《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列 2.5 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列 2.5 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.5等比数列的前n项和课时过关能力提升基础巩固1已知数列an是由正数组成的等比数列,Sn表示an的前n项和.若a1=3,a2a4=144,则S10的值是().A.511B.1 023C.1 533D.3 069解析:设等比数列an的公比为q,则a2a4=a12q4=144.a1=3,32q4=144.q0,q=2.S10=a1(1-q10)1-q=3(1-210)1-2=3069.答案:D2等比数列1,x,x2,x3,的前n项和Sn等于().A.1-xn1-xB.1-xn-11-xC.1-xn1-x,x1n,x=1D.1-xn-11-x,x1n,x=1解析:当x=0时,Sn=1;当x=1时,
2、Sn=n;当x0,且x1时,Sn=1-xn1-x.又当x=0时,该式也满足,所以Sn=n,x=1,1-xn1-x,x1.答案:C3设Sn为等比数列an的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q等于().A.3B.4C.5D.6解析:由题意,得3S3-3S2=(a4-2)-(a3-2),则3a3=a4-a3,即a4=4a3,故q=a4a3=4.答案:B4已知等比数列an的公比为q,其前n项和为Sn,若S3,S9,S6成等差数列,则q3等于().A.-12B.1C.-12或1D.-1或12解析:S3,S9,S6成等差数列,S3+S6=2S9,q1,a1(1-q3)1-q+a1(1
3、-q6)1-q=2a1(1-q9)1-q,整理得2q9-q6-q3=0.又q0,2q6-q3-1=0,解得q3=1(舍去)或q3=-12,q3=-12.答案:A5已知数列an是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前n项和等于.解析:设数列an的公比为q,由已知条件可得a1+a1q3=9,a12q3=8,解得a1=8,q=12或a1=1,q=2,因为an是递增的等比数列,所以a1=1,q=2.所以an是以1为首项,2为公比的等比数列,故Sn=2n-1.答案:2n-16已知等比数列的前20项的和为30,前30项的和为70,则前10项的和为.解析:由题意知S20=30,S30=
4、70.S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(30-S10)2=S10(70-30),解得S10=10.答案:107设Sn为等比数列an的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=.解析:设等比数列an的公比为q,则an=a1qn-1=qn-1.因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以2(2S2)=3S1+S3,即4S2=3+S3,即4(a1+a2)=3+(a1+a2+a3),也就是4(1+q)=3+(1+q+q2),整理得q2-3q=0,解得q=3或q=0(舍去).所以等比数列an的首项为a1=1,公比为q=
5、3,故an=3n-1.答案:3n-18一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍,一共点了381盏灯,则底层所点灯的盏数是.解析:由题意知,每层所点的灯的盏数成等比数列,且公比q=2,S7=381.由S7=381得S7=a1(1-q7)1-q=a1(1-27)1-2=381,解得a1=3.故a7=a1q6=326=192,即底层所点灯的盏数是192.答案:1929已知数列an是等比数列,Sn为其前n项和.(1)设S3=32,S6=2116,求an;(2)若S4,S10,S7成等差数列,证明a1,a7,a4也成等差数列.(1)解设等比数列an的首项为a1,公比为q.由已知得q1,于是a
6、1(1-q3)1-q=32,a1(1-q6)1-q=2116,解得a1=2,q=-12.故an=a1qn-1=2-12n-1.(2)证明S4,S10,S7成等差数列,q1,S4+S7=2S10,a1(1-q4)1-q+a1(1-q7)1-q=2a1(1-q10)1-q,整理得q4+q7=2q10,1+q3=2q6,a1+a1q3=2a1q6,a1+a4=2a7,即a1,a7,a4也成等差数列.10等比数列an的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.(1)求an的公比q;(2)已知a1-a3=3,求Sn.解(1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2).因为a10,
7、所以2q2+q=0.又q0,所以q=-12.(2)由已知可得a1-a1-122=3,解得a1=4.从而Sn=41-12n1-12=831-12n.能力提升1在等比数列an(nN*)中,若a1=1,a4=18,则该数列的前10项和为().A.2-128B.2-129C.2-1210D.2-1211解析:设公比为q,则a1=1,a1q3=18,解得q=12,则该数列的前10项和为S10=a1(1-q10)1-q=1-12101-12=2-129.答案:B2设数列an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和,已知a2a4=1,S3=7,则S5等于().A.152B.314C.334D.172解析:设
8、等比数列an的公比为q,则a1qa1q3=1,a1(1-q3)1-q=7,解得a1=4,q=12,所以S5=41-1251-12=314.答案:B3若数列an是等比数列,且对任意nN*,a1+a2+an=2n-1,则a12+a22+a32+an2等于().A.(2n-1)2B.13(2n-1)2C.4n-1D.13(4n-1)解析:由Sn=2n-1得a1=S1=1,a2=S2-S1=22-2=2.故公比为q=2,可知数列an2是等比数列,公比为q2=4.所以a12+a22+a32+an2=1-4n1-4=13(4n-1)答案:D4等比数列an的首项为1,公比为q,前n项和为S,由原数列各项的倒
9、数组成一个新数列1an,则1an的前n项和是().A.1SB.1qnSC.Sqn-1D.qnS解析:因为a1=1,公比为q,若q1,则其前n项和为S=1-qn1-q.而在数列1an中,公比为1q,首项为1a1,设其前n项和为S,则S=1a11-1qn1-1q=1-qna1qn-1(1-q)=Sqn-1.当q=1时,S=S=n,也符合S=Sqn-1.故选C.答案:C5等比数列an的前n项和为Sn,S2=3,S6=63,则S4=.解析:由题意可知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,则(S4-S2)2=S2(S6-S4),(S4-3)2=3(63-S4),解得S4=15或S4=-12.又S4=S
10、2+S2q2=3+3q20,S4=15.答案:156某公司今年获得利润500万元,由于坚持改革、大胆创新,以后每年利润比上一年增加30%,则7年后该公司实现的总利润为万元.解析:设第n年的利润为an万元,则an+1=an+an30%=1.3an,则an+1an=1.3.所以数列an是首项为500,公比为1.3的等比数列,所以7年后该公司实现的总利润为S7=a1(1-q7)1-q=500(1-1.37)1-1.3=50003(1.37-1)(万元).答案:50003(1.37-1)7在数列an中,a1=13,前n项和Sn满足Sn+1-Sn=13n+1(nN*).(1)求数列an的通项公式an及其
11、前n项和Sn;(2)若S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列,求实数t的值.解(1)由Sn+1-Sn=13n+1,得an+1=13n+1(nN*).又a1=13,所以an=13n(nN*).从而Sn=121-13n(nN*).(2)由(1)知,S1=13,S2=49,S3=1327,从而由S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列可得13+349+1327=213+49t,解得t=2.8已知等差数列an的前n项和为Sn,a2=4,S5=35.(1)求数列an的前n项和Sn;(2)若数列bn满足bn=ean,求数列bn的前n项和Tn.解(1)设数列an的首项为a1,公差为d,则a1+d=4,5a1+5(5-1)2d=35,解得a1=1,d=3,故Sn=na1+n(n-1)d2=n(3n-1)2.(2)由(1),得an=3n-2,bn=e3n-2,且b1=e.当n2时,bnbn-1=e3n-2e3(n-1)-2=e3(定值),数列bn是首项为e,公比为e3的等比数列.Tn=e(1-e3n)1-e3=e3n+1-ee3-1.
