平面所成的角可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即sin|cos|或cossin.(3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角一、填空题1若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角
13、是150，则l1与l2这两条异面直线所成的角为_答案30解析异面直线所成角的范围是(0，90，所以l1与l2这两条异面直线所成的角为18015030.2已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为_答案45或135解析cosm，n，即m，n45.所以两平面所成的二面角为45或135.3设直线l与平面相交，且l的方向向量为a，的法向量为n，若a，n，则l与所成的角为_答案解析线面角的范围是.a，n，l与法向量所在直线所成角为，l与所成的角为.4已知在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与ED1所成角
