《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第1章 常用逻辑用语 1.3.1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第1章 常用逻辑用语 1.3.1 （10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3 全称量词与存在量词全称量词与存在量词 1.3.1 量量 词词 学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念. 3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法 知识点一 全称量词、全称命题 思考 观察下面的两个语句，思考下列问题： P：m5； Q：对所有的 mR，m5. (1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？ (2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个) 答案 (1)语句 P 无法判断真假，不是命题；语句 Q 在语句 P 的基础上增加了“所有的” ， 可以判断真假，是命题语句 P 是命题 Q 中的一部分 (2)常见的全称量词有“任
2、意一个” “一切” “每一个” “任给” “所有的” “凡是”等 梳理 全称量词与全称命题 全称量词所有、任意、一切、每一个 符号 x 全称命题含有全称量词的命题 形式“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立” ，可用符号简记为“xM，p(x)” 知识点二 存在量词、存在性命题 思考 观察下面的两个语句，思考下列问题： P：m5； Q：存在一个 mZ，m5. (1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？ (2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个) 答案 (1)语句 P 无法判断真假，不是命题；语句 Q 在语句 P 的基础上增加了“存在一个” ， 可以判断真假，是命题语句 P 是命题
3、Q 中的一部分 (2)常见的存在量词有“存在一个” “至少有一个” “有些” “有一个” “对某个” “有的” 等 梳理 存在量词与存在性命题 存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 x 存在性命题含有存在量词的命题 形式 “存在 M 中的一个 x，使 p(x)成立” ，可用符号简记为“xM，p(x)” 特别提醒：在存在性命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略 1 “有些” “某个” “有的”等短语不是存在量词() 2全称量词的含义是“任意性” ，存在量词的含义是“存在性” () 3全称命题中一定含有全称量词，存在性命题中一定含有存在量词() 类型一 判断命
4、题的类型 例 1 将下列命题用“”或“”表示 (1)实数的平方是非负数； (2)方程 ax22x10(a1)至少存在一个负根； (3)若直线 l 垂直于平面 内任一直线，则 l. 考点 量词与命题 题点 全称(存在性)命题的符号表示 解 (1)xR，x20. (2)x0，ax22x10(a1) (3)若a，la，则 l. 反思与感悟 判断一个语句是全称命题还是存在性命题的步骤 (1)判断此语句是否为命题 (2)看命题中是否含有量词，并判断该量词是全称量词还是存在量词 (3)对不含或省略量词的命题，要根据命题涉及的实际意义进行判断 跟踪训练 1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题 (1)若 a
5、0 且 a1，则对任意 x，ax0； (2)对任意实数 x1，x2，若 x1x2，则 tanx1tanx2； (3)存在实数 T，使得|sin(xT)|sinx|； (4)存在实数 x，使得 x210. 解 (1)，(2)含有全称量词“任意” ，是全称命题(3)，(4)含有存在量词“存在” ，是存在 性命题 类型二 判断命题的真假 例 2 判断下列命题的真假 (1)xR，x2x1 ； 1 2 (2)，cos()coscos； (3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数； (4)每一条线段的长度都能用正有理数表示； (5)存在一个实数 x，使等式 x2x80 成立 考点 全称(存在性)命题的真假性判
6、断 题点 全称(存在性)命题真假的判断 解 (1)真命题，x2x1 x2x 1 2 1 2 2 0， (x 1 2) 1 4 1 4 x2x1 恒成立 1 2 (2)真命题，例如 ， ，符合题意 4 2 (3)真命题，函数 f(x)0 既是偶函数又是奇函数 (4)假命题，如：边长为 1 的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数 2 (5)假命题，因为该方程的判别式 310，故无实数解 反思与感悟 1.要判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合 M 中每个元素 x，证明 p(x)都成立；如果在集合 M 中找到一个元素 x，使得 p(x)不成立，那么这个全称命 题就是假命题 2要判定存
7、在性命题“xM，p(x)”是真命题，只需在集合 M 中找到一个元素 x，使 p(x)成立即可；如果在集合 M 中，使 p(x)成立的元素 x 不存在，那么这个存在性命题就是 假命题 跟踪训练 2 判断下列命题的真假 (1)有一些奇函数的图象过原点； (2)xR,2x2x10， (x 1 4) 7 8 7 8 不存在 xR，使 2x2x10，a0 时，x 2，1， 1 x 2 x1 x 当 xf(x2)”为真命 题，则下列结论一定成立的是_(填序号) a0；a1. 答案 解析 函数 f(x)|2x1|的图象如图所示 由图可知 f(x)在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数，要满足存在 x1，
8、x2a，b且 x1f(x2)为真命题，则必有 a0. 答案 3 解析 为真命题 4下列命题： 偶数都可以被 2 整除；角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；正四棱锥 的侧棱长相等；有的实数是无限不循环小数；有的菱形是正方形；存在三角形其内 角和大于 180.既是全称命题又是真命题的是_，即是存在性命题又是真命题的是 _(填序号) 答案 解析 是全称命题，是真命题； 是全称命题，是真命题； 是全称命题，即任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题； 含存在量词“有的” ，是存在性命题，是真命题； 是存在性命题，是真命题； 是存在性命题，是假命题，因为任意三角形内角和为 180. 5下列存在性命题是
9、假命题的是_(填序号) 存在 xQ，使 2xx30； 存在 xR，使 x2x10； 有的素数是偶数； 有的有理数没有倒数 答案 解析 对于任意的 xR，x2x1 2 0 恒成立 (x 1 2) 3 4 6已知 a0，函数 f(x)ax2bxc，若 x1满足关于 x 的方程 2axb0，则下列命题中为 假命题的是_(填序号) xR，f(x)f(x1)； xR，f(x)f(x1)； xR，f(x)f(x1)； xR，f(x)f(x1) 答案 解析 x1是方程 2axb0 的解， x1， b 2a 又a0， f(x1)是 yf(x)的最小值， f(x)f(x1)恒成立 7已知命题 p：xR，x22x
10、a0.若 p 为真命题，则实数 a 的取值范围是_ 答案 (，1) 解析 由题意得 44a0 对任意 xR 都成立， 当 m0 时，显然成立，当Error!Error! 即当 00， 1 2 由题意知，原命题的否定为真命题，则 (a1)242 0，则2a12，则 1 2 1a3. 11已知命题 p：“x0,1，aex” ，命题 q：“xR，x24xa0” ，若命题 “pq”是真命题，则实数 a 的取值范围是_ 答案 e,4 解析 由命题“pq”是真命题，得命题 p，q 都是真命题.因为 x0,1，所以 ex1，e， 所以 ae；xR，x24xa0，即方程 x24xa0 有实数根，所以 424a
11、0， 解得 a4，即实数 a 的取值范围为e,4 二、解答题 12判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假 (1)存在一条直线，其斜率不存在； (2)对所有的实数 a，b，方程 axb0 都有唯一解； (3)存在实数 x，使得2. 1 x2x1 解 (1)是存在性命题，用符号表示为“直线 l，l 的斜率不存在” ，是真命题 (2)是全称命题，用符号表示为“a，bR，方程 axb0 都有唯一解” ，是假命题 (3)是存在性命题，用符号表示为“xR，2” ，是假命题 1 x2x1 13已知命题 p：“x1,2，x2a0” ，命题 q：“xR，x22ax2a0” ，若命
12、 题“p 且 q”是真命题，求实数 a 的取值范围 解 由“p 且 q”是真命题，知 p 为真命题，q 也为真命题 若 p 为真命题，则 ax2对于 x1,2恒成立， 所以 a1. 若 q 为真命题，则关于 x 的方程 x22ax2a0 有实根， 所以 4a24(2a)0，即 a1 或 a2. 综上，实数 a 的取值范围为a|a2 或 a1 三、探究与拓展 14有下列四个命题： p1：x(0，)， xx； ( 1 2) ( 1 3) p2：x(0,1)，xx； 1 2 log 1 3 log p3：x(0，)， x x； ( 1 2) 1 2 log p4：x， x x. (0， 1 3) (
13、 1 2) 1 3 log 其中为真命题的是_ 考点 量词与命题 题点 全称(存在性)命题的真假性判断 答案 p2，p4 解析 因为幂函数 yx(0)在(0，)上是增函数，所以命题 p1是假命题；因为对数 函数 ylogax(0a1)是减函数，所以当 x(0,1)时，0logxlogx，所以 0 1 2 1 3 1 2 1 log x ，即xx，所以命题 p2是真命题；因为函数 y x在(0，)上单调递 1 3 1 log x 1 2 log 1 3 log ( 1 2) 减，所以有 0y1，当 x(0,1时，yx0，当 x(1，)时，yx0，所 1 2 log 1 2 log 以命题 p3是
14、假命题；因为函数 y x在 上单调递减，所以有 0y1，而函数 y ( 1 2) (0， 1 3) x 在上的函数值 y1，所以命题 p4是真命题 1 3 log (0， 1 3) 15已知 f(t)log2t，t，8，若命题“对于函数 f(t)值域内的所有实数 m，不等式 2 x2mx42m4x 恒成立”为真命题，求实数 x 的取值范围 考点 全称命题的真假性判断 题点 恒成立求参数的取值范围 解 由题意知 f(t). 1 2，3 由题意知，令 g(m)(x2)mx24x4(x2)m(x2)2， 当 x2 时，g(m)0，显然不等式不成立，所以 x2， 则 g(m)0 对任意 m恒成立， 1 2，3 所以Error!Error! 即Error!Error! 解得 x2 或 x1. 故实数 x 的取值范围是(，1)(2，)
