《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 §2 空间向量的运算（二） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 §2 空间向量的运算（二） （16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 空间向量的运算空间向量的运算(二二) 学习目标 1.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.2.掌握两个向量的数量 积在判断向量共线与垂直中的应用 知识点 数量积的概念及运算律 1已知两个非零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫作 a，b 的数量积，记作 ab，即 ab|a|b|cosa，b 2空间向量数量积的性质 (1)abab0. (2)|a|2aa，|a|. aa (3)cosa，b. ab |a|b| 3空间向量数量积的运算律 (1)(a)b(ab)(R) (2)abba(交换律) (3)a(bc)abac(分配律) 特别提醒：不满足结合律(ab)ca(bc) 1对于非
2、零向量 b，由 abbc，可得 ac.() 2对于向量 a，b，c，有(ab)ca(bc)() 3若非零向量 a，b 为共线且同向的向量，则 ab|a|b|.() 4对任意向量 a，b，满足|ab|a|b|.() 类型一 数量积的计算 例 1 如图所示，在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，求： (1)； EF BA (2)； EF BD (3)； EF DC (4). AB CD 考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 用定义求数量积 解 (1) EF BA 1 2BD BA |cos， 1 2 BD BA BD BA cos 60 . 1 2 1 4
3、(2) |2 . EF BD 1 2BD BD 1 2 BD 1 2 (3) EF DC 1 2BD DC |cos， 1 2 BD DC BD DC cos 120 . 1 2 1 4 (4)() AB CD AB AD AC AB AD AB AC |cos，|cos， AB AD AB AD AB AC AB AC cos 60cos 600. 反思与感悟 (1)已知 a，b 的模及 a 与 b 的夹角，直接代入数量积公式计算 (2)如果要求的是关于 a 与 b 的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式 展开，再利用 aa|a|2及数量积公式进行计算 跟踪训练 1 已知在长
4、方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E 为侧面 AB1的 中心，F 为 A1D1的中点试计算： (1)；(2)；(3). BC ED1 BF AB1 EF FC1 考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 用定义求数量积 解 如图，设a，b， AB AD c，则|a|c|2，|b|4， AA1 abbcca0. (1) BC ED1 b|b|24216. 1 2cab (2)(ac)|c|2|a|2 BF AB1 (ca 1 2b) 22220. (3) EF FC1 1 2ca 1 2b ( 1 2ba) (abc) |a|2 |b|22. 1 2 ( 1 2ba) 1 2
5、 1 4 类型二 利用数量积证明垂直问题 例 2 (1)已知空间四边形 ABCD 中，ABCD，ACBD，那么 AD 与 BC 的位置关系为 _(填“平行” “垂直”) 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 答案 垂直 解析 ()() AD BC AB BD AC AB 2 AB AC BD AC AB AB BD ()0， AB AC AB BD AB DC AD 与 BC 垂直 (2)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为 AC 与 BD 的交点，G 为 CC1的中点， 求证：A1O平面 GBD. 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 证明 设a
6、，b，c， A1B1 A1D1 A1A 则 ab0，bc0，ac0，|a|b|c|. () A1O A1A AO A1A 1 2 AB AD c a b， 1 2 1 2 ba， BD AD AB () OG OC CG 1 2 AB AD 1 2CC1 a b c 1 2 1 2 1 2 (ba) A1O BD (c 1 2a 1 2b) cbca ab a2 b2 ba 1 2 1 2 1 2 1 2 (b2a2) 1 2 (|b|2|a|2)0. 1 2 于是，即 A1OBD. A1O BD 同理可证，即 A1OOG. A1O OG 又OGBDO，OG?平面 GBD，BD?平面 CBD，
7、 A1O平面 GBD. 反思与感悟 (1)证明线线垂直的方法 证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为 0 来判断两直 线是否垂直 (2)证明与空间向量 a，b，c 有关的向量 m，n 垂直的方法 先用向量 a，b，c 表示向量 m，n，再判断向量 m，n 的数量积是否为 0. 跟踪训练 2 如图，在空间四边形 OACB 中，OBOC，ABAC，求证：OABC. 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 证明 因为 OBOC，ABAC，OAOA， 所以OACOAB， 所以AOCAOB. 又() OA BC OA OC OB OA OC OA OB |cosA
8、OC|cosAOB0， OA OC OA OB 所以，即 OABC. OA BC 类型三 利用数量积解决空间角或两点间的距离问题 命题角度 1 解决角度问题 例 3 在空间四边形 OABC 中，连接 AC，OB，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求向量与 BC OA 所成角的余弦值 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 解 ， BC AC AB OA BC OA AC OA AB |cos， |cos， OA AC OA AC OA AB OA AB 84cos13586cos1202416， 2 cos， OA BC OA BC |OA |BC | . 24
9、16 2 8 5 32 2 5 反思与感悟 求两个空间向量 a，b 夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式 cosa，b，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移 ab |a|b| 至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题 跟踪训练 3 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，求异面直线 A1B 与 AC 所成的 角 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求解 解 不妨设正方体的棱长为 1， 设a，b，c， AB AD AA1 则|a|b|c|1， abbcca0， ac，ab. A1B AC (ac)(ab) A1B AC |a|2ab
10、acbc1， 而|， A1B AC 2 cos， ， A1B AC 1 2 2 1 2 ， 0，180， A1B AC ， 60. A1B AC 又异面直线所成角的范围是(0，90， 因此，异面直线 A1B 与 AC 所成的角为 60. 命题角度 2 求空间中的两点间的距离 例 4 如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的各棱长都为 2，E，F 分别是 AB，A1C1的中点，求 EF 的长 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 解 设a，b，c. AB AC AA1 由题意，知|a|b|c|2， 且a，b60， a，cb，c90. 因为 EF EA AA1
11、 A1F 1 2AB AA1 1 2AC a bc， 1 2 1 2 所以|2 2 EF EF a2 b2c22 1 4 1 4 ( 1 2a 1 2b 1 2bc 1 2ac) 22 2222222cos 60 1 4 1 4 ( 1 4) 11415， 所以|，即 EF. EF 55 反思与感悟 求解距离问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和 的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|求解即 aa 可 跟踪训练 4 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90， BAA1DAA160，求 AC1的长 考点 空
12、间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 解 因为， AC1 AB AD AA1 所以()2 AC 2 1 AB AD AA1 22 2() AB AD AA 2 1 AB AD AB AA1 AD AA1 因为BAD90，BAA1DAA160， 所以1492(13cos 6023cos 60)23. AC 2 1 因为|2， AC 2 1 AC1 所以|223， AC1 则|，即 AC1. AC1 2323 1对于向量 a，b，c 和实数 ，下列说法正确的是( ) A若 ab0，则 a0 或 b0 B若 a0，则 0 或 a0 C若 a2b2，则 ab 或 ab D若 abac，则 bc 考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 数量积的性质 答案 B 解析 结合向量的运算，只有 B 正确 2已知向量 a，b 是平面 内的两个不相等的非零向量，非零向量 c 是直线 l 的一个方向 向量，则“ca0 且 cb0”是“l”的( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 答案 B 解析 若 ab，则不一定得到 l，反之成立 3已知|a|2，|b|3， a，b60，则|2a3b|等于( ) A.B97 97 C.D61 61 考点 空间向量数量积的应
