《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.2.1-3.2.2 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.2.1-3.2.2 （14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定(一)平行关系学习目标1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题知识点一直线的方向向量与平面的法向量思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案(1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示我们把向量称为点P的位置向量(2)直线：直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量对于直线l上的任一点P，在直线上取a，则存在实数t，使得t
2、.(3)平面：空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定对于平面上的任一点P，a，b是平面内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得xayb.空间中平面的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示梳理(1)用向量表示直线的位置：条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线的方向向量)形式在直线l上取a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得t作用定位置点A和向量a可以确定直线的位置定点可以具体表示出l上的任意一点(2)用向量表示平面的位置：通过平面上的一个定点O和两个向量a和b来确定：条件平面内两条相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面上任意一点P，存在有序实数对(
3、x，y)使得xayb通过平面上的一个定点A和法向量来确定：平面的法向量直线l，直线l的方向向量叫做平面的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的(3)直线的方向向量和平面的法向量：直线的方向向量能平移到直线上的非零向量a，叫做直线l的一个方向向量平面的法向量直线l，取直线l的方向向量n，n叫做平面的法向量知识点二利用空间向量处理平行问题思考(1)设v1(a1，b1，c1)，v2(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量若直线l1l2，则向量v1，v2应满足什么关系(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向
4、量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案(1)由直线方向向量的定义知若直线l1l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1l2v1v2v1v2(R)(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行梳理(1)空间中平行关系的向量表示：设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则线线平行lmabakb(kR)线面平行laa0面面平行vkv(kR)(2)利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，
5、通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论1若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反()2平面的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量()3两直线的方向向量平行，则两直线平行()4直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直()类型一求直线的方向向量、平面的法向量例1如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点ABAP1，AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量解因为PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，的方向为
6、x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，0)，E，B(1,0,0)，C(1，0)，于是，(1，0)设n(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即所以令y1，则xz.所以平面ACE的一个法向量为n(，1，)引申探究若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量解由例1解析图可知，P(0,0,1)，C(1，0)，所以(1，1)，即为直线PC的一个方向向量设平面PCD的法向量为n(x，y，z)因为D(0，0)，所以(0，1)由即所以令y1，则z.所以平面PCD的一个法向量为n(0,1，)反思与感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为
7、n(x，y，z)(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，.(3)列方程组：由列出方程组(4)解方程组：(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取1)(6)得结论：得到平面的一个法向量跟踪训练1如图所示，在四棱锥SABCD中，底面是直角梯形，ABC90，SA底面ABCD，且SAABBC1，AD，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量解如图，以A为坐标原点，以，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，则，.易知向量是平面SAB的一个法向量设n(x，y，z)为平面SDC的法向量，则即取x2，则y1，z1
8、，平面SDC的一个法向量为(2，1,1)类型二证明线线平行问题例2已知直线l1与l2的方向向量分别是a(2,3，1)，b(6，9,3)证明：l1l2.证明a(2,3，1)，b(6，9,3)，ab，ab，即l1l2.反思与感悟两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面跟踪训练2已知在四面体ABCD中，G，H分别是ABC和ACD的重心，则GH与BD的位置关系是_答案平行解析设E，F分别为BC和CD的中点，则()，所以GHEF，所以GHBD.类型三利用空间向量证明线面、面面平行问题例3已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1平
9、面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.证明(1)以D为坐标原点，以，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2，0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2，2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1，n1，即得令z12，则y11，所以n1(0，1,2)因为n1220，所以n1.又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)因为(2,0,0)，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量由n2，n2，
10、得得令z22，得y21，所以n2(0，1,2)，因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.反思与感悟利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题跟踪训练3如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为45，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PABCAD1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由解以A为坐标原点分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)
11、，设存在满足题意的点E(0，y，z)，则(0，y，z1)，(0,2，1)，y(1)2(z1)0，(0,2,0)是平面PAB的法向量，又(1，y1，z)，CE平面PAB，(1，y1，z)(0,2,0)0.y1，代入得z，E是PD的中点，存在点E，当点E为PD中点时，CE平面PAB.1若点A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量的坐标可以是_(填序号)(1,0,1)；(1,4,7)；(2,4,6)答案解析显然(2,4,6)可以作为直线l的一个方向向量2已知a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量若l1l2，则x_，y_.答案6解析由l1l2得，解
12、得x6，y.3已知向量n(2，3,1)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是_(填序号)n1(0，3,1)；n2(2,0,4)；n3(2，3,1)；n4(2,3，1)答案解析由题可知只有可以作为的法向量4已知向量n(1,3,1)为平面的法向量，点M(0,1,1)为平面内一定点P(x，y，z)为平面内任一点，则x，y，z满足的关系式是_答案x3yz40解析由题可知(x，y1，z1)又因为n0，故x3(y1)(z1)0，化简，得x3yz40.5若直线l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，则m为_答案8解析l，平面的法向量为，(2，m,1)0，2m20，m8.1应用向量
13、法证明线面平行问题的方法：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示即用平面向量基本定理证明线面平行2证明面面平行的方法：设平面的法向量为n1(a1，b1，c1)，平面的法向量为n2(a2，b2，c2)，则n1n2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)一、填空题1已知l1的方向向量为v1(1,2,3)，l2的方向向量为v2(，4,6)，若l1l2，则_.答案2解析l1l2，v1v2，则，2.2已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则的值为_答案解析因为ab，故210，即.3直线l的方向向量s(1,1,1)，平面的一个法向量为n(2，x2x，x)，若直线l，则x的值为_答案解析易知121(x2x)1(x)0，解得x.4设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k的
