《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 疑难规律方法 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 疑难规律方法 （25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 利用椭圆的定义解题 椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质有些问题，如果恰当运用 定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明 1求最值 例 1 线段 AB4，PAPB6，M 是 AB 的中点，当 P 点在同一平面内运动时，PM 的长 度的最小值是_ 解析 由于 PAPB64AB，故由椭圆定义知 P 点的轨迹是以 M 为原点，A，B 为焦点 的椭圆，且 a3，c2，b.于是 PM 的长度的最小值是 b. a2c255 答案 5 2求动点坐标 例 2 椭圆1 上到两个焦点 F1，F2的距离之积最大的点的坐标是_ x2 9 y2 25 解析 设椭圆上的动点为 P
2、，由椭圆的定义可知 PF1PF22a10， 所以 PF1PF2 2225， ( PF1PF2 2 )( 10 2) 当且仅当 PF1PF2时取等号 由Error!Error!解得 PF1PF25a， 此时点 P 恰好是椭圆短轴的两端点， 即所求点的坐标为(3,0) 答案 (3,0) 点评 由椭圆的定义可得“PF1PF210” ，即两个正数 PF1，PF2的和为定值，结合基本 不等式可求 PF1，PF2乘积的最大值，结合图形可得所求点 P 的坐标 3求焦点三角形面积 例 3 如图所示，已知椭圆的方程为1，若点 P 在第二象限，且PF1F2120， x2 4 y2 3 求PF1F2的面积 解 由已
3、知，得 a2，b， 3 所以 c1，F1F22c2. a2b2 在PF1F2中，由余弦定理，得 PF PF F1F 2PF1F1F2cos120， 2 22 12 2 即 PF PF 42PF1， 2 22 1 由椭圆定义，得 PF1PF24， 即 PF24PF1. 将代入，得 PF1 . 6 5 所以 SPF1F2 PF1F1F2sin120 1 2 2， 1 2 6 5 3 2 3 3 5 即PF1F2的面积是. 3 3 5 点评 在PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于 PF1，PF2的方程组，消去 PF2可 求 PF1. 从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题
4、，我们应首先考虑利用 椭圆的定义求解 2 如何求椭圆的离心率 1由椭圆的定义求离心率 例 1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于 4 个不同的点，顺次连结这四个点 和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为_ 解析 如图所示，设椭圆的方程为1(ab0)，焦距为 2c，由题意知F1AF290， x2 a2 y2 b2 AF2F160.AF2c， AF12csin60c. 3 AF1AF22a(1)c. 3 e 1. c a 2 313 答案 1 3 点评 本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单 解决 2解方程(组)求离心率 例 2 椭圆1(a
5、b0)的左焦点为 F1(c,0)，A(a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果 x2 a2 y2 b2 F1到直线 AB 的距离为，则椭圆的离心率 e_. b 7 解析 如图所示，直线 AB 的方程为 1， x a y b 即 bxayab0. 点 F1(c,0)到直线 AB 的距离为， b 7 b 7 |bcab| a2b2 |ac|，即 7a214ac7c2a2b2. 7a2b2 又b2a2c2，整理，得 5a214ac8c20. 两边同除以 a2并由 e 知，8e214e50， c a 解得 e 或 e (舍去) 1 2 5 4 答案 1 2 3利用数形结合求离心率 例 3 在平面直角坐标
6、系中，已知椭圆1(ab0)，圆 O 的半径为 a，过点 P x2 a2 y2 b2 作圆 O 的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率 e_. ( a2 c ，0) 解析 如图所示，切线 PA，PB 互相垂直，PAPB. 又 OAPA，OBPB，OAOB， 则四边形 OAPB 是正方形， 故 OPOA， 2 即a，e . a2 c2 c a 2 2 答案 2 2 4综合类 例 4 设 M 为椭圆1 上一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，如果MF1F275， x2 a2 y2 b2 MF2F115，求椭圆的离心率 解 由正弦定理得 2c sin90 MF1 sin15 MF2 sin75 ，
7、MF1MF2 sin15sin75 2a sin15sin75 e . c a 1 sin15cos15 1 2sin60 6 3 点评 此题可推广为若MF1F2，MF2F1，则椭圆的离心率 e. cos 2 cos 2 3 活用双曲线定义妙解题 在解双曲线中的有关求动点轨迹、离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义， 能把大题化为小题，起到事半功倍的作用下面举例说明 1求动点轨迹 例 1 动圆 C 与两定圆 C1：x2(y5)21 和圆 C2：x2(y5)216 都外切，求动圆圆心 C 的轨迹方程 解 设动圆圆心为 C(x，y)，半径为 r， 因为动圆 C 与两定圆相外切， 所以Err
8、or!Error! 即 CC2CC130，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支 x2 a2 y2 b2 上，且 PF14PF2，试求该双曲线离心率的取值范围 解 因为 PF14PF2，点 P 在双曲线的右支上， 所以设 PF2m，则 PF14m， 由双曲线的定义，得 PF1PF24mm2a， 所以 m a. 2 3 又 PF1PF2F1F2， 即 4mm2c， 所以 m c，即 a c，所以 e . 2 5 2 3 2 5 c a 5 3 又 e1，所以双曲线离心率的取值范围为. (1， 5 3 点评 本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双
9、曲线 基本量 a，c 的不等关系，使问题得以巧妙地转化、获解 4 抛物线的焦点弦 例 1 如图所示，AB 是抛物线 y22px(p0)过焦点 F 的一条弦设 A(xA，yA)，B(xB，yB)， AB 的中点 M(x0，y0)，过 A，M，B 分别向抛物线的准线 l 作垂线，垂足分别为 A1，M1，B1，则有以下重要结论： (1)以 AB 为直径的圆必与准线相切； (2)AB2(焦点弦长与中点坐标的关系)； (x0 p 2) (3)ABxAxBp； (4)A，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即 xAxB，yAyBp2； p2 4 (5)A1FB1F； (6)A，O，B1三点共线； (7
10、) . 1 FA 1 FB 2 p 以下以第(7)条结论为例证明： 证明 当直线 AB 的斜率不存在， 即与 x 轴垂直时，FAFBp， . 1 FA 1 FB 1 p 1 p 2 p 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 yk，并代入 y22px， (x p 2) 22px， (kx kp 2) 即 k2x2p(2k2)x0. k2p2 4 由 A(xA，yA)，B(xB，yB)， 则 xAxB，xAxB. pk22 k2 p2 4 FAxA ，FBxB ， p 2 p 2 FAFBxAxBp， FAFB( xAp 2)(xB p 2) xAxB (xAxB) (xAxBp)
11、p 2 p2 4 p 2 FAFBFAFB ，即 . 2 p 1 FA 1 FB 2 p 点评 该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视 ABx 轴的 情况 例 2 设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若0，则 FA FB FC |_. FA FB FC 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又 F(1,0) 由0 知(x11)(x21)(x31)0， FA FB FC 即 x1x2x33， |x1x2x3 p6. FA FB FC 3 2 答案 6 5 求曲线方程的常用方法 曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考
12、的常考点求曲线方程时，应根据曲线的不 同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题下面对其 求法进行探究 1定义法 求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰 当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定 义法 例 1 如图，点 A 为圆形纸片内不同于圆心 C 的定点，动点 M 在圆周上，将纸片折起，使 点 M 与点 A 重合，设折痕 m 交线段 CM 于点 N.现将圆形纸片放在平面直角坐标系 xOy 中， 设圆 C：(x1)2y24a2 (a1)，A(1,0)，记点 N 的轨迹为曲线 E. (1)证
13、明曲线 E 是椭圆，并写出当 a2 时该椭圆的标准方程； (2)设直线 l 过点 C 和椭圆 E 的上顶点 B，点 A 关于直线 l 的对称点为点 Q，若椭圆 E 的离 心率 e，求点 Q 的纵坐标的取值范围 1 2， 3 2 解 (1)依题意，直线 m 为线段 AM 的垂直平分线， NANM. NCNANCNMCM2a2AC， N 的轨迹是以 C，A 为焦点，长轴长为 2a，焦距为 2 的椭圆 当 a2 时，长轴长为 2a4，焦距为 2c2， b2a2c23. 椭圆的标准方程为1. x2 4 y2 3 (2)设椭圆的标准方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 由(1)知 a2b21.又
14、C(1,0)，B(0，b)， 直线 l 的方程为 1，即 bxyb0. x 1 y b 设 Q(x，y)，点 Q 与点 A(1,0)关于直线 l 对称， Error!Error! 消去 x 得 y. 4b b21 离心率 e， e2 ， 1 2， 3 2 1 4 3 4 即 ， a24. 1 4 1 a2 3 4 4 3 b214，即b， 4 3 3 33 y2，当且仅当 b1 时取等号 4b b21 4 b1 b 又当 b时，y；当 b时，y.y2. 33 3 333 点 Q 的纵坐标的取值范围是，2 3 2直接法 若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过 “建系、设点、列式、化简、证明”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法” 可称为直接法 例 2 已知直线 l1：2x3y20，l2：3x2y30.有一动圆 M(圆心和半径都在变动)与 l1，l2都相交，并且 l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值 26,24.求圆心 M 的轨迹 方程 解 如图，设 M(x，y)，圆半径为 r，M 到 l1，l2的距离分别是 d1，d2， 则 d 132r2，d 122r2， 2 12 2 d d 25， 2 22 1 即 2225， ( |3x2y3| 13 )( |
